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云南省2013年1月普通高中学业水平考试数学试卷及答案


【考试时间:2013 年 1 月 13 日上午 8:30 — 10:10,共 100 分钟】

云南省 2013 年 1 月普通高中学业水平考试

数 学 试 卷
【考生注意】 考试用时 100 分钟,必须在答题卡上指定位置按规定要求作答,答在试卷上一律无效。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 球的表面积公式: S ? 4? R ,其中 R 表示球的半径. 柱体的体积公式: V ? Sh ,其中是柱体的底面积,h 是柱体的高.
2

锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

选择题(共 54 分)
一、选择题:本大题共 18 个小题,每小题 3 分,共 54 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要 求,请在答题卡相应的位置上填涂。 1. 设集合 A ? ?3,5,6,8? , 集合 B ? ?5,7,8? , 则A I B等于 A. {5,8} 2. B. {3,6,8} C. {5,7,8} D. {3,5,6,7,8}

如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体 的表面积为 A. 3 ? C. 5 ? B. 4 ? D. 6?

3.

uu u r uuu r uuu r 在平行四边形 ABCD 中, AB ? AC +CD 等于

正视图

侧视图

A. AC C. DB 4.
uuu r

uuu r

B. BD D. AD
uuu r

uuu r

俯视图

r r r r r r r r r r b, a ? 4, b ? 3 , a 与 b 的夹角等于 60? ,则 (a +2b 已知向量 a 、 ) ? (a-b) 等于

A. - 4 C. - 2 5.

B. 4 D. 2

1 1 ? ?? ? ?? 已知函数 y ? cos ? x+ ? 的图象为 C,为了得到函数 y ? cos ? x- ? 的图象只需把 C 上所有的点 3 3 ? 7? ? 7?

A. 向右平行移动 C. 向右平行移动 6.

? 个单位长度 7
2? 个单位长度 7

B. 向左平行移动 D. 向左平行移动

? 个单位长度 7
2? 个单位长度 7
开始 x=1 x=x+2 否

7.

已知一个算法,其流程图如右图所示,则输出结果是 A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 过点 P( - 1,3) ,且平行于直线 2 x ? 4 y +1 ? 0 的直线方程为 A. 2 x+y-5 ? 0 B. 2 x +y ? 1 ? 0 C. x-2 y +7 ? 0 D. x-2 y ? 5 ? 0
数学试卷 ?第 1 页(共 4 页)

x ?9? 是 输出 x 结束

(第 6 题)

8. 一个长、宽分别为 3 和 1 的长方形内接于圆(如下图) , 质地均匀的粒子落入图中(不计边界) ,则落在长方形内的概率等于 A. C. 9.
3 ? 3 4?

B.

?
3

D. ? (第 8 题)

计算: sin 225? 的值为 A.

1 2 2 3 B. ? C. ? D. ? 2 2 2 2 10. 在△ABC 中, ?A 则 cos ?C 的值为 、?B、?C 所对的边长分别是 3、5、7,
9 35 5 21 D. 70 42 11.甲、乙等 5 名同学按任意次序排成一排,甲站中间且乙不站两边的概率是

A.

15 30

B. ?

15 30

C.

1 1 2 B. C. 20 10 5 12.已知直线的点斜式方程是 y ? 1 ? x ? 2 ,那么此直线的斜率为

A.

D.

4 5

A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D. 1

13. 函数 f ? x ? ? 3x ? x 2 的零点所在的区间是 A.

? 0,1?

B. (-1,0)

C. (1,2)

D. (-2,-1)

? x ? 0, ? 14. 已知实数 x 、 y 满足 ? y ? 0, 则 z ? x ? y 的最小值等于 ?3 x ? y ? 3, ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

15. 函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 的定义域是 A. [?1, ??) B. (??, ?1] C. [3, ??) D. [ ?1, 3]

16. 已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? ?16, a4 ? 2, 则前 4 项的和 S 4 等于 A. 20 B. -20 C. 10 17. 当输入的 x 值为 3 时,右边的程序运行的结果等于 A. -3 B. 3 C. -2 18. 过点 M(2,-2)以及圆 x2 ? y 2 ? 5x ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 交点的圆的方程是 A. x 2 ? y 2 ? B. x 2 ? y 2 ? C. x 2 ? y 2 ? D. x 2 ? y 2 ?
15 1 x? ?0 4 2 15 1 x? ?0 4 2 15 1 x? ?0 4 2 15 1 x? ?0 4 2

D. -10 D. 2

INPUT x IF x ? 1 THEN
y ? 1? x

ELSE PRINT y ? x ? 1 PRINT y END

数学试卷 ?第 2 页(共 4 页)

非选择题(共 46 分)
二、 填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。请把答案写在答题卡相应的位置上。 19. 某单位有甲、乙、丙三个部门,分别有职员 27 人、63 人和 81 人,现按分层抽样的方法从各部门中抽取组 建一个代表队参加上级部门组织的某项活动;其中乙部门抽取 7 人,则该单位共抽取__________人。 20. 甲、乙两位射击选手射击 10 次所得成绩,经计算得各自成绩的标准差分别为 s甲 ? 1.29和s乙 =1.92, 则 _________成绩稳定。 21. 若函数 f ? x ? ? (2m ? 1) x3 是幂函数,则 m ? _________。
1 22. 关于 x 的二次函数 f ( x) ? mx2 ? 2 ? m ? 1? x ? m 的图像与 x 没有公共点, 则 m 的取值范围是__________(用区 4 间表示) 。

三、 解答题:本大题共 4 小题,23、24 各 7 分,25、26 各 8 分,共 30 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算过程。 23. (本小题满分 7 分,其中第(1)问 4 分,第(2)问 3 分) 3 1 已知函数 y ? ? (sin x ? cos x)2 . 2 2 (1)求它的最小正周期和最大值; (2)求它的递增区间。

24. (本小题满分 7 分,其中第(1)问 4 分,第(2)问 3 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 AD1 、 CD1 中点。 (1)求证:EF//平面 ABCD; (2)求两异面直线 BD 与 CD1 所成角的大小。 A1 E D F C B D1 B1 C1

A

数学试卷 ?第 3 页(共 4 页)

25. (本小题满分 8 分,其中第(1)问 4 分,第(2)问 4 分) 一个圆柱形容器的底部直径是 6cm,高是 10cm,现以每秒 2cm / s 的速度向容器内注入某种溶液。 (1)求容器内溶液的高度 x 关于注入溶液的时间 t s 的函数关系; (2)求此函数的定义域和值域。

26. (本小题满分 8 分,其中第(1)问 2 分,第(2)问 3 分,第(3)问 3 分)

2 已知数列 ?an ? 中, a1 ? , a2 ? 1,3an ? 4an ?1 ? an ? 2 ? n ? 3? 。 3
(1)求 a 3 的值; (2)证明:数列

?an ? an?1?? n ? 2? 是等比数列;

(3)求数列 ?an ? 的通项公式。

数学试卷 ?第 4 页(共 4 页)

云南省 2013 年 1 月普通高中学业水平考试 数学参考答案及评分标准

一、选择题(每小题 3 分,共 54 分) 题 号 答 案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 C 8 A 9 B 10 A 11 B 12 D 13 B 14 B 15 C 16 D 17 D 18 A

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 题号 答案 三、解答题(共 30 分) 23.(1) f ( x) ? 19 19 20 甲 21 1 22

2 (-2,- ) 3

3 1 ? (1 ? sin 2 x) 2 2 1 ? sin 2 x ? 1 …………………………………………………...……...2 分 2 3 ? f ( x) 的最小正周期 T= ? , f ( x) max ? …………………………………….4 分 2

(2)由 2k? ? 得 k? ?

?

?
4

2

? 2 x ? 2 k? ?

?

? x ? k? ?

?
4

2

(k ? Z )

,

? ?? ? ? f ( x) 的递增区间是 ? k? ? , k? ? ? (k ? Z ) ………………………………..7 分 4 4? ?
24.(1)连接 AC, ? E、F 分别为 AD1 、 CD1 中点, D1 A1 E D F C B B1 C1

? E F / / A C,
又 EF ? 平面ABCD, AC ? 平面ABCD ,

? EF / /平面ABCD.
…………………..…..……………………………4 分 A

(2)连接 A 1B , A 1 D ,容易证明四边形 A 1BCD 1 是平行四边形,? A 1B / / D 1C ,

? 两异面直线 BD 与 CD1 所成角为 ?A1BD ,易知 V A1 BD 是等边三角形,
??A1BD ? 60?.

数学试卷 ?第 5 页(共 4 页)

? 两异面直线 BD 与 CD1 所成角的大小为 60?. ……………………….…..………..7 分
3 25.(1)容器的底面积 S=9 ? cm 2 ,容器的体积为 90? cm . 经过 t s 注入溶液的容积为 2 t cm3 ,

容器内溶液的高度 x 关于注入溶液的时间 t s 的函数关系式为 x ?

2 t. 9?

……………………………………………………………....4 分 (2)函数的定义域为 t ? [0, 45? ] ,函数的值域为 x ? [0,10] 。 ……………………………………….………………..……..8 分 26.(1) Q a1 ?

2 2 10 , a2 ? 1,3an ? 4an ?1 ? an ?2 ? n ? 3? 取 n ? 3 得 3a3 ? 4a2 ? a1 ? 4 ? ? , 3 3 3
10 ………………………………………………………….……….……2 分 9

? a3 ?

(2)在 3an ? 4an ?1 ? an ? 2 ? n ? 3? 两端同时减去 3an ?1 ,整理得 3(an ? an ?1 ) ? an ?1 ? an ? 2
a2 ? a1 ?
a ? an ?1 1 1 ? (n ? 3) , ? 0 ,则 n an ?1 ? an ? 2 3 3

1 1 故数列 ?an ? an?1? (n ? 2) 是首项等于 且公比等于 的等比数列。…………..….5 分 3 3

(3)由(2)知,数列 ?an ? an?1? 的通项为: an ? an ?1 ? 于是有:

1 1 n ?1 1 n ? ( ) ? ( ) (n ? 2) 3 3 3

1 a2 ? a1 ? ( ) 2 3 1 a3 ? a2 ? ( )3 3 1 a4 ? a3 ? ( ) 4 3 ...... 1 n an ? an ?1 ? ( )( n ? 2) 3

1 1 ( )2 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 2 1 3 1 n 1 1 1 3 把上述式子累加得: an ? a1 ? ( ) +( ) +...+( ) ? 3 ? ? ? ( )n 1 3 3 3 6 2 3 1? 3 2 1 1 1 n 2 5 1 1 n 又 a1 ? , an ? ? ? ( ) ? ? ? ? ( ) 3 6 2 3 3 6 2 3 5 1 1 n * 故该数列的通项公式是: an ? ? ? ( ) ( n ? N ) ………………………….……….8 分 6 2 3

数学试卷 ?第 6 页(共 4 页)


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