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【红对勾】2016-2017学年高中数学必修二(人教A版)课时作业16平面与平面垂直的判定 Word版含解析


数学学习总结资料

课时作业 16

平面与平面垂直的判定
——基础巩固类——

1.关于直线 a、b、l 及平面 α、β,下列命题中正确的是( A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 a∥α,b⊥a,则 b⊥α C.若 a ? α,b ? α,且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥α D.若 a⊥α,a∥β,则 α⊥β

)

解析:A 选项中,若 a∥α,b∥α,则有 a∥b 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面.B 选项中,b 可能在 α 内,b 可能与 α 平行,b 可能与 α 相交.C 选项中需增加 a 与 b 相交,则 l⊥α.故选 D. 答案:D 2. 已知二面角 α-l-β 的大小为 60° , m, n 为异面直线, 且 m⊥α, n⊥β,则 m,n 所成的角为( A.30° B.60° ) C.90° D.120°

解析:m,n 所成的角等于二面角 α-l-β 的平面角. 答案:B

3. 如图, PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面, 则图中与平面 PCD

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垂直的平面是(

)

A.平面 ABCD B.平面 PBC C.平面 PAD D.平面 PBC 解析:由 PA⊥平面 ABCD 得 PA⊥CD,由四边形 ABCD 为矩形 得 CD⊥AD,从而有 CD⊥平面 PAD,所以平面 PCD⊥平面 PAD.故 选 C. 答案:C

4.如图,AB 是圆的直径,PA 垂直于圆所在的平面,C 是圆上 一点(不同于 A、B)且 PA=AC,则二面角 P-BC-A 的大小为( A.60° C.45° B.30° D.15° )

解析:易得 BC⊥平面 PAC,所以∠PCA 是二面角 P-BC-A 的 平面角,在 Rt△PAC 中,PA=AC,所以∠PCA=45° .故选 C. 答案:C

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5.如图所示,在三棱锥 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD, E 是 AC 的中点,则下列结论中正确的是( A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE 解析:因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC.同理有 DE⊥AC,BE∩DE=E,所以 AC⊥平面 BDE.因为 AC ?平面 ABC, 所以平面 ABC⊥平面 BDE.又因为 AC ?平面 ACD, 所以平面 ACD⊥ 平面 BDE.故选 C. 答案:C )

6. 如图, 在正四面体 P-ABC(棱长均相等)中, E 是 BC 的中点. 则
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平面 PAE 与平面 ABC 的位置关系是________. 解析:因为 PB=PC,E 是 BC 的中点,所以 PE⊥BC,同理 AE⊥BC,又 AE∩PE=E,所以 BC⊥平面 PAE.又 BC ?平面 ABC, 所以平面 PAE⊥平面 ABC. 答案:垂直 7.如图所示,在△ABC 中,AD⊥BC,△ABD 的面积是△ACD 的面积的 2 倍.沿 AD 将△ABC 翻折,使翻折后 BC⊥平面 ACD, 此时二面角 B-AD-C 的大小为________.

解析:由已知得,BD=2CD. 翻折后,在 Rt△BCD 中,∠BDC=60° ,而 AD⊥BD,CD⊥AD, 故∠BDC 是二面角 B-AD-C 的平面角,其大小为 60° . 答案:60°

8.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PB⊥ 平面 ABCD.
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(1)求证:平面 PAD⊥平面 PAB; (2)若平面 PDA 与平面 ABCD 成 60° 的二面角,求该四棱锥的体 积. 解: (1)证明: ∵PB⊥平面 ABCD, AD ?平面 ABCD, ∴PB⊥AD. ∵AD⊥AB,且 AB∩PB=B, ∴AD⊥平面 PAB. 又∵AD ?平面 PAD,∴平面 PAD⊥平面 PAB. (2)由(1)的证明知,∠PAB 为平面 PDA 与平面 ABCD 所成的二 面角的平面角,即∠PAB=60° ,∴PB= 3a. 1 2 3a3 ∴VP-ABCD=3· a · 3a= 3 . 1 9.如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=2AD,E 是 AD 的 中点,沿 BE 将△ABE 折起至△A′BE 的位置,使 A′C=A′D, 求证:平面 A′BE⊥平面 BCDE.

证明:如图所示,取 CD 的中点 M,BE 的中点 N,连接 A′M,
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A′N,MN,则 MN∥BC. 1 ∵AB=2AD,E 是 AD 的中点, ∴AB=AE,即 A′B=A′E. ∴A′N⊥BE.∵A′C=A′D,∴A′M⊥CD. 在四边形 BCDE 中,CD⊥MN, 又 MN∩A′M=M,∴CD⊥平面 A′MN.∴CD⊥A′N. 1 ∵DE∥BC 且 DE=2BC,∴BE 必与 CD 相交. 又 A′N⊥BE,A′N⊥CD,∴A′N⊥平面 BCDE. 又 A′N ?平面 A′BE,∴平面 A′BE⊥平面 BCDE. ——能力提升类——

10.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中 心,M 为棱 BB1 的中点,则下列结论中错误的是( A.D1O∥平面 A1BC1 B.MO⊥平面 A1BC1 C.异面直线 BC1 与 AC 所成的角等于 60° D.二面角 M-AC-B 等于 90°
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)

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解析:对于选项 A,连接 B1D1,BO,交 A1C1 于 E,则四边形 D1OBE 为平行四边形,所以 D1O∥BE,因为 D1O ?平面 A1BC1,BE ?平面 A1BC1,所以 D1O∥平面 A1BC1,故正确;对于选项 B,连接 B1D,因为 O 为底面 ABCD 的中心, M 为棱 BB1 的中点,所以 MO∥B1D, 易证 B1D⊥平面 A1BC1, 所以 MO⊥平面 A1BC1, 故正确; 对于选项 C,因为 AC∥A1C1,所以∠A1C1B 为异面直线 BC1 与 AC 所成的角, 因为△A1C1B 为等边三角形, 所以∠A1C1B=60° , 故正确; 对于选项 D,因为 BO⊥AC,MO⊥AC,所以∠MOB 为二面角 M- AC-B 的平面角,显然不等于 90° ,故不正确.综上知,选 D. 答案:D 11.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底 面各边都相等,M 是 PC 上一动点.当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)

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解析: 连接 AC, 则 BD⊥AC.由 PA⊥底面 ABCD, 可知 BD⊥PA, 所以 BD⊥平面 PAC,所以 BD⊥PC,所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC) 时,即有 PC⊥平面 MBD.而 PC ?平面 PCD,所以平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) 12. 在图(1)等边三角形 ABC 中, AB=2, E 是线段 AB 上的点(除 点 A 外), 过点 E 作 EF⊥AC 于点 F, 将△AEF 沿 EF 折起到△PEF(点 A 与点 P 重合,如图(2)),使得∠PFC=60° .

(1)求证:EF⊥PC; (2)试问,当点 E 在线段 AB 上移动时,二面角 P-EB-C 的大 小是否为定值?若是,求出这个二面角的平面角的正切值,若不是, 请说明理由. 解:(1)证明:因为 EF⊥PF,EF⊥FC, 又由 PF∩FC=F,所以 EF⊥平面 PFC. 又因为 PC ?平面 PFC,所以 EF⊥PC.

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(2)由(1)知,EF⊥平面 PFC, 所以平面 BCFE⊥平面 PFC, 作 PH⊥FC,则 PH⊥平面 BCFE, 作 HG⊥BE,连接 PG,则 BE⊥PG, 所以∠PGH 是这个二面角的平面角, 设 AF=x,则 0<x≤1,因为∠PFC=60° , x 3 3 3 所以 FH=2,PH= 2 x,易求 GH= 4 x, PH 2 所以 tan∠PGH=GH=3, 所以二面角 P-EB-C 的大小是定值.

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