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2014届高考数学(文)一轮复习课件(鲁闽皖专用): 直线、平面垂直的判定及其性质(新人教A版)


第五节 直线、平面垂直的判定及其性质

三年20考

高考指数:★★★★

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间 中线、面垂直的有关性质与判定定理; 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关 系的简单命题.

1.垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中,主要考查对与垂 直有关的概念、公理、定理、性质、结论的理解及运用,往往与

命题及平行关系综合在一起考查,难度较小;
2.线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现,且

常与平行关系综合命题,难度中等;
3.通过求线面角,或与几何体的体积结合在一起命题,进而考查 学生的空间想象能力和运算能力,常以解答题的形式出现.

1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 任意 条件:直线l与平面α 内的_____一条直线都垂直. 结论:直线l与平面α 垂直.

(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 判 定 定 理 一条直线与一个 平面内的两条 相交 ______直线都垂 直,则该直线与 此平面垂直. 图形语言
l

符号语言

a α b
O

l⊥a ∵_____, l⊥b _____, _____, a?α _____, b?α _______, a∩b=O ∴l⊥α

性 质 定 理

垂直于同一个 平面的两条直 线______. 平行

a
α

b

a⊥α ∵_____, b⊥α ______, ∴a∥b

【即时应用】(1)思考:能否将直线与平面垂直的定义中的

“任意一条直线”改为“无数条直线”?
提示:不可以.当这无数条直线平行时,直线l有可能在平面α 内,或者l与平面α相交但不垂直. (2)直线a⊥平面α ,b∥α ,则a与b的位置关系是_______. 【解析】由b∥α可得b平行于α内的一条直线,设为b′.因为

a⊥α,所以a⊥b′,从而a⊥b,但a与b可能相交,也可能异
面. 答案:垂直

2.直线与平面所成的角
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的 锐角 射影所成的______,叫做这条直线和这个平 ∠PAO 面所成的角.如图,______就是斜线AP与平 面α 所成的角. (2)线面角θ 的范围:θ ∈[0, ? ]. 2

【即时应用】 (1)思考:如果两直线与一个平面所成的角相等,则这两直线 一定平行吗? 提示:不一定.这两直线的位置关系可能平行、相交或异面.

(2)如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,B1C与

平面A1B1C1D1所成的角为_______,其大小
为_____;D1B与平面ABCD所成的角的正弦 值为_____. 【解析】B1C与平面A1B1C1D1所成的角为∠CB1C1,其大小为 45°;连接BD,则D1B与平面ABCD所成的角为∠D1BD,其正弦
3 . 3 答案:∠CB1C1

值为

45°

3 3

3.平面与平面垂直 (1)二面角

①定义:从一条直线出发的两个半平面
所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做 面 二面角的棱.两个半平面叫做二面角的___. α -AB-β α -l-β 如图的二面角,可记作:二面角________或二面角_________.

②二面角的平面角:
如图,过二面角α -l-β 的棱l上一点O在两 ∠AOB 个半平面内分别作BO⊥l,AO⊥l,则_______ 就叫做二面角α -l-β 的平面角. ③平面角的范围: 设二面角的平面角为θ ,则θ ∈[0,π ].

(2)平面与平面垂直
①定义: 直二面角 条件:两相交平面所成的二面角为_________. 结论:这两平面垂直.

②平面与平面垂直的判定定理:

文字语言
一个平面过

图形语言

符号语言

判 定 定 理

另一个平面 垂线 的_____,则 这两个平面

β l

∵______, l⊥α
l?β ______, ∴α ⊥β

α

垂直.

③平面与平面垂直的性质定理: 文字语言 图形语言 符号语言

两个平面垂
性 质 定 理 直,则一个 平面内垂直 交线 于_____的直 线与另一个 平面垂直.

β l a α

β ⊥α ∵______,
α ∩β =a ________, l?β _______

l⊥a _______
∴l⊥α

【即时应用】

(1)思考:垂直于同一平面的两平面是否平行?
提示:不一定.两平面可能平行,也可能相交. (2)已知α ,β 表示两个不同的平面,m为平面α 内的一条直线, 则“α ⊥β ”是“m⊥β ”的________条件.(填“充分不必 要”、“必要不充分”、“充要”)

【解析】由条件知,当m⊥β时,一定有α⊥β;但反之不一
定成立.故填必要不充分. 答案:必要不充分

(3)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后,∠DAB=_______. 【解析】如图,取AC的中点O,连接DO, BO,则DO⊥AC,BO⊥AC,故∠DOB为二 面角的平面角,从而∠DOB=90°.设正 方形边长为1,则 DO ? BO ? 2 , 所以 A 2 DB=1,故△ADB为等边三角形,所以 ∠DAB=60°. 答案:60°

D

O

C

B

直线与平面垂直的判定和性质 【方法点睛】1.判定线面垂直的常用方法 方法一 利用线面垂直的判定定理 方法二 方法三 利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与 这个平面垂直”. 利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另 一个也垂直”.

方法四 利用面面垂直的性质

2.线面垂直性质的应用 当直线和平面垂直时,则直线与平面内的所有直线都垂直,给 我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法. 【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程. 如用判定定理证明线面垂直时,一定要体现出“平面中的两条 相交直线”这一条件.

【例1】(1)(2012·北京模拟)已知如图,六棱锥P-ABCDEF的底

面是正六边形,PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是(
(A)CD∥平面PAF (B)DF⊥平面PAF (C)CF∥平面PAB (D)CF⊥平面PAD

)

(2)(2012·鹰潭模拟)如图,三棱 锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC, DE垂直平分线段PC,且分别交AC、 PC于D、E两点,又PB=BC,PA=AB.

①求证:PC⊥平面BDE;
②若点Q是线段PA上任一点,判断BD、DQ的位置关系,并证明

你的结论;
③若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.

【解题指南】(1)根据线面平行、垂直的判定定理来判断. (2)①利用线面垂直的判定定理证明;②证明BD⊥平面PAC即可; ③根据VB-CED=VC-BDE,转化为求S△BDE及CE的长度.

【规范解答】(1)选D.由正六边形的性质得CD∥AF,CF∥AB, 故A、C正确;因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥DF,又DF⊥AF, PA∩AF=A,故DF⊥平面PAF,即B正确.故选D. (2)①由等腰三角形PBC,得BE⊥PC, ∵DE垂直平分PC,∴DE⊥PC, 又BE∩DE=E, ∴PC⊥平面BDE

②由①得,PC⊥BD, ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BD.

又PC∩PA=P,
∴BD⊥平面PAC

∴当点Q是线段PA上任一点时都有BD⊥DQ.

③∵PA=AB=2, ∴ PB ? BC ? 2 2. ∵AB⊥BC,∴ AC ? 2 3. ∴PC=4,CE=2, 且 BD ? AB?BC ? 2 ? 2 2 ? 2 6 , AC 3 2 3 ∵△CDE∽△CPA,

∴ CE ? DE , CA PA

∴ DE ? CE?PA ? 2 ? 2 ? 2 3 . CA 3 2 3 由②知:BD⊥DE. ∴ VB?CED ? VC?BDE ? 1 S△BDE ?CE 3 1 1 2 6 2 3 4 2 ? ?( ? ? )? 2 ? . 3 2 3 3 9

【反思·感悟】1.在证明垂直关系时,要注意线面垂直与面面 垂直间的相互转化,同时要注意通过作辅助线进行这种转化. 2.解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析,从中 找到线线垂直往往是解题的关键,因为所有的垂直问题都可转 化为线线垂直来处理.

平面与平面垂直的判定和性质
【方法点睛】1.判定面面垂直的方法 面面垂直的判定综合性强,可通过转化使问题得以解决,“线 线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如图,

其中线线垂直是基础,线面垂直是核心.解决这类问题时要善 于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件.

2.面面垂直性质的应用 (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依

据,运用时要注意“平面内的直线”.
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直

于第三个平面.

【例2】如图,在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥
平面BCD,∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且
AE AF ? ? ? ? 0 ? ? ? 1? . AC AD (1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予

证明; (2)是否存在λ ,使得平面BEF⊥平面ACD, 如果存在,求出λ 的值,如果不存在,说明理由.

【解题指南】(1)结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由 AE = AF AC AD 知EF∥CD,由∠BCD=90°及AB⊥平面BCD可证得结论成立. (2)由EF∥CD可知问题相当于过点B作一个平面与平面ACD垂直, 而这样的平面一定存在,故只需计算出λ即可.

【规范解答】(1)EF⊥平面ABC.

证明:∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,
在△BCD中,∠BCD=90°,∴BC⊥CD,

又AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC,
在△ACD中 AE ? AF ? ? ? 0 ? ? ? 1? , AC AD ∴EF∥CD, ∴EF⊥平面ABC.

(2)∵CD⊥平面ABC,BE?平面ABC, ∴BE⊥CD,

故要使平面BEF⊥平面ACD,只需证BE⊥AC.
在Rt△ABD中,∠ADB=60°, ∴AB=BDtan60°= 6, 则 AC ? AB2 ? BC2 ? 7, 当BE⊥AC时,BE= AB?BC = 6 , AC 7

AE ? AB2 ? BE 2 ?

36 , 7

36 则 AE = 7 = 6 ,即?= AE = 6 时, BE⊥AC, AC AC 7 7 7

又BE⊥CD,AC∩CD=C, ∴BE⊥平面ACD, ∵BE?平面BEF, ∴平面BEF⊥平面ACD. 所以存在 ?= 6 时,平面BEF⊥平面ACD. 7

【反思·感悟】证明面面垂直时一般先证线面垂直,确定这条 直线时可从图中现有的直线中去寻找,若图中不存在这样的直 线,则应通过添加辅助线来构造.

垂直关系的综合问题 【方法点睛】垂直关系综合题的类型及解法 (1)对于三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、 线面、面面垂直间的转化. (2)对于垂直与平行结合的问题,求解时应注意平行、垂直的

性质及判定的综合应用.
(3)对于垂直与体积结合的问题,在求体积时,可根据线面垂

直得到表示高的线段,进而求得体积.

【例3】(2012·唐山模拟)如图,已知三棱 锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中 点,D为PB的中点,且△PMB为正三角形. (1)求证:DM∥平面APC; (2)求证:平面ABC⊥平面APC;

(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D-BCM的体积.
【解题指南】(1)要证DM∥平面APC,只需证明DM∥AP;(2)证

BC⊥平面APC;(3)通过VD-BCM=VM-BCD求体积.

【规范解答】(1)∵M为AB中点,D为PB中点, ∴DM∥AP, 又DM?平面APC,AP?平面APC. ? ∴DM∥平面APC. (2)∵△PMB为正三角形,且D为PB中点, ∴MD⊥PB,

又由(1)知MD∥AP,∴AP⊥PB.

又AP⊥PC,PB∩PC=P, ∴AP⊥平面PBC,∴AP⊥BC, 又∵AC⊥BC,AP∩AC=A,∴BC⊥平面APC. 又BC?平面ABC.∴平面ABC⊥平面APC.

(3)∵AB=20,∴MP=10,PB=10.
又BC=4, = 100- =2 21, PC 16
1 1 1 2 4 4 又 MD= 1 AP= 1 400-100=5 3. 2 2 1 1 ? VD-BCM=VM-BCD= S△BDC ?DM= ? 2 21 ? 5 3= 7. 10 3 3

∴ S△BDC= S△PBC= PC?BC= ? 2 21 ? 4 ? 2 21,

【反思·感悟】1.本题体现了“转化”思想在立体几何中的应
用,解题中要注意利用“平行”、“垂直”间的转化.

2.解答题中要注重关键步骤的叙述与体现,以做到规范解题.

【满分指导】垂直关系综合问题的规范解答 【典例】(12分)(2011·辽宁高考)如 图,四边形ABCD为正方形,QA⊥平 面ABCD,PD∥QA,QA=AB= 1 PD. 2 (1)证明:PQ⊥平面DCQ;

(2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值.

【解题指南】(1)证明PQ⊥DC,PQ⊥QD,进而可得PQ⊥平

面DCQ;
(2)设出正方形的边长为a,分别计算两个棱锥的体积,再 求体积的比值.

【规范解答】(1)由条件知PDAQ为直角梯形. 因为QA⊥平面ABCD,QA?平面PDAQ, 所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线为AD.

又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD,
所以DC⊥平面PDAQ,????????????????2分

又PQ?平面PDAQ,所以PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得 DQ ? PQ ? 2 PD, 2 则PQ⊥QD. ???????????????????5分 又DC∩QD=D,所以PQ⊥平面DCQ. ??????????6分

(2)设AB=a. 由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高, 所以棱锥Q-ABCD的体积 V1 ? 1 a 3 . ???????????8分 3 由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高,

而 PQ ? 2a, △DCQ的面积为 2 a 2, 2 所以棱锥P-DCQ的体积 V ? 1 a 3 . ??????????11分 2 3 故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1. ?12分

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以

得到以下失分警示和备考建议:
在解答本题时有两点容易造成失分: 失 (1)解题时忽视各种垂直间的转化,从而造成思路 受阻; (2)答题过程书写不规范,如在证明线面垂直时忽 视了对“平面内两条相交直线”的叙述.


警 示

解决垂直问题时,还有以下几点容易造成失分,在备考
时要高度关注:


考 建 议

(1)缺乏空间想象能力,找不出应该垂直的线和面;

(2)对几何体体积、面积及线面角的计算不准确;
(3)不善于挖掘图形中存在的关系,缺乏通过添加辅助 线解题的能力. 另外要重视对基础知识的积累、解题过程的规范,并且 要善于使用数学符号进行表达.

1.(2012·泉州模拟)已知两条不同的直线m,n,两个不同的平 面α ,β ,则下列命题中的真命题是( (A)若m⊥α ,n⊥β ,α ⊥β ,则m⊥n (B)若m∥α ,n∥β ,α ∥β ,则m∥n (C)若m⊥α ,n∥β ,α ⊥β ,则m⊥n (D)若m∥α ,n⊥β ,α ⊥β ,则m∥n )

【解析】选A.由m⊥α,α⊥β可得m∥β或m?β,又n⊥β,故 m⊥n,即A正确;如图(1),m⊥α,n∥β,α⊥β,但m∥n,故C 错;如图(2)知B错;如图(3)正方体中,m∥α,n⊥β, α⊥β, 但m,n相交,故D错.

2.(2012·淄博模拟)如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC, AE⊥DC,M、N分别是AD、BE的中点,将三角形ADE沿AE折起.下

列说法正确的是__________.(填上所有正确的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都 有MN∥平面DEC; ②不论D折至何位置都有MN⊥AE; ③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.

【解析】将△ADE沿AE折起后所得图形如图,取DE中点P,EC中点 Q,连PM、PQ、QN. 则? ∥1 AE,NQ 1 BC, PM ∥ 2 2 ∴PM?NQ,∴四边形PMNQ为平行四边形, ∥ ∴MN∥PQ, 又MN?平面DEC,PQ?平面DEC, ? ∴MN∥平面DEC,

故①正确.

又AE⊥ED,AE⊥EC,DE∩CE=E,
∴AE⊥平面DEC,∴AE⊥PQ,∴AE⊥MN, 故②正确. 由MN∥PQ,PQ与EC相交知MN与EC不平行, 从而MN与AB不会平行. 答案:①②

3.(2011·福建高考)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD, AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB. (1)求证:CE⊥平面PAD;

(2)若PA=AB=1,AD=3, ? 2, ∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD CD
的体积.

【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,CE?平面ABCD, 所以PA⊥CE. 因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD. 又PA∩AD=A, 所以CE⊥平面PAD.

(2)由(1)可知CE⊥AD.
在Rt△ECD中,DE=CD·cos45°=1.

CE=CD·sin45°=1.

又因为AB=CE=1,AB∥CE,
所以四边形ABCE为矩形. 所以S四边形ABCD=S矩形ABCE+S△ECD= AB?AE ? 1 CE?DE ? 2 1 5 1? 2 ? ? 1? 1 ? . 2 2 又PA⊥平面ABCD,PA=1,
1 1 5 5 所以 V四棱锥P?ABCD ? S四边形ABCD ?PA ? ? ?1 ? . 3 3 2 6


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