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巧用z与


2001 年第 6 期               数学通讯

7

巧用 z 与z 的关系解题
杜典意
( 英山一中 , 湖北   438700)

中图分类号 :O12 - 44      文献标识码 :A      文章编号 :0488 - 7395 ( 2001) 06 - 0007 - 02

   在复数学习中 , 经常遇到涉及以实数或 纯虚数为条件或判断复数为实数或纯虚数的 问题 . 如果按照常规 , 根据概念来分析与判 断 , 有时计算非常复杂 . 下面关于 z 与 z 的两 个命题能提供一条途径 , 使得上述计算简化 , 同时能加深对复数概念的理解 . 命题 1   复数 z 为实数的充要条件是 : z = z. 证  设 z = a + bi , 则 z = a - bi . z ∈R Ζ b = 0 Ζ z = z . 命题 2   设 z≠ 0 , 则 z 为纯虚数的充要 条件是 z = - z . 证  ∵ z ≠0 , 设 z = a + bi , 则 a , b 不 全为 0 . z 为纯虚数 Ζ a = 0 且 b ≠ 0 Ζ a+ bi + a - bi = 0 Ζ z + z = 0 . 例1  设复数 α,β, γ 满足 | α | = |β | = |γ | = 1. (β+ γ ) (α + γ ) (α + β ) 试证 : z = 是实 α β γ 数.
1 1 1 证  ∵α= α ,β= β ,γ = γ ,

=

(α+ β ) (β+ γ ) (α + γ )

α β γ

= z,

∴ z ∈R . 例 2  已 知 复 数 z 同 时 满 足 ① z +
14 - z 为实数 , ② | z - 4| = | z - 4 i | , 求 z . z- 1 14 - z 14 - z =z+ , z- 1 z - 1 13 ) =0, 整理得 : ( z - z ) ( 1 | z - 1| 2 ( 1) ∴z = z

解  由① 知 z+

或 | z - 1| 2 = 13 设 z = x + yi , 由 ② 得
2 2 x + ( y - 4) ,

( 2) ( x - 4) 2 + y 2 =

∴x=y 由 ( 1 ) , ( 3) 得 z 1 = 0 . 由 ( 2 ) , ( 3) 得 x = y = - 2 或 3 , ∴ z2 = - 2 - 2 i , z3 = 3 + 3 i.

( 3)

故所求的 z 为 : z = 0 , - 2 - 2 i , 3 + 3 i .
z 为纯虚数 , 求复数 z 在复 z- 1 平面内对应点的轨迹 .

例3  设

而 z =

α β γ (β+ γ ) (γ + α ) (α+ β ) = α β γ 1 1 1 1 1 1 ( + )( + )( + ) β γ γ α α β = 1 1 1 α? β? γ

(β+ γ ) (α + γ ) (α + β )

解  显然 z ≠0 , z ≠1 . ∵ 数, ∴
1) = 0 ,
z z- 1

z 为纯虚 z- 1

= -

z , z ( z - 1) + z ( z z- 1

收稿日期 :2000 - 09 - 26 ) , 男 , 湖北英山人 , 英山一中高级教师 , 学士 . 作者简介 :杜典意 ( 1963 — ? 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net

8

数 学 通 讯               2001 年第 6 期

坐标系平移变换的应用
李立春
( 丰南二中 , 河北   063306)

中图分类号 :O123. 3      文献标识码 :A      文章编号 :0488 - 7395 ( 2001) 06 - 0008 - 02    坐标系平移变换在课本中所占篇幅虽然不多 , 但 其应用却相当广泛. 由于坐标系平移变换使 “静” 化为 “ 动” ,因而用其解题有时容易出错 , 下面从四个方面来 说明坐标系平移变换的应用和如何利用其正确解题.
1  直接利用移轴公式求坐标或方程

分析 :题目要求的是点 A 在新坐标系下的坐 标 , ( - 1 , - 3) 是点 A 在原坐标系下的坐标 . 新系原 点在原系下的坐标为 ( 2 , - 1 ) , 直接由移轴公式解 , 故选 (B) . 练习 1   设点 A ( x A , y A ) , B ( x B , yB ) , 如果平移 坐标轴 , 使 A 点的新坐标是 ( 2 x A , 2 yA ) , 则 B 点的 新坐标为
( A) ( 2 x B , 2 yB ) . (B) ( x A + x B , yA + yB ) . ( C) ( x A + 2 x B , y A + 2 yB ) . ( D) ( 2 x A + x B , 2 yA + yB ) .
(    )

利用移轴公式解题的关键是要分清已知和所求 的坐标或方程是在原坐标系下还是在新坐标系下 .
(2 , 例1  平移坐标轴 , 把原点 O ( 0 , 0 ) 移到 O′

- 1) , 则点 A ( - 1 , - 3) 在新坐标系中的坐标是
(    )

( A) ( 3 , 2) .    (B) ( - 3 , - 2) . ( C) ( - 3 , 2) .   ( D) ( 3 , - 2) .

例2  在平面直角坐标系 x Oy 中 , 设曲线 4 x 2

   即( z -

1 1 1 ) (z ) = , 2 2 4 1 1 ∴| z - | = , z ≠ 0, z ≠ 1. 2 2

由上述几例可以看出利用命题 1 、 命题 2 转化这类问题 , 能够简化运算 , 迅速求解 . 练
1  设复数 z 满足
z

∴ z 在复平面内对应点的轨迹是以
1 1 , 0 ) 为圆心 , 为半径的圆 ( 除去点 ( 0 , 2 2 0) , ( 1 , 0 ) ) .
(

习 ∈R , 求 z 在复平面

1 + z2

内的轨迹 .
2  已知| z - 1| = 2 且 z 为纯虚数 , 求 z . 3  已知虚数 z 满足| z | = a , 求证 w =
z- a z+ a

例4  设 z ∈C , 且 | z | = 1 , 但 z ≠± 1, 证明 u =
z- 1 是纯虚数 . z +1 z- 1 z +1

证  显然 u ≠ 0 ,且 u =
=
z - zz 1 - z = = - u, z + zz 1 + z

=

z - 1 z +1

为纯虚数 . 答案   1  z 的轨迹是实轴及单位圆 , 除 去两点 ( 0 , ±1 ) .  2  z = ± 3 i .  3  提 示 :证明 w + w = 0 即可 .

∴ z 为纯虚数 .

收稿日期 :2000 - 11 - 03 ) , 男 , 河北丰南市人 , 河北丰南二中二级教师 , 学士 . 作者简介 :李立春 ( 1968 — ? 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net


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