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第一章第二讲指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质


指数函数、对数函数、 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
理解有理数指数幂的含义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念,理解指数函数的 单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点;理解对数的概念及其运算性质,理解对 数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点。了解指 课程目标 数函数 y=ax 与对数函数 y = log a x 互为反函数( a > 0, 且a ≠ 1 ) 。了解幂函数的概 念。结合函数 y=x,y=x2,y=x3, y = 课程重点 课程难点 教学方法建议

1 , y = x 2 的图象,了解它们的变化情况。 x

1

指数、对数的运算性质;指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用;幂函数图 像的应用。 指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用,幂函数图像的应用。 首先回顾指数、对数的运算性质;指数函数、对数函数的图像与性质等基础知识。 再通过经典例题的剖析,帮助学生理解基础知识,加深对知识的认识和记忆。再通 过精题精练,使学生形成能力。在例题和习题的选择上可以根据学生的实际情况进 行。 A类 B类 C类 课堂精讲例题 ( 4 )道 ( 3 )道 ( 0 )道 搭配课堂训练题 ( 4 )道 ( 3 )道 ( 0 )道 课后作业 ( 11 )道 ( 10 )道 ( 0 )道

选材程度及数量

一:考纲解读、有的放矢 考纲解读、 理解有理数指数幂的含义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念,理解指数函数的单调 性, 掌握指数函数图象通过的特殊点。 理解对数的概念及其运算性质。 理解对数函数的概念, 理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点。了解指数函数 y=ax 与对数函数

y = log a x 互为反函数( a > 0, 且a ≠ 1 ) 。了解幂函数的概念。结合函数 y=x,y=x2,y=x3, 1 y = , y = x 2 的图象,了解它们的变化情况。指数函数、对数函数在高中数学中占有十 x
分重要的地位,是高考重点考查的对象,热点是指数函数、对数函数的图象与性质的综合应 用.同时考查分类讨论思想和数形结合思想;多以选择、填空题的形式出现,有时会与其他 知识结合在知识交汇点处命题。 核心梳理、 二: 核心梳理、茅塞顿开 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念
1

1

根式的概念 如果 x = a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根
n

符号表示

备注

n > 1且n ∈ N ?
n

当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次 方根是一个负数 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数

a

零的 n 次方根是零

± n a ( a > 0)

负数没有偶次方根

.两个重要公式 (2) 两个重要公式 ) .

?a ? n n ① a =? ?a(a ≥ 0) | a |= ? ? ?? a(a < 0) ?

n 为奇数 n 为偶数 ;

② ( n a ) n = a (注意 a 必须使 n a 有意义) 。 2.有理数指数幂 . (1)幂的有关概念 ) ①正数的正分数指数幂: a
m n
?

= n a m (a > 0, m、n ∈ N ? , 且n > 1) ;
m n

②正数的负分数指数幂: a

=

1 a
m n

=

1
n

a

m

(a > 0, m、n ∈ N ? , 且n > 1)

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ) ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);. 3.指数函数的图象与性质 . y=ax 图象 a>1 0<a<1

2

定义域 值域 性质

R (0,+ ∞ ) (1)过定点(0,1) (2)当 x>0 时,y>1; x<0 时,0<y<1 (3)在(- ∞ ,+ ∞ )上是增函数 (2) 当 x>0 时,0<y<1; x<0 时, y>1 (3)在(- ∞ ,+ ∞ )上是减函数

x x, x x 注:如图所示,是指数函数(1)y=a ,(2)y=b (3),y=c (4),y=d 的图象,如何确

定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系?

提示:在图中作直线 x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即 c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果 a x = N ( a > 0且a ≠ 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底, N 的对数,记作 x = log a N ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数。 (2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 2、对数的性质与运算法则 (1) 对数的性质 a > 0, 且a ≠ 1 )① log a1 = 0 , log a a = 1 , a ( : ② ③ (2)对数的重要公式: ①换底公式: log b
N
log a N

特点 底数为 a a > 0, 且a ≠ 1 底数为 10 底数为 e

记法

log a N
lg N

ln N
= N , log a a = N 。 ④
N

log a N = (a, b均为大于零且不等于1, N > 0) ; log a b

② log a b =

1 。 log b a
3

(3)对数的运算法则: 如果 a > 0, 且a ≠ 1 , M > 0, N > 0 那么 ① log a ( MN ) = log a M + log a N ; ② log a

M = log a M ? log a N ; N
n

③ log a M

= n log a M (n ∈ R ) ; n log a b 。 m

④ log a m b =
n

3、对数函数的图象与性质

a >1
图 象

0 < a <1

性 质

(1)定义域: (0,+ ∞ ) (2)值域:R (3)当 x=1 时,y=0 即过定点(1,0) (4)当 0 < x < 1 时, y ∈ ( ?∞, 0) ; 当 x > 1 时, y ∈ (0, +∞ ) (5)在(0,+ ∞ )上为增函数 (4)当 x > 1 时, y ∈ ( ?∞, 0) ; 当 0 < x < 1 时, y ∈ (0, +∞ ) (5)在(0,+ ∞ )上为减函数

注:确定图中各函数的底数 a,b,c,d 与 1 的大小关系 提示:作一直线 y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称。 (三)幂函数 1、幂函数的定义 α 形如 y=x (a∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而 指数函数的自变量在指数位置。
4

2、幂函数的图象

注:在上图第一象限中如何确定 y=x3,y=x2,y=x, y = x 2 ,y=x-1 方法:可画出 x=x0; 当 x0>1 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x3,y=x2, y=x, y = x 2 , y=x-1; 当 0<x0<1 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x-1, y = x 2 ,y=x, y=x2,y=x3 。 3、幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3
1 2 1 1

1

y=x

y=x-1

定义域 值域 奇偶性 单调性

R R 奇 增

R [0, +∞ ) 偶 x∈ ( ?∞, 0] 时,减

R R 奇

[0, +∞ ) [0, +∞ ) 非奇非偶 增

{ x | x ∈ R且x ≠ 0} { y | y ∈ R且y ≠ 0}
奇 x∈(0,+ ∞ )时,减; x∈(- ∞ ,0)时,减

x∈[0,+∞ )时,增; 增

定点

(1,1)

三:例题诠释,举一反三 例题诠释, 知识点 1:指数幂的化简与求值 1.(2007 例 1.(2007 育才 A)
? ? 3 ? 4 [(3 ) 3 (5 ) 0.5 + (0.008) 3 ÷ (0.02) 2 × (0.32) 2 ] ÷ 0.0625 0.25 8 9 (1)计算: ; 2 2 1 1

4

1

a 3 ? 8a 3 b
2 2 3 3 3 (2)化简: 4b + 2 ab + a

÷ (a

?

2 3

?

23 b a ? 3 a2 )× 5 a a ?3 a

变式: ( 变式: 2007 执信 A)化简下列各式(其中各字母均为正数):

5

(a ? b ) ? a ? b
?1

2 3

?

1 2

1 2

1 3

(1)

6

a ? b5

;

1 2 1 ? 5 1 ?2 a3 ? b ? (?3a 2b?1) ÷ (4a3 ? b?3 )2 . (2) 6

7 0 0.25 4 2 2 6 3 1.5 × (? ) + 8 × 2 + ( 2 × 3) ? ( ) 3 6 3 (3)
?

1 3

知识点 2:指数函数的图象及应用 2.(2009 A)已知实数 a、b 满足等式 ( 例 2.(2009 广附 A)

1 a 1 ) = ( ) b ,下列五个关系式:?①0<b<a;②a<b 2 3
( ) ? D.4 个?

<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.?其中不可能成立的关系式有 A.1 个 ? B.2 个 ? C.3 个

x 变式: ( 变式: 2010 华附 A)若直线 y = 2a 与函数 y =| a ? 1 | ( a > 0 且 a ≠ 1) 的图象有两个公共 )

点,则 a 的取值范围是_______. 知识点 3:指数函数的性质 3.( 例 3.(2010 省实 B)已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 t ∈ R ,不等式 f (t ? 2t ) + f (2t ? k ) < 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

?2 x + b f ( x) = x +1 是奇函数。 2 +2

ex a + x 是 R 上的偶函数.? 变式: 变式: 2010 东莞 B)设 a>0,f(x)= ( a e
(1)求 a 的值;? (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.? 对数式 知识点 4:对数式的化简与求值 4.( (1) log 2+ 3 ( 2 ? 3 ) 例 4.(2010 云浮 A)计算: (2)2(lg 2 ) +lg 2 ·lg5+ (lg 2 ) ? lg 2 + 1 ;?
2

2

(3) lg

1 2

32 4 - lg 8 +lg 245 .?? 49 3

变式: ( 变式: 2010 惠州 A)化简求值.? (1)log2
1 7 +log212- log242-1;? 2 48
2

(2)(lg2) +lg2·lg50+lg25;?

6

(3)(log32+log92)·(log43+log83).? 知识点 5:对数函数的性质 5.( 例 5.(2011 深圳 A)对于 0 < a < 1 ,给出下列四个不等式: ① log a (1 + a ) < log a ( a + ); ③a
1+ a

1 a

② log a (1 + a ) > log a (1 + ④a
1+ a

1 ); a

<a

1+

1 a

;

>a

1+

1 a

;

其中成立的是( )

(A)①与③(B)①与④(C)②与③(D)②与④ 变式: ( 变式: 2011 韶关 A)已知 0<a<1,b>1,ab>1,则 loga ( ) B. log a b < log a

1 1 , log a b, log b 的大小关系是 b b

1 1 < log a b < log b b b 1 1 C. log a b < log b < log a b b

A.loga

1 1 < log b b b 1 1 D. log b < log a < log a b b b

已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1), 如果对于任意 x∈ [3, +∞) 都有|f(x)| 例 6. 2010 广州 B) ( ≥1 成立,试求 a 的取值范围.? 变式: ( 变式: 2010 广雅 B)已知函数 f(x)=log2(x -ax-a)在区间(-∞,? 1- 3 ]上是单调递减 函数.求实数 a 的取值范围.? 知识点 6:幂函数的图象及应用
1? ? 7.(2009 B)已知点 ( 2, 在幂函数 f ( x) 的图象上,点 ? ?2, ? ,在幂函数 g ( x) 的图 2) 例 7.(2009 佛山 B) 4? ? (2) f ( x) = g ( x) ; (3) f ( x) < g ( x) . 象上.问当 x 为何值时有: (1) f ( x) > g ( x) ;
2

变式: ( 变式: 2009 揭阳 B)已知幂函数 f(x)=x m

2

? 2 m ?3

(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上 Z
b 的奇偶性.? xf( x)

是单调减函数.(1)求函数 f(x);?(2)讨论 F(x)=a f( x)?

四:方向预测、胜利在望 方向预测、 1. A)函数 f ( x ) = lg . ) (

1? x 的定义域为( x?4


D.(-∞,1]∪(4,+∞) (D) ln2

A.(1,4) B.[1,4) C.(-∞,1)∪(4,+∞) 2.(A)以下四个数中的最大者是( ) ( ) (A) (ln2)
2

(B) ln(ln2)

(C) ln 2

3(B)设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 ( )
(A) 2 (B)2 (C)2 2 (D)4 4.(A)已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 < x < 1 时, f ( x ) = lg x. 设 ( )

1 , 则 a=( 2

)

6 3 5 a = f ( ), b = f ( ), c = f ( ), 则( ) 5 2 2 (A ) a < b < c (B) b < a < c (C) c < b < a (D) c < a < b x ?1 ? ?2e , x < 2, 5.(B)设 f(x)= ? 则不等式 f(x)>2 的解集为( ) ( ) 2 ?log 3 ( x ? 1), x ≥ 2, ?
7

(A)(1,2) ∪ (3,+∞) (C)(1,2) ∪ ( 10 ,+∞) A. R < Q < P
2

(B)( 10 ,+∞) (D)(1,2) ) D. R < P < Q

(A 6. A)设 P = log 2 3 , Q = log 3 2 , R = log 2 (log 3 2) ,则( ( B. P < R < Q
2 2

C. Q < R < P )

7.(A)已知 log 1 b < log 1 a < log 1 c ,则( . A. 2 b > 2 a > 2 c B. 2 a > 2 b > 2 c

8. )下列函数中既是奇函数,又是区间 [ ?1,1] 上单调递减的是( . (B) ( (A) f ( x ) = sin x (C) f ( x ) = (B) f ( x) = ? x + 1

C. 2 c > 2 b > 2 a

D. 2 c > 2 a > 2 b )

1 x 2? x (a + a ? x ) (D) f ( x ) = ln 2 2+ x 9.(A)函数 y = log 1 (3 x ? 2) 的定义域是: ( )
2

A

[1, +∞)

B
4

( 2 , +∞) 3

C

[ 2 ,1] 3

D ( 2 ,1] 3 )

10.(A)已知函数 y = log 1 x与y = kx 的图象有公共点 A,且点 A 的横坐标为 2,则 k (

1 1 1 C. ? D. 4 2 2 11. B)若函数 f ( x ) = a x + b ? 1( a > 0且a ≠ 1)的图象经过第二 、三、四象限,则一定 . ) (
B. 有( ) A. 0 < a < 1且b > 0 B. a > 1且b > 0 C. 0 < a < 1且b < 0 D. a > 1且b < 0 12.(B)若函数 f ( x ) = log a x (0 < a < 1) 在区间 [ a, 2a ] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a= . ( A. )

1 A. ? 4

2 4

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

13.(A 13.(A)已知 0<x<y<a<1,则有( ) (A) log a ( xy ) < 0 (B) 0 < log a ( xy ) < 1 (C) 1 < log a ( xy ) < 2
6

(D) log a ( xy ) > 2 ) (D)

14.( ) 14.(A)已知 f ( x ) = log 2 x ,那么 f (8) 等于( (A)

4 3

(B)8

(C)18

1 2

lg( 4 ? x ) 的定义域是 ____________________________. x ?3 1? x 17. ) 17. B)函数 y = a ( a > 0,a ≠ 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 ( 1 1 mx + ny ? 1 = 0(mn > 0) 上,则 + 的最小值为 . m n ? e x , x ≤ 0. 1 18. A)设 g ( x) = ? 则 g ( g ( )) = __________ . ) ( 2 ?lnx, x > 0.
16.(A)函数 y = ( ) 19. ) ( 19. B)若函数 f(x) =

15. B)函数 y=lg|x| ( . ) ( ) A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减

2x

2

+ 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为___________.
8

20.(B)若函数 f ( x ) = log a ( x + . 21.(B)已知函数 f ( x ) = 性.

x 2 + 2a 2 ) 是奇函数,则 a=



1 1+ x ? log 2 ,求函数 f (x ) 的定义域,并讨论它的奇偶性和单调 x 1? x

参考答案: 参考答案: 例题诠释, 三:例题诠释,举一反三 (1) 例 1. 解:

2 2 , (2) a 9

变式: (1)1, (2) ? 4ab 2 . (3)110 变式:解: 例 2. 解:B ?? 变式: 变式:解: (0, ) ; (Ⅰ) b = 1 例 3. 解: (Ⅱ)减函数。 (Ⅲ) k < ?

5 ab

1 2

1 3

变式: (1)a=1.(2)略 变式:解: (1)-1.?(2)1.?(3) .?? 例 4. 解:
3 变式: 变式:解:(1)? . ?(2)2.?(3) 2
1 2

5 4

例 5. 解:选 D。 变式: 变式:解: C 例 6. 解:(1,3]∪[ ,1) 变式: 变式:解:{a|2-2 3 ≤a<2} 例 7. 解: (1)当 x > 1 或 x < ?1 时, f ( x) > g ( x) ; (2)当 x = ±1 时, f ( x) = g ( x) ; (3)当 ?1 < x < 1 且 x ≠ 0 时, f ( x) < g ( x) . 变式:解: 变式: (1)f(x)=x . (2)F(x)=
a x
2
-4

1 3

? bx 3 ,

∴F(-x)=

a x
2

+bx .?

3

①当 a≠0,且 b≠0 时,F(x)为非奇非偶函数;? ②当 a=0,b≠0 时,F(x)为奇函数; ③当 a≠0,b=0 时,F(x)为偶函数;? ④当 a=0,b=0 时,F(x)既是奇函数,又是偶函数. 方向预测、 四:方向预测、胜利在望

1—5 ADDDC; 5 ADDDC;

6—10 AADDA; 10 AADDA;

11—15 11 15 CADDB.

9

(- 3)∪ 16. (-∞, 3)∪(3,4)

17. 4

18.

1 2

19.[-1,0]

20.

2 2

?x ≠ 0 1+ x ? 21.[解]x 须满足 ?1 + x ,由 > 0得 ? 1 < x < 1, > 0 1? x ?1 ? x ? 所以函数 f (x ) 的定义域为(-1,0)∪(0,1). 因为函数 f (x ) 的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意 x,有 1 1? x 1 1+ x f (? x) = ? ? log 2 = ?( ? log 2 ) = ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数. x 1+ x x 1? x 研究 f ( x ) 在(0,1)内的单调性,任取 x1、x2∈(0,1) ,且设 x1<x2 ,则 1 + x1 1 1 + x2 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = ? log 2 ? + log 2 x1 1 ? x1 x 2 1 ? x2
=(

1 1 2 2 ? ) + [log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1)], x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

1 1 2 2 ? > 0, log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1) > 0, x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1 得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) >0,即 f (x) 在(0,1)内单调递减, 由于 f (x) 是奇函数,所以 f (x) 在(-1,0)内单调递减. 由

10


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