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示范教案(1.6 三角函数模型的简单应用)


1.6 三角函数模型的简单应用 整体设计 教学分析 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻 画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学 习.本节教材通过 4 个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择 上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用. 通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知 识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题 常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的 散点图,根据散点图进行函数拟合等. 三维目标 1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题抽 象为三角函数有关的简单函数模型. 2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常 生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思 想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力. 3.通过函数拟合得到具体的函数模型,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培 养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神. 重点难点 教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型, 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题. 教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期 性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题?它到底 能发挥哪些作用呢?由此展开新课. 思路 2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在 现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢?回忆 必修 1 第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型 来刻画它呢?以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用. 推进新课 新知探究 提出问题 ①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些 规律的? ②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么? ③上述的数学模型是怎样建立的? ④怎样处理搜集到的数据?

活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已 经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对 还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生 能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解 函数模型→检验→用函数模型解释实际问题. 这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教 学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作 探究中自己解决问题,探求新知. 讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型. ②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反 映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象 概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法. ③解决问题的一般程序是: 1° 审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系; 2° 建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型; 3° 求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论; 4° 还原:把数学结论还原为实际问题的解答. ④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型. 应用示例 例 1 如图 1, 某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=sin(ωx+φ)+b.

图1 (1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 活动:这道例题是 2002 年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究 温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗?给出的模型函数 是什么?要解决的问题是什么?怎样解决?然后完全放给学生自己讨论解决. 题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象 的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指 的是“求 6 是到 14 时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必 再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待 定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求 ω 是利用半周期(14-6),通过建 立方程得解. 解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是 20 ℃. (2)从图中可以看出,从 6—14 时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象, ∴A=

1 1 (30-10)=10,b= (30+10)=20. 2 2



1 2? · =14-6, 2 ?

∴ω= ? .将 x=6,y=10 代入上式,解得 φ=

3? . 4 ? 3? 综上,所求解析式为 y=10sin( ? x+ )+20,x∈[6,14]. 8 4

? 8

点评:本例中所给出的一段图象实际上只取 6—14 即可,这恰好是半个周期,提醒学生注 意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别 注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.? 例 2 2007 全国高考 函数 y=|sinx|的一个单调增区间是( ) A.( ?

? ?
4 4
,

)

B.(

? 3? , ) 4 4

C.(π,

3? ) 2

D.(

3? ,2π) 2

答案:C 例 3 如图 2,设地球表面某地正午太阳高度角为 θ,δ 为此时太阳直射纬度,φ 为该地的纬度值, 那么这三个量之间的关系是 θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年 δ 取正值,冬半年 δ 取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬 40° )的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层 正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少? 活动: 如图 2 本例所用地理知识、 物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知识 来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的 含义以及它们之间的数量关系.

首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为 φ,正午太阳高度角为 θ, 此时太阳直射纬度为 δ,那么这三个量之间的关系是 θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年 δ 取正值,冬半年 δ 取负值. 根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图 3,由画图 易知 太阳高度角 θ、楼高 h0 与此时楼房在地面的投影长 h 之间有如下关系: h0=htanθ. 由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体 的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时 的情况.

图3 解:如图 3,A、B、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影 点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑, 此时的太阳直射纬度-23°26′.依题意两楼的间距应不小于 MC.

根据太阳高度角的定义, 有∠C=90° -|40° -(-23°26′)|=26°34′, 所以 MC=

h0 h0 = ≈2.000h0, tan C tan 26 ? 34 '

即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距. 点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三 角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图 2 来建立函数 模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图 3,然后由图形建立 函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的 基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究. 变式训练 某市的纬度是北纬 23° ,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高 7 层,每层 3 米,楼与楼之间 相距 15 米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房?

图4 解:如图 4,由例 3 知,北楼被南楼遮挡的高度为 h=15tan[90° -(23°+23°26′)]=15tan43°34′≈14.26, 由于每层楼高为 3 米,根据以上数据, 所以他应选 3 层以上. 知能训练 课本本节练习 1、2. 解答: 1.乙点的位置将移至它关于 x 轴的对称点处.

1 周期,波正好从乙点传到丁点,又因为在 2 1 波的传播过程中,绳上各点只是上下震动,纵坐标在变,横坐标不变,所以经过 周期,乙点位置 2
点评:因为波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过 将移至它关于 x 轴的对称点处,即横坐标不变,纵坐标与图中的丁点相同. 2.如 CCTV—1 新闻联播节目播出的周期是 1 天. 点评:了解实际生活中发生的周期变化现象. 课堂小结 1.本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作 出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解 决实际问题的基本步骤吗? 2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数 学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知 识来帮助理解问题. 作业

1.图 5 表示的是电流 I 与时间 t 的函数关系

图5 I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<

? )在一个周期内的图象. 2
1 s 的时间内电流 I 能同时取得最大值和最小值, 100

(1)根据图象写出 I=Asin(ωx+φ)的解析式; (2)为了使 I=Asin(ωx+φ)中的 t 在任意一段 那么正整数 ω 的最小值为多少?

1 1 ,0),第二个零点为( ,0), 300 150 1 1 ? ? ∴ω·(- )+φ=0,ω· +φ=π.解得 ω=100π,φ= ,∴I=300sin(100πt+ ). 300 150 3 3 1 2? 1 (2)依题意有 T≤ ,即 ≤ ,∴ω≥200π.故 ωmin=629. 100 ? 100
解:(1)由图知 A=300,第一个零点为(- 2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型. 解:如以下两例: ①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、 睡眠节奏、饥饿程度等; ②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽有 保护身体的作用,但限制动物的生长、 发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行 1 次或数次脱去 旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮;蜕下的“旧表皮”称为“蜕”, 只有这样,虫体才能得以继续充分生长、 发育.蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮的准备和蜕 皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具有双层角质 层,其外层在定期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每 2 个月为一个周 期可完整地脱落 1 次,称为蛇蜕. 设计感想 1.本教案设计指导思想是:充分唤起学生已有的知识方法,调动起相关学科的知识,尽量降低实 例背景的相对难度,加大实际问题的鲜明、活跃程度,以引发学生探求问题的兴趣. 2.应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,确定它的周期,从而建立起 适当三角函数模型.如果学生选择了不同的函数模型,教师应组织学生进行交流,或让学生根 据自己选择的模型进行求解,然后再根据所求结果与实际情况差异进行评价. 3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,有条 件的要用多媒体进行动态演示,以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解. (设计者:郑吉星) 第 2 课时 导入新课 思路 1.通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景 的①简单和谐运动,②星体的环绕运动;地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺;心理、

生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况;日常生活现象的①涨潮与退 潮,②股票变化等等. 思路 2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角 函数模型在日常生活中的一些简单应用. 推进新课 新知探究 提出问题 ①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象.回忆上节课的 内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢?在指数、对数模型中是 怎样处理搜集到的数据的? ②请做下题(2007 浙江高考)若函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中 ω>0,|φ|< π,且 f(0)= 3 ,则( )

? )的最小正周期是 2

1 ? ,φ= 2 6 ? C.ω=2,φ= 6
A.ω=

1 ? ,φ= 2 3 ? D.ω=2,φ= 3
B.ω=

活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的.教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节 的课下作业.教师指导、 适时设问,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中,使学生的思维状态 进入到现在的情境中. 讨论结果:①略 ②D 应用示例 例 1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早 潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: 时刻 水深/ 米 0:00 5.0 3:00 7.5 6:00 5.0 9:00 2.5 12:00 5.0 15:00 7.5 18:00 5.0 21:00 2.5 24:00 5.0

(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数 值(精确到 0.001). (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 米,安全条例规定至少要有 1.5 米的安全间隙 (船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为 4 米,安全间隙为 1.5 米,该船在 2:00 开始卸货,吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域? 活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数据. 并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图, 如图 6.教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律.根 据散点图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与时 间的关系可以用形如 y=Asin(ωx+φ)+h 的函数来刻画.其中 x 是时间,y 是水深,我们可以根据数 据确定相应的 A,ω,φ,h 的值即可.这时注意引导学生与“五点法”相联系.要求学生独立操作完 成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所得的函数模型, 求出整点时的水深.

图6 根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.注意引导学生正确理解 题意,一天中有两个时间段可以进港.这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间 情况?如果不符合,应怎样修改?让学生养成检验的良好习惯. 在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢? 引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.求货船停止卸货,将船驶向深水域的含义又是 什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、 港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候. 进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货 行吗?为什么?正确结论是什么?可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价.通过 讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向 较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨. 解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图 6). 根据图象,可以考虑用函数 y=Asin(ωx+φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象 可以得出: A=2.5,h=5,T=12,φ=0, 由 T=

2?

?

=12,得 ω=

? . 6

所以这个港口的水深与时间的关系可用 y=2.5sin 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值: 时 刻 水 深 时 刻 水 深 0:00 5.000 1:00 6.250 2:00 7.165 3:00 7.5 4:00 7.165 5:00 6.250

? x+5 近似描述. 6
6:00 5.000 7:00 3.754 8:00 2.835 9:00 2.500 10:00 2.835 11:00 3.754

12:00 5.000

13:00 6.250

14:00 7.165

15:00 7.5

16:00 7.165

17:00 6.250

18:00 5.000

19:00 3.754

20:00 2.835

21:00 2.500

22:00 2.835

23:00 3.754

(2)货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5(米),所以当 y≥5.5 时就可以进港. 令 2.5sin

? ? x+5=5.5,sin x=0.2. 6 6

由计算器可得 MODE MODE

2 SHIFT sin-1 0.2 = 0.201 357 92≈0.201 4. 如图 7,在区间[0,12]内,函数 y=2.5sin

? x+5 的图象与直线 y=5.5 有两个交点 A、B, 6

图7 因此

? ? x≈0.201 4,或 π- x≈0.201 4. 6 6

解得 xA≈0.384 8,xB≈5.615 2. 由函数的周期性易得:xC≈12+0.384 8=12.384 8,xD≈12+5.615 2=17.615 2. 因此,货船可以在 0 时 30 分左右进港,早晨 5 时 30 分左右出港;或在中午 12 时 30 分左右进港, 下午 17 时 30 分左右出港.每次可以在港口停留 5 小时左右.

图8 (3)设在时刻 x 货船的安全水深为 y,那么 y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐标系内作出这两个函数 的图象,可以看到在 6—7 时之间两个函数图象有一个交点(如图 8). 通过计算也可以得到这个结果.在 6 时的水深约为 5 米,此时货船的安全水深约为 4.3 米;6.5 时的水深约为 4.2 米,此时货船的安全水深约为 4.1 米;7 时的水深约为 3.8 米,而货船的 安全水深约为 4 米.因此为了安全,货船最好在 6.5 时之前停止卸货,将船驶向较深的水域. 点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题,题目只给出了时间与水深 的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的.对第(2)问的解答,教师引导学生利用计 算器进行计算求解.同时需要强调,建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得 到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析.如本例中,一天中有 两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释. 变式训练 发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间 t 的函 数,IA=Isinωt,IB=Isin(ωt+120°),IC=Isin(ωt+240°),则 IA+IB+IC=________. 答案:0 例 2 图 9,是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题:

(1)单摆振幅多大; (2)振动频率多高; (3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置; (4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置; (5)若当 g=9.86 m/s2J,求摆线长. 活动:引导学生观察图象并思考,这个简谐运动的函数模型是什么?引导学生结合函数 上例.点拨学生考虑最高点、 最低点和平衡点.通过学生讨论、 思考确定选用函数 y=Asin(ωx+φ) 来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间之间的对应关系.

图9 解:结合函数模型和图象: (1)单摆振幅是 1 cm; (2)单摆的振动频率为 1.25 HZ; (3)单摆在 0.6 s 通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值; (4)单摆在 0.4 s 时处正向最大位移处,首次具有加速度最大负值; (5)由单摆振动的周期公式 T=2π

L gT 2 ,可得 L= =0.16 m. g 4? 2

点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意 检验,使所求得的结论符合问题的实际意义. 变式训练 1.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之 间的距离为 4 ? ?
2

.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 sinx+f(x)=

2 ,求 sinxcosx 的值. 3

解:(1)∵f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f(x),即 sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ). ∴φ=

? )=cosωx. 2 ? 相邻两点 P(x0,1),Q(x0+ ,-1). ?
∴f(x)=sin(ωx+ 由题意,|PQ|= ( ∴f(x)=cosx.

? . 2

? 2 ) ? 4 =π2+4.解得 ω=1. ?

2 2 ,得 sinx+cosx= . 3 3 5 两边平方,得 sinxcosx= ? . 18
(2)由 sinx+f(x)= 2.小明在直角坐标系中,用 1 cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标 改用 2 cm 代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么?若他将 横坐标改用 2 cm 代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什 么? 解:小明原作的曲线为 y=sinx,x∈R,由于纵坐标改用了 2 cm 代表一个单位长度,与原来 1 cm

1 个单位长 2 1 度了.由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为 y= sinx,x∈R. 2 1 同理,若纵坐标保持不变,横坐标改用 2 cm 代表一个单位,则横坐标被压缩到原来的 ,原曲线 2
代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的 2 倍,所以原来的 1 cm 只能代表 周 期 就 由 2 π 变 为 π . 故 改 变 横 坐 标 后 , 原 曲 线 图 象 的 解 析 式 变 为 y=sin2x,x∈R. 3.求方程 lgx=sinx 实根的个数. 解:由方程式模型构建图象模型. 在同一坐标系内作出函数 y=lgx 和 y=sinx 的图象,如图 10.可知原方程的解的个数为 3.

图 10 点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易 多了,教师要让学生熟练掌握这一方法. 知能训练 课本本节练习 3 3.本题可让学生上网查一下,下载有关人体节律的软件,利用软件就能方便地作出自己某一时 间段的三条人体节律曲线,它们都是正弦型函数图象,根据曲线不难回答题中的问题.让学生 在课下总结一下自己在什么时候应当控制情绪,在什么时候应当鼓励自己;在什么时候应当 加以锻炼,在什么时候应当保持体力,以利于学生的高效率学习. 点评:通过解决可用三角函数模型描述的自身问题,让学生增强学习三角函数的兴趣,并进一 步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型,体会数学应用的广泛性. 课堂小结 1.让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期 变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用. 2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大 致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题.在解决实际问题时,要学 会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实 问题. 作业

图 11 如图 11,一滑雪运动员自 h=50 m 高处 A 点滑至 O 点,由于运动员的技巧(不计阻力),在 O 点保 持速率 v0 不变,并以倾角 θ 起跳,落至 B 点,令 OB=L,试问,当 α=30°时,L 的最大值为多少?当 L 取最大值时,θ 为多大? 分析:本题是一道综合性题目,主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.首先 运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.

?s ? L cos a ? v0 t cos? ? 解:由已知条件列出从 O 点飞出后的运动方程: ? 1 2 ?? h ? ? L sin a ? v0 t sin ? ? gt . 2 ?
由①②,整理得 v0cosθ=

L cos a L sin a 1 ,v0sinθ= ? + gt. t t 2

∴v02+gLsinα=

1 2 2 L2 1 2 2 L2 g t ? 2 =gL. g t + 2 ≥2 4 t 4 t

运动员从 A 点滑至 O 点,机械守恒有 mgh=
2

1 mv02, 2

∴v02=2gh.∴L≤ 即 Lmax=200(m). 又

v0 2 gh ? =200(m), g (1 ? sin a ) g (1 ? sin a )

1 2 2 s 2 ? h 2 L2 gt= = 2 , 4 t2 t
2L 2L ,s=Lcosα=v0tcosθ=2gh· ·cosθ, g g

∴t=

得 cosθ=cosα.∴θ=α=30°. ∴L 最大值为 200 米,当 L 最大时,起跳倾角为 30° . 设计感想 1.本节是三角函数内容中新增加的一节,目的是加强学生的应用意识,本节教案设计的指导思 想,是让学生围绕着采集到的数据展开讨论,在学生思考探究的过程中,学会积极冷静地对待 陌生背景,正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系,这很符合新课改理念. 2.现实生活中的问题是多变的,学生的思维是发散的,观察的视角又是多样的,因此课题教学中, 教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点,通过讨论例题这个载体,充分激发学生的潜能,让 学生从观察走向发现,从发现走向创造,走向创新. 3.学生面对枯燥的数据,潜意识里是讨厌的,因此教师要在有限的课堂时间里,着重解决物理背 景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定,不要把时间浪费在一些计算上.


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