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内蒙古包头市一中2016届高三下学期二模考试数学(理)试题(含答案)

包头一中 2015——2016 学年度高三年级校二模试题 (数学理科)
命题人:陈巧梅 审题人:数学备课组

一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. )
1.若集合 M = {x | ( x + 4)( x +1) = 0} , N = {x | ( x - 4)( x - 1) = 0} ,则 M A. ?0? 2.若复数 z 满足 (A) 1 ? i B. ??1, ?4? C. ?

N =(



D. ?1, 4?

z ? i ,其中 i 为虚数为单位,则 z =( 1? i
(B) 1 ? i (C) ?1 ? i

) (D) ?1 ? i )
开始 输入n

3.执行如图所示的程序框图,如果输入 n ? 3 ,则输出的 S ? (

6 A. 7

3 B. 7

8 C. 9

4 D. 9

4.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.8-2π B.8- π 4 π C.8- D.8-π 2

)

i ? 1, S ? 0
1 (2i ? 1)(2i ? 1)

S?S?

i=i+1

i ? n?
是 输出S



结束

1 5.直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的( 2

)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 6.已知 1 数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*),且 a2+a4+a6=9,则 log (a5+a7+a9)的值是 ( 3 )

A.-

1 5

B.-5

C.5

1 D. 5 )

7.将函数 y=3sin?2x+

?

π π? 的图像向右平移 个单位长度,所得图像对应的函数( 2 3? π 7π ? B.在区间? , ?12 12 ?上单调递增 π π D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3?

π 7π A.在区间? , ?上单调递减 ?12 12 ? π π C.在区间?- , ?上单调递减 ? 6 3?

4x-y-10≤0, ? ? 8.设实数 x,y 满足条件?x-2y+8≥0, ? ?x≥0,y≥0,

若目标函数 z=ax+by(a>0,

b>0)的最大值为 12,则 + 的最小值为( a b
A. 4
2

2 3 8 3

). 11 3 25 D. 6

B.

C.

9 如图,设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A , B , C ,其中 点 A , B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比是( )

A.

BF ? 1 AF ? 1 BF ? 1 AF ? 1

B.

BF ? 1 AF ? 1 BF ? 1 AF ? 1
2 2 2

2

C.

D.

10.已知数列{an}满足 a1=1,an+1· an=2n(n∈N*),则 S2 016=( A.22 016-1 C. 3· 21 008-1 B.3· 21 008-3 D.3· 21 007-2

)

11. 已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A. 2 3 B. 6 6 C. 2 3 D. 2 2 )

12 已知 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:

2x ①f(-x)=-f(x);②f?1+x2?=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.

?

?

其中的所有正确命题的序号是( A.①② B.②③

)

C.①③ D.①②③

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分)
13. (x-y)(x+y)8 的展开式中 x2y7 的系数为________.(用数字填写答案) 14 设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-3cos x 取得最大值,则 cos θ=________. 15.已知点 ? 和 Q 的横坐标相同,? 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍,? 和 Q 的轨迹分别为双曲线 C1 和 C 2 .若 C1 的渐近线方程为 y ? ? 3 x ,则 C 2 的渐近线方程为 .

16. 如图, 在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆, 则它落到阴影部分的概率 为________.

三.解答题: (解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题 12 分)
向量 a=(2,2),向量 b 与向量 a 的夹角为 (1)求向量 b;
2C? (2)若 t=(1,0),且 b⊥t,c=? ?cosA,2cos 2 ?,其中 A、B、C 是△ABC 的内角,若△ABC 的内角 A、

3π ,且 a· b=-2. 4

B、C 依次成等差数列,试求|b+c|的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)

AA1 ? 6 , 如图, 已知四棱台 ABCD ? A1 B1C1 D1 上、 下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形, 且 AA1 ?
底面 ABCD ,点 P , Q 分别在棱 DD1 ,BC 上. (1)若 P 是 DD1 的中点,证明: AB1 ? PQ ; (2)若 PQ / / 平面 ABB1 A1 ,二面角 P ? QD ? A 的余弦值为

3 ,求四面体 ADPQ 的体积. 7

19. (本小题满分 12 分) 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三 击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游 三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣 分(即获得-200 分). 设每次击鼓出现音乐的概率为 次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列. (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减 少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 次, 每次 戏击鼓 得 除 20 200

1 ,且各 2

20. (本小题满分 12 分) 3? x2 y2 1 如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 P? ?1,2?,离心率 e=2,直线 l 的方程为 x=4. a b (1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA,PB, PM 的斜率分别为 k1,k2,k3,问:是否存在实数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ 的值;若不 存在,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? x e . (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.

2 ?x

请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲. 如图,AB 是⊙O 的直径,C、F 是⊙O 上的两点, OC⊥AB,过点 F 作⊙O 的切线 FD 交 AB 的延长线于 点 D.连接 CF 交 AB 于点 E. (1)求证:DE2=DB?DA; (2)若 DB=2,DF=4,试求 CE 的长. A

C

O

E

B

D

F

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 已知圆 C:x2+y2=4,直线 l:x+y=2.以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建 立极坐标系. (1)将圆 C 和直线 l 的方程化为极坐标方程; (2)P 是 l 上的点,射线 OP 交圆 C 于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|· |OP|=|OR|2,当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 轨迹的极坐标方程.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (1)若关于 x 的不等式 f(x)<|1-2a|的解集不是空集,求实数 a 的取值范围;

(2)若关于 t 的一元二次方程 t2+2 6t+f(m)=0 有实根,求实数 m 的取值范围. 3π 17.解:(1)设 b=(x,y),则 a· b=2x+2y=-2,且|b|= 4 =1=, x=-1, x=0, ∴解得 y=0, 或y=-1. ∴b=(-1,0)或 b=(0,-1). (2)∵b⊥t,且 t=(1,0),∴b=(0,-1). π ∵A、B、C 依次成等差数列,∴B=3. C ∴b+c=-1=(cosA,cosC). ∴|b+c|2=cos2A+cos2C 1 =1+2(cos2A+cos2C) 1 4π =1+2-2A 1 =1+23 1 π =1+2cos3. π 5π ∵2A+3∈ 3 , π 1 ∴-1≤cos3<2, 1 5 ∴2≤|b+c|2<4, 2 5 ∴2≤|b+c|<2. 18..

(1)若



的中点,则



,于是

,∴

,即 个不共线向量.

; (2)由题设知,



是平面

内的两



, 即

, 亦即 ,则其高

, 从而 ,故四面体

, 于是, 将四面体 的体积

视为以

为底面的三棱锥

.

19



20. 3 1 9 【解析】 (1)由 P2在椭圆上,得a2+4b2=1.① 依题设知 a=2c,则 b2=3c2.② 将②代入①,解得 c2=1,a2=4,b2=3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1.

注意到 A,F,B 三点共线,则有 k=kAF=kBF, y1 y2 即有x1-1=x2-1=k. 所以 k1+k2=2+2 y1 y2 3 1 =x1-1+x2-1-2x2-1 3 x1+x2-2 =2k-2· x1x2-(x1+x2)+1.⑤ 将④代入⑤,得 3 8k2 k1+k2=2k-2· +1=2k-1. 1 又 k3=k-2,所以 k1+k2=2k3. 故存在常数 λ=2 符合题意.

21.

22.(1)证明:连接 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90° . 所以∠OFC+∠CFD=90° .

因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90° . 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为 DF 是⊙O 的切线,所以 DF2=DB?DA. 所以 DE2=DB?DA. (2)解: DF =DB?DA,DB=2,DF=4. DA= 8, 从而 AB=6, 则 . BE=2,OE=1. . ………………10 分
2

……………… 5 分

又由(1)可知,DE=DF=4, 从而 在 23. 中,

3 5 24. 解:(1)∵f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,∴|1-2a|>4,∴a<-2或 a>2, 3 5 ∴实数 a 的取值范围为2∪,+∞. (2)Δ=24-4(|2m+1|+|2m-3|)≥0, 即|2m+1|+|2m-3|≤6, ∴不等式等价于 , , (2m+1+(2m-3≤6或(2m+1-(2m-3≤6或 , -(2m+1-(2m-3≤6. 3 1 3 1 ∴2<m≤2 或-2≤m≤2或-1≤m<-2, ∴实数 m 的取值范围是[-1,2].

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