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求参数取值范围一般方法


求参数取值范围一般方法 一、分离参数 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若 a ? f ? x ? 恒成立,只须求出 f ? x ? max ,则 a ? f ? x ?max ;若

a ? f ? x ? 恒成立,只须求出 f ? x ? min ,则 a ? f ? x ?min ,转化为函数求最值。

例 1、已知函数 f ? x ? ? lg ? x ?

? ?

a ? ? 2 ? ,若对任意 x ? ? 2, ?? ? 恒有 f ? x ? ? 0 ,试确定 a 的取值范围。 x ?

例 2、已知 x ? ? ??,1? 时,不等式 1 ? 2 ? a ? a
x

?

2

??4

x

? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

1.若不等式 x2+ax+1 ? 0,对于一切 x∈[0,

1 ]都成立,则 a 的最小值是__ 2

2.设 f ( x) ? lg

1 ? 2x ? a4x , 其中 a ? R ,如果 x ? (??.1) 时, f ( x) 恒有意义,求 a 的取值范围。 3

3.已知函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? x , x ? (0,4] 时 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

二、分类讨论 在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用分类讨论的思想来解决。 例 1、若 x ? ? ?2, 2 ? 时,不等式 x ? ax ? 3 ? a 恒成立,求 a 的取值范围。
2

例 2:若不等式 (m ? 1) x ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围。
2

例 3.关于 x 的不等式 x 2 ? mx ? m 2 ? 6m ? 0 在 ?0,2? 上恒成立,求实数 m 的取值范围.

变式:若函数 y ? x 2 ? mx ? m 2 ? 6m 在 ?0,2? 上有最小值 16,求实数 m 的值.

1.已知 a x

2

?5 x

? a x ?7 (a ? 0 且 a ? 1) ,求 x 的取值范围.

2.求函数 y ? log a ( x ? x 2 ) 的单调区间.

3.设 f ( x) ? x ? 2mx ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。
2

4.已知

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 f ( x) ? ? 是 (??, ??) 上的减函数,求 a 的取值范围。 ? log a x, x ? 1

5 解不等式 x

2

1 ? (a ? ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a

6. 解关于x的不等式:ax

2

? (a ? 1) x ? 1 ? 0

7. 解不等式

( x ? 4a )( x ? 6a ) >0 2a ? 1

(a 为常数,a≠-

1 ) 2

8.当 x ? ? 3 ,3 ? 时, log a x ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围。 ? ?

?1

?

9.关于 x 的不等式 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

10:求二次函数 y ? x ? mx ? 2 在闭区间[2,3]上的最大值 y max 的表达式。
2

11:求解关于 x 的不等式 log a (1 ? ) ? 1 (其中 a ? 0且a ? 1 ) 。

1 x

三、变更主元法 在给出的含有两个变量的不等式中,学生习惯把变量 x 看成是主元(未知数) ,而把另一个变量 a 看成参数,在有些问题中 这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元,把要求取值范围的变量看作参数,则可简化解题过程。
2 例 1、若不等式 2 x ? 1 ? m x ? 1 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围。

?

?

例 2.对于满足|p| ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x +px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范围。
2

1:若对于任意 a ? ?? 1,1? ,函数

f ?x? ? x 2 ?a ? 4?x ? 4 ? 2a 的值恒大于 0,求 x 的取值范围。

2.若对一切 p ? 2 ,不等式 ?log 2 x ? ? p log 2 x ? 1 ? 2 log 2 x ? p 恒成立,求实数 x 的取值范围。
2

3.对于满足|a| ? 2 的所有实数 a,求使不等式 x2+ax+1>2a+x 恒成立的 x 的取值范围。

四、数形结合 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数,且正确作出两个函数的图象,然后通过观察两图象(特别是交点 时)的位置关系,列出关于参数的不等式。 例 1、若不等式 3x ? log a x ? 0 在 x ? ? 0, ? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

? ?

1? 3?

例 2.设 f ( x) ?

? x 2 ? 4 x , g ( x) ?

4 x ? 1 ? a ,若恒有 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围. 3

?2x-1, x>0, ? 1.已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 m 的取值范围为__________. ? ?-x -2x, x≤0,

π 2.若不等式 logax>sin 2x (a>0,a≠1)对任意 x∈?0,4?都成立,则 a 的取值范围为 ( ? ? π A.?0,4? ? ? π B.?4,1? ? ? π π C.?4,2? ? ? D.(0,1) )

)

1 3.函数 f(x)=( )x-sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( 2 A.1 B.2 C.3 D.4
2

4:若不等式 3x ? log a x ? 0 在 x ? ? 0, ? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。

? 1? ? 3?

5.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1 , g ( x) ? a x ? 1 . (1)若关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)当 x ? R 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.


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