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2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之 十六圆锥曲线的定义、方程与性质(课标理科专用)


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专题限时集训(十六) [第 16 讲 圆锥曲线的定义、方程与性质] (时间:10 分钟+35 分钟)

2012 二轮精品提分必练 1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( ) A.y2=-8x B.y2=8x C.y2=-4x D.y2=4x x2 y2 2.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且左焦点为 F,△FAB 是以角 B a b 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为( ) 3-1 5-1 1+ 5 3+1 A. B. C. D. 2 2 4 4 x2 y2 3.已知双曲线 2- 2=1 的离心率为 e,则它的渐近线方程为( ) a b A.y=± e-1 x B.y=± e2-1 x C.y=± 1-e2 x D.y=± 1-e x 4.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A,与抛物线 → → → → 准线的交点为 B,点 A 在抛物线准线上的射影为 C,若AF=FB,BA·BC=12,则 p 的值为 ________. 2012 二轮精品提分必练

2012 二轮精品提分必练 图 16-1 p p2 1.如图 16-1,抛物线 C1:y2=2px 和圆 C2:?x-2?2+y2= ,其中 p>0,直线 l 经过 ? ? 4 → → 抛物线 C1 的焦点,依次交抛物线 C1,圆 C2 于 A,B,C,D 四点,则AB·CD的值为( ) 2 2 p p A. B. 4 3 p2 C. D.p2 2 y2 → → 2.设 F1、F2 分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且PF1·PF2= 9 → → 0,则|PF1+PF2|=( ) A.2 2 B. 10 C.4 2 D.2 10 x2 y2 3.已知 M 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点,两焦点为 F1,F2,点 P 是△MF1F2 的内心, a b |MP| 连接 MP 并延长交 F1F2 于 N,则 的值为( ) |PN| a b A. 2 B. 2 2 a -b a -b2 a2-b2 a2-b2 D. b a 4.已知抛物线 y2=2px(p>0),F 为其焦点,l 为其准线,过 F 任作一条直线交抛物线于 C.
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A、B 两点,A′、B′分别为 A、B 在 l 上的射影,M 为 A′B′的中点,给出下列命题: ①A′F⊥B′F;②AM⊥BM;③A′F∥BM;④A′F 与 AM 的交点在 y 轴上;⑤AB′ 与 A′B 交于原点.其中真命题的个数为( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 5.已知双曲线的右焦点为(5,0),一条渐近线方程为 2x-y=0,则此双曲线的标准方程 是________. x2 y2 6.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点重合,它们在 a b 第一象限内的交点为 T,且 TF 与 x 轴垂直,则椭圆的离心率为________. x2 y2 7.点 P 是椭圆 + =1 上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,且△PF1F2 的内切圆半 25 16 径为 1,当 P 在第一象限时,P 点的纵坐标为________. 2012 二轮精品提分必练

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8.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

6 ,并与直线 y=x+2 相切. 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图 16-2,过圆 D:x2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 m,n.求证:m⊥ n. 2012 二轮精品提分必练 图 16-2

9.如图 16-3,已知点 D(0,-2),过点 D 作抛物线 C1:x2=2py(p>0)的切线 l,切点 A 在第二象限,如图 16-3. (1)求切点 A 的纵坐标; 3 x2 y2 (2)若离心率为 的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)恰好经过切点 A,设切线 l 交椭圆的另一点为 2 a b B,记切线 l,OA,OB 的斜率分别为 k,k1,k2,若 k1+2k2=4k,求椭圆方程. 2012 二轮精品提分必练 图 16-3

专题限时集训(十六) 【基础演练】 p 1. 【解析】 由题意设抛物线方程为 y2=2px(p>0), B 又∵其准线方程为 x=- =-2, 2 ∴p=4,所求抛物线方程为 y2=8x. 2.B 【解析】 根据已知 a2+b2+a2=(a+c)2,即 c2+ac-a2=0,即 e2+e-1=0, -1± 5 5-1 解得 e= (负值舍去),故所求的椭圆的离心率为 . 2 2

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b 3.B 【解析】 = a

c2-a2 = e2-1,故双曲线的渐近线方程是 y=± e2-1 x. a2

t2 p p p t2 → → 4.1 【解析】 设 A?2p,t?,B?-2,yB?,F?2,0?,由AF=FB得,?2-2p,-t?=(- ? ? ? ? ? ? ? ? p t2 p → → → → p,yB),由此得 t2=3p2,yB=-t.设 C?-2,t?,则BA=?2p+2,2t?,BC=(0,2t),所以BA·BC ? ? ? ? =12 得 4t2=12,故 p=1. 【提升训练】 p 1. 【解析】 当 l 斜率存在时, l: A 设 y=k?x-2?, y2=2px 联立消去 y 得 k2x2-(pk2 ? ? 与 p2k2 p +2p)x+ =0,设 A(x1,y1),D(x2,y2),抛物线的焦点为 F,则|AB|=|AF|-|BF|=x1+ - 2 4 p p2 p → → =x1,同理|CD|=x2,∴AB·CD=|AB||CD|=x1x2= ;当 l⊥x 轴时,易得|AB|=|CD|= ,∴ 2 4 2
2 → → p AB·CD= ,故选 A. 4

2.D

→ → → 【解析】 根据已知△PF1F2 是直角三角形,向量PF1+PF2=2PO,根据直角三

→ → → → → → 角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.PF1·PF2=0,则|PF1+PF2|=2|PO|=|F1F2 |= 2 10. 3.A 【解析】 由于三角形的内心是三个内角的平分线的交点,利用三角形内角平分 线性质定理把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系. 如图, 连接 PF1, 2.在△MF1N PF |MP| |MF1| |MP| 中, 1P 是∠MF1N 的角平分线, F 根据三角形内角平分线性质定理, = , 同理可得 |PN| |F1N| |PN| = |MF2| |MP| |MF1| |MF2| |MP| |MF1|+|MF2| 2a a ,故有 = = ,根据等比定理 = = = 2 . |PN| |F1N| |F2N| |PN| |F1N|+|F2N| 2 a2-b2 |F2N| a -b2 2012 二轮精品提分必练 p p p 4. 【解析】 如图, A(x1, 1), 2, 2), A′?-2,y1?, ?-2,y2?, ?2,0?, D 设 y B(x y 则 ? ? B′? ? F? ? y1 y2 y1y2 p y1+y2? M?- , ,根据抛物线焦点弦的性质 y1y2=-p2.①kA′F·kB′F= · = 2 =-1; 2 ? ? 2 -p -p p y1- ②kAM·kBM = y1+y2 y1+y2 y2- 2 2 (y1-y2)2 · =- ,其中(2x1 +p)(2x2 +p)=4x1x2 + p p (2x1+p)(2x2+p) x1+ x2+ 2 2

y2y2 1 2 2 2px1+2px2+p2=4 2 +y2+y2+p2=y2+y2+2p2=y2+y2-2y1y2=(y1-y2)2, 1 2 1 1 2 4p 所以 kAM·kBM=-1; y1 p = ,k = -p y2 BM y2- y1+y2 p2 y2+ 2 y2 p y2-y1 = = 2 = ; p y2 2x2+p y2 x2+ +p 2 p

③kA′F=

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t y1 1 ④设 A′F 与 y 轴的交点是(0,t),则 = ,即 t= y1;设 AM 与 y 轴的交点坐标是 p -p 2 - 2 y1+y2 y1+y2 p2 y1+ -y1 -y1 2 2 y1 p r-y1 y1-y2 r-y1 p p (0,r),则 = ,由于 = = 2 = ,所以 = ,即 r= p p y1 y1 -x1 2x1+p y1 -x1 y1 - -x1 - -x1 +p 2 2 p y2 p 1 1 (-x1)+y1= ·?-2p?+y1= y1,故 A′F 与 AM 的交点在 y 轴上; ? y1 ? 2 y1 2p 2y2 2y2 ⑤kOA= = =- ,kOB′= ,故 A,O,B′三点共线,同理可证 A′,O,B 三 x1 y1 p -p 点共线. 2012 二轮精品提分必练 x y x2 y2 b 5. - =1 【解析】 设所求的双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则 c=5, =2, 5 20 a b a 解得 a2=5,b2=20. b2 p c2 y2 b2 b2 6. 2-1 【解析】 依题意 c= ,由 2+ 2=1 求得 y= ,得 T 的坐标?c, a ?,即 = ? ? 2 a b a a p,∴b2=2ac,∴c2+2ac-a2=0, ∴e2+2e-1=0,解得 e= 2-1(负值舍去). 7. 8 1 1 【解析】 |PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=6,S△PF1F2= (|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·1=8= 2 2 3
2 2

8 |F1F2|·yP=3yP.所以 yP= . 3 8. 【解答】 (1)由 e= 6 知 a2=3b2, 3

x2 y2 椭圆方程可设为 2+ 2=1. 3b b 又直线 y=x+2 与椭圆相切,代入得方程 4x2+12x+12-3b2=0 满足 ?=0.由此得 b2=1. x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 3 (2)证明:设 P(x0,y0).当 x0=± 3时,有一条切线斜率不存在,此时,刚好 y0=±1, 可见,另一条切线平行于 x 轴,m⊥n; 当 x0≠± 3时,则两条切线斜率存在.设直线 m 的斜率为 k,则其方程为 y-y0=k(x- x0),即 y=kx+y0-kx0. x2 代入 +y2=1 并整理得 3 (1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0. 由 ?=0 可得(3-x2)k2+2x0y0k+1-y2=0, 0 0 注意到直线 n 的斜率也适合这个关系,所以 m,n 的斜率 k1,k2 就是上述方程的两根, 1-y2 0 . 由韦达定理,k1k2= 3-x2 0

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2 由于点 P 在圆 D:x2+y2=4 上,3-x2=-(1-y0), 0 所以 k1k2=-1,所以 m⊥n. 综上所述,过圆 D 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 m,n,总有 m⊥n.

x2 x0 0 9. 【解答】 (1)设切点 A(x0,y0),且 y0= ,由切线 l 的斜率为 k= ,得 l 的方程为 y 2p p x2 x0 0 = x- ,又点 D(0,-2)在 l 上, p 2p
2 x0 ∴ =2,即切点 A 的纵坐标为 2. 2p

(2)由(1)得 A(-2 p,2),切线斜率 k=-

2 , p 3 ,得 a2=4b2, 2

设 B(x1,y1),切线方程为 y=kx-2,由 e=

x2 y2 所以设椭圆方程为 2+ 2=1,且过 A(-2 p,2), 4b b ∴b2=p+4.
?y=kx-2, ? 2 2 2 由? 2 2 2 ?(1+4k )x -16kx+16-4b =0, ? ?x +4y =4b

?x +x =1+4k , ? ∴? 16-4b ?x x = 1+4k , ?
16k
0 1 2 2 0 1 2

y0 2y1 x1y0+2x0y1 = k1+2k2= + = x0 x1 x0x1 x1(kx0-2)+2x0(kx1-2) 2x1+4x0 =3k- x0x1 x0x1 32k -4 p 1+4k2 2(x1+x0)+2x0 =3k- =3k- x0x1 16-4b2 1+4k2 32k-4 p(1+4k2) =3k- =4k, 16-4b2 将 k=- 2 ,b2=p+4 代入得 p=32,所以 b2=36,a2=144, p

x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 144 36

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