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高考数学第一轮复习单元突破测试题16-选考内容


武汉科技大学附中《创新设计》高考数学一轮复习单元突破:选考内容 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.不等式|x-1|+|x-2|≥5 的解集为( A.﹛x|x≤-1 或 x≥4﹜ C.﹛x|x≤1﹜ 【答案】A 2.不等式 3≤l5 - 2xl<9 的解集是( A. (一∞,-2)U(7,+co) C.[-2,1】U【4,7】 【答案】D 3. 已知 f ( x) ? 2 x ? 3( x ? R) , 若 间的关系是( A. b ? 【答案】A 4.函数 f ( x ) ? 3 x ? A. 1 【答案】B 5.不等式 ) 则 a, b 之 f (x) ? 1 ? a 的必要条件是 x ?1 ? b(a, b ? 0) , ) B. [1, 4] D. (?2,1] ) B.﹛x|x≤1 或 x≥2﹜ D.﹛x|x≥2﹜ 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

[4,7)

a 2

B. b ?

a 2

C. a ?

b 2
)

D. a ?

b 2

12 ( x ? 0) 取得最小值时 x 为( x2
B. 2 C. 3

D.

4

x ? 2 ? 4 ? x ? 3 的解集是(
?3 9? ? ?
B. ?

)

A. ? , ? 2 2 【答案】B 6.不等式 1 ? A.

?3 9? , ? ?2 2?

C. (1,5)

D. (3,9)

x ? 1 ? 3 的解集为(

) B.

? 0, 2 ?
D.

? ?2,0? ? 2,4?

C. (?4,0) 【答案】D

? ?4, ?2 ? 0, 2??
)

7.如图,A、B 是⊙O 上的两点,AC 是⊙O 的切线,∠B=70°,则∠BAC 等于(

A. 70° 【答案】C

B. 35°

C. 20°

D. 10°

8.下列四个命题中:① a ? b ? 2

ab ;② sin 2 x ?

1 9 4 ?4 ;③设 x,y 都是正数,若 ? 2 sin x x y

=1,则 x+y 的最小值是 12;④若|x-2|< ? ,|y-2|< ? ,则|x-y|<2 ? ,则其中 所有真命题的个数有( A.1 个 【答案】B 9.若关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a2 ? 4a 有实数解,则实数 a 的取值范围为( A. (1,3) 【答案】B 10.在 ?ABC 中, DE / / BC , DE 将 ?ABC 分成面积相等的两部分,那么 DE : BC ? ( A. 1 : 2 【答案】C 11.不等式 1 ?| x ? 1 |? 3 的解集为( A. (0,2) B. (-2,0)∪(2,4) C. (-4,0) 【答案】D 12.柱坐标(2, A.( ?1, 【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.圆 C : ? 【答案】 ? D. (-4,-2)∪(0,2) ) B. 1 : 3 C. ) B. (??,1) ) ) B.2 个 C .3 个 D.4 个

(3, ??) C. (??, ?3)

(?1, ??)

D. (?3, ?1)

1: 2

D. 1:1

2? ,1)对应的点的直角坐标是( 3
B.( 1,?

)

3,1 )

3,1 )

C .(

3,?1, ,1 )

D.( ?

3,1,1 )

? ? x ? 1 ? 2 cos ? , ? ? y ? 1 ? 2 sin ? ,

( ? 为参数)的极坐标方程为



? 2 ?sin ? ? cos? ?
a b c d
( a, b, c, d ?{?1,1, 2} )的所有可能值中,最大的是 。

14.行列式 【答案】6

? x ? 8t 2 ? (t 为参数) 15. 已知曲线 C 的方程为 ? , 过点 F (2, 0) 作一条倾斜角为 的直线交曲线 C 4 ? y ? 8t
于 A 、 B 两点,则 AB 的长度为 【答案】16

16.不等式 【答案】

x ? x ? 2 ? 3 的解集是
5 1 ( ?? ,? ) ? ( ,?? ) 2 2

.

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t ,以该直角坐标系的原点 (t 为参数) ? y ? t ?1
p2 ? 4 p cos? ? 3 ? 0 .

O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线 P 的方程为 (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A 、 B ,求 | AB | .

【答案】 (Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,曲线 P 的直角坐标方程为

x 2 ? y 2 ? 4x ? 3 ? 0 .
(Ⅱ)曲线 P 可化为 ( x ? 2)
2

? y 2 ? 1 ,表示圆心在 (2,0) ,半径 r ? 1 的圆,

则圆心到直线 C 的距离为 d

?

1 2

?

2 2 2 ,所以 AB ? 2 r ? d ? 2 . 2

18.已知实数 x,y 满足: | x ? y |?

1 1 5 求证: | y |? . , | 2 x ? y |? , 3 6 18

【答案】∵ 3| y | =| 3 y | = | 2 ? x ? y ? ? ? 2x ? y ? |? 2 x ? y ? 2x ? y , 由题设 | x ? y |?

1 1 1 1 5 5 ∴ 3| y |< ? = 。∴ | y |? 。 , | 2 x ? y |? , 3 6 3 6 6 18

19.设 M= ?

?1 ?1 0 ? ?2 , N = ? ? 0 2 ? ? ?0

? 0? ,试求曲线 y=sinx 在矩阵 MN 变换下的曲线方程. ? 1?

?1 ? ?1 ? 0? ? 0? ?1 0 ? ? 【答案】MN= ? , ? 2 2 ? ?0 2 ? ? 0 1 ? ? 0 2 ? ? ? ? ?
设 ? x, y ? 是曲线 则 ?2

y ? sin x 上的任意一点,在矩阵 MN 变换下对应的点为 ? x?, y?? .

?1

? ?0

? ? ? 1 ? x ? 2 x?, 0 ? ? x ? ? x? ? ? x ? x, ? ,所以 即 ? 2 ? ? 1 ? ? y ? ? y ?? y ? y ?, ? ? ? 2? ? ? ? ? y ? 2 y , ? ? 2

代入

y ? sin x 得: 1 y? ? sin 2x? ,即 y? ? 2sin 2 x? .
2

即曲线

y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的曲线方程为 y ? 2 sin 2 x .
AB 是⊙ O 的直径, PA是过点 A 的直线, 且

20. 如图, ?ABC 内接于⊙ O ,

?PAC ? ?ABC . (Ⅰ) 求证: PA是⊙ O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB 于点 E , AC ? 8 , CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3 , 求

sin ?BCE .

【答案】 (Ⅰ) AB 为直径,? ?ACB ?

?
2

,

?CAB ? ?ABC ?

?
2

? ?PAC ? ?ABC ? ?PAC ? ?CAB ?

?
2

? PA ? AB, AB 为直径,? PA 为圆的切线

(Ⅱ) CE ? 6k , ED ? 5k , , AE ? 2m, EB ? 3m

? AE ? EB ? CE ? ED ? m ? 5k
? ?AEC ∽ ?DEB ?
BD 3m ? ? BD ? 4 5 8 6k

? ?CEB ∽ ?AED ?

BC 2 25m 2 ? 64 3k 2 2 5 ? ? ( ) ? m ? 2, k ? 2 2 m 5 AD 25m ? 80 BD 4 5 2 5 ? ? AB 10 5

? AB ? 10, BD ? 4 5 在直角三角形 ADB 中 sin ?BAD ?

? ?BCE ? ?BAD ? sin ?BCE ?

2 5 5

21.已知 ? ABC 中,AB=AC, D 是 ? ABC 外接圆劣弧 AC 弧上的点(不与点 A,C 重合) ,延长 BD

至 E。 (1)求证:AD 的延长线平分 ? CDE; (2)若 ? BAC=30°, ? ABC 中 BC 边上的高为 2+ 求 ? ABC 外接圆的面积。

3,

【答案】 (Ⅰ)如图,设 F 为 AD 延长线上一点,∵A,B,C,D 四点共圆,

∴∠CDF=∠ABC, 又 AB=AC

∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,对顶角∠EDF=∠
0

ADB, 故∠EDF=∠CDF,即 AD 的延长线平分∠CDE. (Ⅱ)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H,则 AH⊥BC.连接 OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=15 , ∠ ACB=75 , ∴∠OCH=60 .设圆半径为 r,则 r+
0 0

3 r=2+ 3 ,得 r=2,外接圆的面积为 4 ? 。 2

?2 a ? ?? 2 1? ? ,其中 a ? R ,若点 P(1, ?2) 在矩阵 M 的变换下得到点 P?(?4, 0) , 22. 已知矩阵 M ?
(1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量.

? 2 a ? ? 1 ? ? ?4 ? ? 2 1 ? ? ?2 ? ? 0 ? ? ? ?=? ?, 【答案】 (1)由 ?

∴ 2 ? 2a ? ?4 ? a ? 3 .

? 2 3? ?? 2 1? ? ,则矩阵 M 的特征多项式为 (2)由(1)知 M ? f (? ) ?

? ?2
?2

?3

? ?1

? (? ? 2)(? ? 1) ? 6 ? ? 2 ? 3? ? 4



f (? ) ? 0 ,得矩阵 M 的特征值为 ?1 与 4.

?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 ? x? y ?0 ? ?2 x ? (? ? 1) y ? 0 当 ? ? ?1 时, ? ?1? ? ?1? ∴矩阵 M 的属于特征值 ?1 的一个特征向量为 ? ? ?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 ? 2x ? 3 y ? 0 ? ? 2 x ? ( ? ? 1) y ? 0 ? ? 4 ? 当 时, ?3? ?2? ∴矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为 ? ? .


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