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2015-2016学年苏锡常镇四市高三教学情况调研含答案word版


2015—2016 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一) 数学 I
2016.3

一、填空题;本大题共 14 小矗,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应的 位 置上. 1.已知集合 A={x|x<3.x∈R},B={x|x>l,x∈R) ,则 A ? B ? . 2.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足

z ? 4 ? 3i ,则复数 z 的模为 i



3.一个容量为 n 的样本,分成若干组,已知某组的频致 和频率分别为 40,0.125.则 n 的值为 . 4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知方程

x2 y2 ? =1 4?m 2?m

表示双曲线,则实数 m 的取值范围为 . 5.为强化安全意识,某校拟在周一至周五的五天中随机 选择 2 天进行紧急疏散演练,则选择的 2 天恰好为连 续 2 天的概率是 . 6.执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为 . 7.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 是棱 BB1 的 中点,则四棱锥 P - AA1C1C 的体积为 . 8.设数列{an}是首项为 l,公差不为零的等差数列,Sn 为 其前 n 项和,若 S1,S2,S3 成等比数列,则数列{an}的公差 为 . 9.在平面直角坐标系 xOy 中,设 M 是函数 f(x)=

x2 ? 4 (x>0)的图象上任意一点,过 M x
???? ????


点向直线 y=x 和 y 轴作垂线,垂足分别是 A,B,则 MA ? MB ?

10,若一个钝角三角形的三内角成等差数列,且最大边与最小边之比为 m,则实数 m 的 取值范围是 . 11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知过原点 O 的动直线,与圆 C:x2+y2-6x+5=0 相交 于不同的两点 A,B,若点 A 恰为线段 OB 的中点,则圆心 C 到直线,的距离为 .

? ? x 2 ? 4 x, 0 ? x ? 4 12.已知函数 f(x)= ? , 若存在 x1,x2∈R,当 0≤x1<4≤x2≤6 时, ?log 2 ( x ? 2), 4 ? x ? 6
f(x1)=f(x2).则 x1f(x2)的取值范围是 .

高三数学Ⅰ 第 1 页(共 13 页)

13.已知函数 f(x)=2x-1+a,g(x)= bf(1-x).其中 a,b∈R,若关于 x 的不等式 f(x)≥g(x)的解的最小值为 2,则 a 的取值范围是 . 14.若实数 x,y 满足 x2 -4xy+4y2 +4x2y2=4,则当 x+2y 取得最大值时,

x 的值为 y



二、解答题,本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)= sin(2x 十

? ? 一 3 sin(2x 一 ). 3 6

(l)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间: (2)当 x∈[一

? ? , ]时,试求 f(x)的最值,并写出取得最值时自变量 x 的值. 6 3

16.(本小题满分 14 分) 如图, 已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, PA⊥平面 ABCD, M 是 AD 的中点,N 是 PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAB; (2)若平面 PMC⊥平面 PAD.求证:CM⊥AD.

17.(本小题满分 14 分) 如图是某设计师设计的 Y 型饰品的平面图,其中支架 OA,OB,OC 两两成 120°, OC=l,AB=OB+OC,且 OA> OB.现设计师在支架 OB 上装点普通珠宝,普通珠宝的价值为 M,且 M 与 OB 长成 正比,比例系数为 k(k 为正常数) :在△AOC 区域(阴影区域) 内镶嵌名贵珠宝,名贵珠宝的价值为 N,且 N 与△AOC 的 面积成正比,比例系数为 4 3 k.设 OA =x,OB=y. (1)求 y 关于工的函数解析式,并写出 x 的取值范围; (2)求 N-M 的最大值及相应的 x 的值.

高三数学Ⅰ 第 2 页(共 13 页)

18.(本小题满分 16 分)

3 1 x2 y 2 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C: 2 ? 2 =1 (a>b>0) 过点(1, ) . 离心率为 . 2 2 a b
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线,与椭圆 C 交于 A,B 两点. ①若直线,过椭圆 C 的右焦点,记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为 t. 求 t 的最大值; ②若直线,的斜率为

3 ,试探究 OA2+ OB2 是否为定值,若是定值,则求出此 2

定值;若不是定值,请说明理由. 19.(本小题满分 16 分) 设函数 f(x)=x-2ex- k(x-2lnx)(k 为实常数.e=2.71828?是自然对数的底数) . (1)当 k=l 时,求函数 f(x)的最小值: (2)若函数 f(x)在区间(0,4)内存在三个极值点,求 k 的取值范围. 20.(本小题满分 16 分) 已知首项为 1 的正项数列{an}满足 an ?1 ? an ?
2 2

5 an ?1an , n ? N *. 2

(1)若 a2=

3 ,a3=x,a4=4.求 x 的取值范围; 2

(2)设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 为数列{an}前 n 项的和, 若

1 Sn ? Sn ?1 ? 2S n , n∈N*,求 q 的取值范围: 2

(3)若 a1,a2,?,ak(k≥3)成等差数列,且 a1+a2+?+ak=120.求正整数 k 的最小 值,以及 k 取最小值时相应数列 a1,a2,?,ak 的公差.

2015—2016 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一) 数学 II(附加题)
2016.3

21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分.请在 答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 高三数学Ⅰ 第 3 页(共 13 页)

A.选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 AB 与⊙O 相切于点 B,直线 AO 交⊙O 于 D,E 两点,BC⊥DE,垂足为 C,且 AD=3DC,BC=. 2 ,求⊙O 的直径.

B.选修 4-2:矩阵与变换

?1 ? ???0 ?1???0 ? 设 M= ? .N= ? 2 ? ,试求曲线 y-=sinx 在矩阵 MN 变换下得到的曲线方程. ? ? ? ?1???2? ? ????? ?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线,的参数方程为 ? (t 为参数) ,以原点 O 3 ?y ? t ? ? 2
为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ =2 以 sinθ .设 P 为 直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的直角坐标. D.选修 4-5:不等式选讲 己知函数 f(x)= 实数 a 的取值范围. 【必做题】第 22 题.第 23 题.每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AAl=AB=2AD=2,E 为 AB 的中点,F 为 D1E 上的一点,D1F=2FE. (l)证明:平面 DFC⊥平面 D1EC; 高三数学Ⅰ 第 4 页(共 13 页)

3x ? 6 ,g(x)=

14 ? x ; ,若存在实数 xf(x)+g(x)>a 成立,求

(2)求二面角 A-DF-C 的大小.

23.(本小题满分 10 分) 在杨辉三角形中,从第 3 行开始,除 l 以外, 其它每一个数值是它上面的二个数值之和,这 三角形数阵开头几行如右图所示. (l)在杨辉三角形中是否存在某一行,且该行 中三个相邻的数之比为 3:4:57 若存在, 试求出是第几行;若不存在,请说明理由: (2)已知 n.r 为正整数.且 n≥r+3.
r ?1 求证:任何四个相邻的组合数 Cn , Cn ,

r

r ?2 r ?3 , Cn 不能构成等差数列. Cn

2015-2016 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一) 数学参考答案
置上 . .. 1. (1,3) 2.5 3.320 4. (?2, 4) 5. 2016.3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 ......

2 5

6.6

7.

1 3

高三数学Ⅰ 第 5 页(共 13 页)

3 6 256 1 11. 12. 13. 14. 2 [3, ] (??, ?2] ? (? , ??) 4 27 4 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出 .......
8. 2 9. -2

(2, ??) 10.

文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解: (1)由题意知, f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ? 2sin(2 x ? 所以 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 当?

? 2? ? ? 2k ?≤2x ? ≤ ? 2k ? (k ? Z) 时, f ( x ) 单调递增, 2 3 2 ?? ? 解得 x ?[? ? k ??? ? k ?] (k ? Z) , 12 12 ?? ? 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [? ? k ??? ? k ?] (k ? Z) .?????????8 分 12 12 ? ? ? 2? ?? (2)因为 x ?[? , ] ,所以 ≤2 x ? ≤ , ????????????10 分 6 3 3 3 3 2? ? ? 当 2x ? ? ,即 x ? ? 时, f ( x ) 取得最大值 2, ??????????12 分 3 2 12 2? ?? ? 当 2x ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? 3 . ?????????14 分 ? 3 3 3 1 16. 证明: (1)取 PB 中点 E ,连 EA , EN ,△ PBC 中, EN // BC 且 EN ? BC , 2
又 AM ?

2? ??. 2

? 3

? 3

2? ) ,??4 分 3

????????????????6 分

1 2

AD , AD // BC , AD ? BC ,

?????????????3 分

得 EN ∥ AM , EN =AM ,四边形 ENMA 是平行四边形, ???????5 分 得 MN // AE , MN ? 平面 PAB , AE ? 平面 PAB , ? MN // 平面 PAB . ?????????????????????7 分 (2)过点 A 作 PM 的垂线,垂足为 H , ? 平面 PMC ? 平面 PAD ,平面 PMC ? 平面 PAD ? PM , AH ? PM , AH ? 平面 PAD , ?????????10 分 ? AH ? 平面 PMC ,平面 PMC ,? AH ? CM . ???????12 分 ? PA ? 平面 ABCD , CM ? 平面 ABCD ,? PA ? CM . ? PA ? AH ? A , PA , AH ? 平面 PAD , CM ? 平面 PAD , ?????????????????14 分 ? AD ? 平面 PAD ,? CM ? AD . 17. 解: (1)因为 OA ? x, OB ? x, AB ? y ? 1,

x2 ? 1 , ???????3 分 2? x 1? 3 x2 ? 1 由 x ? 0, y ? 0 得 1 ? x ? 2 ,又 x ? y ,得 x ? ,解得 1 ? x ? , ????6 分 2 2? x
由余弦定理, x2 ? y 2 ? 2xy cos120? ? ( y ? 1)2 ,解得 y ? 高三数学Ⅰ 第 6 页(共 13 页)

所以 OA 的取值范围是 (1,

1? 3 ). 2

??????????????????7 分

(2) M ? kOB ? ky , N ? 4 3k ? S?AOC ? 3kx , 则 N ? M ? k (3x ? y) ? k (3x ? 设 2 ? x ? t ?(

x2 ? 1 ) ,???????????????????8 分 2? x

3? 3 ,1) , 2 (2 ? t )2 ? 1 则 N ? M ? k[3(2 ? t ) ? ] t 3 3 = k[10 ? (4t ? )]≤ k (10 ? 2 4t ? ) ? (10 ? 4 3)k .??????????11 分 t t

3 3? 3 3 3 ?( ,1) 取等号,此时 x ? 2 ? 当且仅当 4t ? 即 t ? 取等号, ???13 分 2 2 2 t 3 所以当 x ? 2 ? 时, N ? M 的最大值是 (10 ? 4 3)k .???????????14 分 2

18.解: (1)

1 9 a 2 ? b2 1 ? ? 1, ? , a 2 4b 2 a 2
x2 y 2 ? ?1. 4 3

得 a 2 ? 4, b 2 ? 3.

??????????2 分

所以椭圆 C:

???????????????????????3 分

(2)①设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,直线 l 与椭圆 C 的交点为 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? x ? my ? 1, ? 由 ? x2 y 2 化简得 3m2 ? 4 y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ,易知 ? ? 0 , ? ? 1, ? 3 ?4

?

?

??????5 分

所以 y1 ? y2 ? ?

所以 k AP ? kBP

6m 9 , , y1 y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4 3 3 3 3 3 9 y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 2? 2? 2? 2? 2 4 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 my1 my2 m2 y1 y2
=?

1 3 ? , m 4

?????????????????7 分
2

所以 t ? k AB ? k AP ? kBP ? ?

1 3 9 ? 1 3? ? ? ?? ? ? ? , 2 m 4m ? m 8 ? 64

??????????9 分

所以当 m ? ? 时,t 有最大值

8 3

9 . 64

??????????????????10 分

高三数学Ⅰ 第 7 页(共 13 页)

②设直线 l 的方程为 y ?

3 x ? n ,直线 l 与椭圆 C 的交点为 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 2

? 3 y? x ? n, ? ? 2 ? 2 2 ? x ? y ? 1, ? 3 ? 4

得 3x2 ? 2 3nx ? 2n2 ? 6 ? 0 ,

? ? (2 3n)2 ? 4 ? 3(2n2 ? 6) ? 0 ,即 ? 6 ? n ? 6 .
x1 ? x2 ? ? 2 3n 2n 2 ? 6 , x1 x2 ? , 3 3
??????????12 分

2 2 2 2 OA2 ? OB2 ? x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? ( x12 ? x2 ) ? ( y12 ? y2 )

3 3 7 2 x1 ? n) 2 ? ( x2 ? n) 2 ? ( x12 ? x2 ) ? 3n( x1 ? x2 ) ? 2n 2 2 2 4 7 7 = ( x1 ? x2 )2 ? x1 x2 ? 3n( x1 ? x2 ) ? 2n2 ??????????????14 分 4 2 7 2 3 2 7 2n 2 ? 6 2 3 n) ? ( ) ? 3n( ? n) ? 2n 2 =7. ??????????16 分 = (? 4 3 2 3 3 ex 19.解: (1)由函数 f ? x ? ? 2 ? ? x ? 2ln x ?? x ? 0 ? , x
2 ?( = x12 ? x2

可得 f ? ? x ? ?

. ????????????????????2 分 x3 因为当 x ? 0 时, e x ? x 2 .理由如下: 2 x?2 要使 x ? 0 时, e x ? x 2 ,只要 x ? 2 ln x ,设 ? ( x) ? x ? 2ln x , ? ?( x) ? 1 ? ? , x x 于是当 0 ? x ? 2 时, ? ?( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, ? ?( x) ? 0 . 即 ? ( x) ? x ? 2ln x 在 x ? 2 处取得最小值 ? (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,即 x ? 0 时, x ? 2 ln x , 所以 e x ? x 2 ? 0 , ?????????????????????????5 分 于是当 0 ? x ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以函数 f ?x ? 在 ?0,2? 上为减函数, ?2,??? 上为增函数. 所以 f ( x) 在 x ? 2 处取得最小值 f (2) ?
2

? x ? 2? ? ex ? x2 ?

????????6 分

e ? 2 ? 2ln 2 . ????????7 分 4 ? ex ? x ? 2 ? ?? 2 ? k ? x 2 x ? 2 e ? kx ? ? ? ? x ? ? ' ? (2) 因为 f ? x ? ? , x3 x ex 当 k ≤ 0 时, 2 ? k ? 0 ,所以 f ?x ? 在 ?0,2? 上单调递减, ? 2, 4 ? 上单调递增,不存在 x 三个极值点,所以 k ? 0 . ?????????????????8 分 高三数学Ⅰ 第 8 页(共 13 页)

? ex ? ?k? 2 ? x ? 2 ? ? e ? kx ? e2 ? ? x ? 2 ? x ex ? ? ? ? ? 又 f ? x? ? ,令 g ? x ? ? 2 ,得 g ? x ? ? , x3 x x x3 易知 g ?x ? 在 ?0,2? 上单调递减,在 ?2, ? ?? 上单调递增,在 x ? 2 处取得极小值,
x 2

? x ? 2? ?

e2 e4 ,且 g ? 4 ? ? , ?????????????????????10 分 4 16 ? e2 e4 ? ex 于是可得 y ? k 与 g ? x ? ? 2 在 ?0,4? 内有两个不同的交点的条件是 k ? ? , ? . x ? 4 16 ?
得 g ? 2? ? ?????????????????????12 分 ex 设 y ? k 与 g ? x ? ? 2 在 ?0,4? 内 有 两 个 不 同 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 x1 , x 2 , 则 有 x 0 ? x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,下面列表分析导函数 f ' ?x ? 及原函数 f ?x ? :

x
x?2
ex ?k x2
f ?? x?

?0, x1 ?
- + - 递减

x1
- 0 0 极小值

?x1 ,2?
- - + 递增

2 0

?2, x2 ?
+ - - 递减

x2
+ 0 0 极小值

? x 2 ,4 ?
+ + + 递增

4 2

e2 ?k 4
0 极大值

e4 ?k 16


f ?x ?

可知 f ?x ? 在 ?0, x1 ? 上单调递减,在 ?x1 ,2? 上单调递增, 在 ?2, x2 ? 上单调递减,在 ?x2 ,4? 上单调递增, 所以 f ?x ? 在区间 ?0,4? 上存在三个极值点. ???????????????15 分

? e2 e4 ? 即函数 f ?x ? 在 ?0,4? 内存在三个极值点的 k 的取值范围是 ? , ? . ??16 分 ? 4 16 ?
20.解: (1)由题意得, 所以

1 an ? an?1 ? 2an , 2

????????????????2 分 ????????????4 分

3 x ? x ? 3, ? 4 ? 2 x, 解得 x ? ? 2,3? . 4 2

(2)由题意得,∵

1 an ? an?1 ? 2an ,且数列 {an } 是等比数列, a1 ? 1 , 2

高三数学Ⅰ 第 9 页(共 13 页)

1 ? n ?1 ?q (q ? ) ? 0 1 n?1 ?1 ? n n ?1 ∴ q ? q ? 2q ,∴ ? ,∴ q ? ? , 2 ? . ????????6 分 2 ?2 ? 2 n ?1 ? ? q (q ? 2) ? 0
1 又∵ Sn ? Sn?1 ? 2Sn ,∴而当 q ? 1 时, S2 ? 2S1 不满足题意. ???????7 分 2

1 1 ? q n 1 ? q n ?1 1 ? qn ? ? 2? , 当 q ? 1 时, ? 2 1? q 1? q 1? q

?q n (q ? 2) ? ?1, ?q1 (q ? 2) ? ?1, ?1 ? ?1 ? ∴①当 q ? ? ,1 ? 时, ? n 解得 q ? ? ,1 ? ; ??9 分 ? 1 2 ? ? ?2 ? ? q (2q ? 1) ? 1, ? q (2q ? 1) ? 1,
②当 q ? ?1,2? 时, ? (3)∵

?q n (q ? 2) ? ?1, ? q (2q ? 1) ? 1,
n

,?

?q1 (q ? 2) ? ?1,
1

?1 ? 无解.∴ q ? ? ,1 ? . ?11 分 ?2 ? ? q (2q ? 1) ? 1,

1 an ? an?1 ? 2an ,且数列 a1 , a2 ,? ak 成等差数列, a1 ? 1 , 2

∴ [1 ? (n ? 1)d ] ? 1 ? nd ? 2[1 ? (n ? 1)d ] , n ? 1, 2,? , k ? 1 . ∴?

1 2

?d (n ? 1) ? ?1, ? d (2 ? n) ? 1,

? 1 ? ∴ d ? ? ? ,1? . ? k ?

??????????????13 分

又∵ a1 ? a2 ? ?ak ? 120 ,∴ Sk ? ∴d ?

d 2 d d d k ? (a1 ? )k ? k 2 ? (1 ? )k ? 120 , 2 2 2 2

240 ? 2k ? 1 ? 240 ? 2k ? ? ? ,1? ,解得 k ? ?15,239? , k ? N* , ,∴ 2 2 k ?k ? k ? k ?k

所以 k 的最小值为 16,此时公差为 d ?

13 . ???????????????16 分 15

数学Ⅱ(附加题)参考答案
21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ...... A.选修 4—1:几何证明选讲 解:因为 DE 是 ? O 的直径,则 ?BED ? ?EDB ? 90? , 又 BC ? DE , 所以 ?CBD ? ?EDB ? 90? , ??????????????3 分 ??????5 分 又 AB 切 ? O 于点 B ,得 ?ABD ? ?BED ,所以 ?CBD ? ?DBA . 高三数学Ⅰ 第 10 页(共 13 页)

即 BD 平分 ?CBA ,则

BA AD ? ?3, BC CD

又 BC ? 2 ,从而 AB ? 3 2 ,所以 AC ? 由切割线定理得 AB 2 ? AD ? AE ,即 AE ?

AB 2 ? BC 2 ? 4 ,所以 AD ? 3 , ??8 分
AB 2 ?6, AD
??????????????10 分

故 DE ? AE ? AD ? 3 ,即 ? O 的直径为 3. B.选修 4—2:矩阵与变换 1 ? 1 0 ? 1 0 ?? 0 ? ? ? ? ? 2 ?, 2 解:MN=? ? ?=? ? ? 0 2 ?? ? 0 1 ? ? 0 2 ?

???????????????4 分

设(x,y)是曲线 y=sinx 上的任意一点,在矩阵 MN 变换下对应的点为(x′,y′).

? 1 0 ?x ?=?x′?, ?? 则? 2 ? ? ? ? ?? ? ? ?y′? ? 0 2?y
所以 x? ?

??????????????????????6 分 ?????????????8 分

1 1 x, y? ? 2 y, 且 x ? 2 x?, y ? y? , 2 2

1 代入 y=sinx,得 y′=sin2x′,即 y′=2sin2x′. 2 即曲线 y=sinx 在矩阵 MN 变换下的曲线方程为 y=2sin2x. ????????10 分 C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:由 ? ? 2 3 sin ? ,得 ? 2 ? 2 3? sin ? ,从而有 x 2 ? y 2 ? 2 3 y , 所以 x 2 ? y ? 3 ???3 分

?

?

2

?3.

??????????????????????5 分
2

2 ? ? 1 ? ? 3 1 3 ? ? PC ? 3 ? t t ? 3? ? t 2 ? 12 ,?8 分 设 P ? 3 ? t, , C (0, 3) , t ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ?

故当 t ? 0 时, PC 取得最小值,此时 P 点的坐标为 (3,0) . ?????????10 分 D.选修 4—5:不等式选讲 解:存在实数 x 使 f ( x) ? g ( x) ? a 成立, 等价于 f ( x) ? g ( x) 的最大值大于 a, ????????????????2 分 ??????4 分 ???7 分

因为 f ( x) ? g ( x) ? 3x ? 6 ? 14 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 1? 14 ? x ,

由柯西不等式: ( 3 ? x ? 2 ? 1? 14 ? x )2 ≤ (3 ? 1)( x ? 2 ? 14 ? x) ? 64 , 高三数学Ⅰ 第 11 页(共 13 页)

所以 f ( x) ? g ( x) ? 3x ? 6 ? 14 ? x ≤ 8 ,当且仅当 x=10 时取“=”, ????9 分 故常数 a 的取值范围是(-∞,8). 【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.解: (1)以 D 为原点,分别以 DA、DC、DD1 所在 直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标 系,则 A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2). ∵E 为 AB 的中点,∴E 点坐标为 E(1,1,0),
A1

???????????10 分 z
D
1

C B1
1

F C y

∵D1F=2FE, D ????? ? 2 ???? ? 2 2 2 4 B E A ∴ D 1 F ? D1E ? (1,1, ?2) ? ( , , ? ) , x 3 3 3 3 3 ???? ???? ? ???? ? 2 2 4 2 2 2 DF ? DD1 ? D1F ? (0,0,2) ? ( , , ? ) ? ( , , ) ?????2 分 3 3 3 3 3 3 ???? 2 2 ?2 ? ? x ? y ? z ? 0, ?n ? DF ? 0 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 DFC 的法向量,则 ? ???? ,∴ ? 3 3 3 ? ? ?n ? DC ? 0 ?2 y ? 0, 取 x=1 得平面 FDC 的一个法向量 n ? (1, 0, ?1) ,

?????????????3 分

???? ? 2 4 ?2 ? p ? D1 F ? 0, ? ? x ? y ? z ? 0, 设 p ? ( x, y, z ) 是平面 ED1C 的法向量,则 ? ???? ∴ ?3 ? 3 3 ? ? ? p ? D1C ? 0, ?2 y ? 2 z ? 0,
取 y=1 得平面 D1EC 的一个法向量 p ? (1,1,1) , ∵ n ? p ? (1,0, ?1) ? (1,1,1) ? 0 ,∴平面 DFC ? 平面 D1EC. ?????4 分 ????????5 分

???? ??? ? (2)设 q ? ( x, y, z ) 是平面 ADF 的法向量,则 q ? DF ? 0,q ? DA ? 0,

2 2 ?2 ? x ? y ? z ? 0, ∴ ?3 取 y=1 得平面 ADF 的一个法向量 q ? (0,1, ?1) , 3 3 ? ? x ? 0,

????7 分

π 设二面角 A-DF-C 的平面角为 ? ,由题中条件可知 ? ? ( , π) , 2 n?q 0 ? 0 ?1 1 | =- 则 cos ? =- | ? ? ,????????????????9 分 | n |?| q | 2 2? 2
∴二面角 A-DF-C 的大小为 120°. ??????????????10 分

k 23.解: (1)杨辉三角形的第 n 行由二项式系数 Cn ,k=0,1,2,?,n 组成.

高三数学Ⅰ 第 12 页(共 13 页)

如果第 n 行中有

k ?1 k Cn k 3 Cn k ?1 4 ? ? , ? ? , k k ?1 Cn n ? k ? 1 4 Cn n?k 5

那么 3n-7k=-3,4n-9k=5,

?????????????????2 分

解这个联立方程组,得 k=27,n=62. ?????????????????3 分
26 27 28 即第 62 行有三个相邻的数 C62 的比为 3:4:5.????????????4 分 , C62 , C62 r r ?1 r ?2 r ?3 (2)若有 n,r(n≥r+3),使得 Cn 成等差数列, , Cn , Cn , Cn r ?1 r r ?2 r ?2 r ?1 r ?3 则 2Cn , ? Cn ? Cn ,2Cn ? Cn , ?Cn



2?n! n! n! = + , (r+1)!(n-r-1)! r!(n-r)! (r+2)!(n-r-2)! ?????????6 分

2?n! n! n! = + . (r+2)!(n-r-2)! (r+1)!(n-r-1)! (r+3)!(n-r-3)! 2 1 1 所以有 = + , (r+1)(n-r-1) (n-r-1)(n-r) (r+1)( r+2) 2 1 1 = + , (r+2)(n-r-2) (n-r-2)(n-r-1) (r+2)(r+3)

经整理得到 n2-(4r+5)n+4r(r+2)+2=0,n2-(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0. 两式相减可得 n=2r+3, 于是 C2r+3,C2r+3,C2r+3,C2r+3成等差数列,
r r+3 r+1 r r+1 r+2 r+3

??????????????8 分
r+2

而由二项式系数的性质可知 C2r+3=C2r+3<C2r+3=C2r+3, 这与等差数列性质矛盾,从而要证明的结论成立. ????????????10 分

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