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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质课堂探究学案新人教B版选修2_120171109389

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2.4.2 抛物线的简单几何性质

课堂探究 探究一 由抛物线的性质求标准方程 确定抛物线的标准方程时,从形式上看,只需求一个参数 p,但由于标准方程有四种类 型,因此,还应确定开口方向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论,有时也可设标准方 程的统一形式,避免讨论,如焦点在 x 轴上的抛物线标准方程可设为 y2=2mx(m≠0),焦点 在 y 轴上的抛物线标准方程可设为 x2=2my(m≠0). 【典型例题 1】 求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(-3,2); (2)对称轴为 x 轴,顶点与焦点的距离为 6; (3)抛物线上点(-5,2 5)到焦点 F(x,0)的距离是 6. 思路分析:在求抛物线标准方程时,首先要确定标准方程的类型,即定型,也就是判断 焦点的位置,然后根据条件求出 p 值,即定量. 解:(1)设所求的抛物线方程为 y2=-2p1x(p1>0)或 x2=2p2y(p2>0),由过点(-3,2), 知 4=-2p1·(-3)或 9=2p2×2,得 p1=23,p2=94,故所求的抛物线方程为 y2=-43x 或 x2 =92y. (2)设抛物线方程为 y2=2px(p>0)或 y2=-2px(p>0). 依题意p2=6,所以 2p=24. 所以抛物线方程为 y2=±24x.
(3)由已知 (x+5)2+(2 5)2=6, 整理得 x2+10x+9=0,即(x+1)(x+9)=0, 所以 x=-1 或 x=-9. 所以 F(-1,0),p=2,y2=-4x; 或 F(-9,0),p=18,y2=-36x. 显然,若抛物线为 y2=-36x,则它的准线方程为 x=9. 由抛物线的定义,点 A(-5,2 5)到 F(-9,0)的距离是 6,而点 A(-5,2 5)到 x=9 的

1

距离为 14,矛盾. 所以所求抛物线的标准方程为 y2=-4x. 探究二 抛物线的实际应用 涉及桥的高度、隧道的高低问题,通常用抛物线的标准方程解决,在建立坐标系时,常
以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴,这样使标准方程不仅具有对称性,而且 形式更为简单,便于应用,但要注意点的坐标有正负之分,与实际问题中的数据并不完全相 同.
【典型例题 2】 河上有一座抛物线形拱桥,当水面距拱顶 5 m 时,水面宽为 8 m,一条 3
小船宽 4 m,高 2 m,载货后船露出水面的部分高4 m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高 时,小船不能通航?
思路分析:当小船上货物两侧与抛物线拱顶接触时,船不能通航.由于抛物线与小船均 是轴对称图形,可设出公共对称轴建立抛物线方程,将已知数据转化为点的坐标求解.
解:如图,建立直角坐标系,设拱桥抛物线方程为 x2=-2py(p>0).
由题意,将 B(4,-5)代入方程得 p=1.6. 所以 x2=-3.2y. 当船两侧和抛物线相接触时,船不能通航,设此时船面宽为 AA′,则 A(2,yA). 由 22=-3.2yA,得 yA=-54. 又知船面露出水面部分为34 m, 所以 h=|yA|+34=2(m). 答:水面上涨到距抛物线拱顶 2 m 时,小船不能通航. 探究三 直线与抛物线相交问题 直线 y=kx+b 与抛物线 y2=2px(p>0)的位置关系判断,通常是将直线方程与抛物线方 程联立,整理成关于 x(或 y)的一元二次方程形式,根据其解的个数进行判断,直线和抛物 线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为 k. (1)一般的弦长公式:|AB|= 1+k2|x1-x2|. (2)当直线经过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点时,弦长|AB|=x1+x2+p. 【典型例题 3】 设抛物线 C:y2=4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B
2

两点. (1)设 l 的斜率为 2,求|AB|的大小.

(2)求证:O→A·O→B是一个定值.

思路分析:设出直线方程,将直线方程与抛物线方程联立,整理成一元二次方程形式,

利用根与系数的关系求解. (1)解:依题意得 F(1,0),所以直线 l 的方程为 y=2(x-1).

设直线 l 与抛物线的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),由?????yy= 2=24(xx,-1),

消去 y 整理得 x2

-3x+1=0,所以 x1+x2=3,x1x2=1.

方法一:所以|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2= 5· 32-4×1=

5.

方法二:所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.

(2)证明:设直线 l 的方程为 x=ky+1,直线 l 与抛物线的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),

由?????xy=2=k4yx+,1,

消去 x 整理得 y2-4ky-4=0,所以 y1+y2=4k,y1y2=-4.

因为→OA·→OB=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+ y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3,所以O→A·O→B是一个定值.
【典型例题 4】 已知抛物线 y2=6x,过点 P(4,1)引一条弦,使它恰在点 P 被平分,求

这条弦所在的直线方程.

思路分析:本题主要考查中点弦问题.可采用“点差法”或判别式法. 解法一:设直线上任意一点的坐标为(x,y),弦的两个端点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2). 因为 P1,P2 在抛物线上,所以 y21=6x1,y22=6x2.两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1 -x2).① 由题意知 y1+y2=2,代入①得 k=yx22--yx11=3. 所以直线的方程为 y-1=3(x-4),即 3x-y-11=0.

解法二:由题意知弦所在的直线的斜率存在且不为零, 设所求方程为 y-1=k(x-4).

由方程组?????yy2==k6xx-,4k+1, 得 ky2-6y-24k+6=0.

设弦的两端点 P1,P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),则 y1+y2=6k.

3

因为 P1P2 的中点为(4,1),所以6k=2.所以 k=3.

所以所求直线方程为 y-1=3(x-4),

即 3x-y-11=0.

点评:本题解法一是求与中点有关问题常用的“点差法”.设点、作差、找斜率是主要

的解题技巧.解法二没有求出 P1,P2 的坐标,而是运用韦达定理及 P1P2 的中点坐标求出 k 值, 这也是解题中常用的方法.一般求出直线方程后,把直线方程与抛物线方程联立,组成方程

组看方程组是否有两个解,有两解时求出的直线方程为所求的直线方程.

探究四 易错辨析

易错点 不理解抛物线的标准方程的形式

【典型例题 5】 设抛物线 y=mx2(m≠0)的准线与直线 y=1 的距离为 3,求抛物线的标

准方程.

错解:由 y=mx2(m≠0)可知其准线方程为 y=-m4.

m 由题意知-4=-2,解得

m=8,

故所求抛物线的标准方程为 y=8x2.

错因分析:本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的

形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为 y=-m4;二是得到准

线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.

正解:y=mx2(m≠0)可化为 x2=1my,其准线方程为 y=-41m.

由题意知-41m=-2 或-41m=4,

解得 m=18或 m=-116,

故所求抛物线的标准方程为 x2=8y 或 x2=-16y.

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