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7、数列求和与通项方法总结


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数列求和方法总结
一、常用公式法--分组求和法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、 等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
1、 已知 ?an ? 是等差数列, 满足 a1 ? 3 , 数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4 , 且 ?bn ? an ? a4 ? 12 , b4 ? 20 , 是等比数列.(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;(2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和.

二、错位相减法
2、已知 ?an ? 是递增的等差数列, a 2 , a 4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根。
2

(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

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三、裂项相消法
3、正项数列{an}满足 an 2 ? (2n ?1)an ? 2n ? 0 . (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. (n ? 1)an

数列求通项方法总结
一、公式法
当已知数列的类型 (如已知数列为等差或等比数列) 时, 可以设出首项和公差 (公比) , 列式计算。

二、利用前 n 项和与通项的关系
已知数列{ a n}前 n 项和 S n,求通项公式,利用 a n= S1 ( n?1) Sn ? Sn?1 ( n?2)

?

特别地,当 n=1 的值与 S 的值相同时,合并为一个通项公式,否则写成分段的形式。
1

2 ? 1、设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, n ? N , 求数列

?an ? 的通项公式;

2 错误!未指定书签。、设 S n 为数列{ a n }的前项和,已知 a1 ? 0 ,2 a n ? a1 ? S1 ? S n , n ? N
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求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式

三、已知递推关系式求通项公式
类型 1、累加法(逐差相加法) 形如 an ?1 ? an ? f (n) 3、已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

4、数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.

类型 2、累乘法(逐商相乘法) 形如 an?1 ? f (n)an

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5、已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

n 2 a n ,求 an 。 , a n ?1 ? n ?1 3

类型 3

构造法(待定系数法)形如 an?1 ? pan ? q (q 可为任何函数式或常数)

6、已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1.证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公

?

2

?

式;

7、已知数列 ?an ? 中, a1 ?

1 1 n ?1 5 , an ?1 ? an ? ( ) ,求 an 。 2 2 6

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