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函数的极值与导数习题


[学业水平训练] 1.下列四个函数中,能在 x=0 处取得极值的函数是( ) 3 2 x ①y=x ②y=x +1 ③y=|x| ④y=2 A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 解析:选 B.①④为单调函数,不存在极值. 2.已知函数 y=x-ln(1+x2),则函数 y 的极值情况是( ) A.有极小值 B.有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.无极值 ?x-1?2 1 2x 2 解析:选 D.∵y′=1- ( x + 1) ′ = 1 - = , 1+x2 x2+1 x2+1 令 y′=0,得 x=1,当 x>1 时,y′>0, 当 x<1 时,y′>0, ∴函数无极值. 3.(2014· 高考课标全国卷Ⅱ)函数 f(x)在 x=x0 处导数存在.若 p:f′(x0)=0;q:x=x0 是 f(x)的极值点,则( ) A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 解析:选 C.当 f′(x0)=0 时,x=x0 不一定是 f(x)的极值点, 比如,y=x3 在 x=0 时,f′(0)=0,但在 x=0 的左右两侧 f′(x)的符号相同,因而 x=0 不是 y=x3 的极值点. 由极值的定义知,x=x0 是 f(x)的极值点必有 f′(x0)=0. 综上知,p 是 q 的必要条件,但不是充分条件. 4.已知函数 f(x),x∈R 有唯一极值,且当 x=1 时,f(x)存在极小值,则( ) A.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 B.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 C.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 D.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 解析:选 C.f(x)在 x=1 时存在极小值,则当 x<1 时,f′(x)<0;当 x>1 时,f′(x) >0. 5.已知函数 f(x)=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值,则该函数的一个递增区间是 ( ) A.(2,3) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,3) 解析:选 B.因为函数 f(x)=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值,所以有 f′(2)=0,而 f′(x)=6x2+2ax+36,代入得 a=-15.现令 f′(x)>0,解得 x>3 或 x<2,所以函数的一个 增区间是(3,+∞). 6.函数 y=3x3-9x+5 的极大值为________. 解析:y′=9x2-9.令 y′=0,得 x=± 1. 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表: x y′ (-∞,-1) + -1 0 (-1,1) - 1 0 (1,+∞) +

y

单调 递增↗

极大 值

单调 递减↘

极 小 值

单调 递增↗

从上表可以看出,当 x=-1 时,函数 y 有极大值 3×(-1)3-9×(-1)+5=11. 答案:11 7 .已知函数 f(x) = ax3 + bx2 + c ,其导数 f′(x) 的图象如图所示,则函数的极小值是 ________.

解析:由图象可知,当 x<0 时,f′(x)<0, 当 0<x<2 时,f′(x)>0, 故 x=0 时函数 f(x)取极小值 f(0)=C. 答案:c 2 8.已知 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=1 与 x=- 时都取得极值,则 a=________,b= 3 ________. 解析:∵f′(x)=3x2+2ax+b, 2 令 f′(x)=0,由题设知 x1=1 与 x2=- 为 f′(x)=0 的解. 3 2 2 - a=1- 3 3 ∴ , b 2 =1×?- ? 3 3

? ? ?

1 ? ?a=-2 ∴? . ? ?b=-2 1 答案:- -2 2 9.求下列函数的极值: ln x - (1)f(x)=x2e x;(2)f(x)= . x 解:(1)函数的定义域为 R. - - - f′(x)=2xe x-x2e x=x(2-x)e x. 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表: x 0 (0,2) 2 (-∞,0) 0 0 f′(x) - + - f(x) 0 ↘ ↗ 4e 2 由上表可以看出,当 x=0 时,函数有极小值,且 f(0)=0. 4 当 x=2 时,函数有极大值,且 f(2)= 2. e ln x (2)函数 f(x)= 的定义域为(0,+∞), x 1-ln x 1-ln x f′(x)= .令 f′(x)=0,即 =0,得 x=e. x2 x2

(2,+∞) - ↘

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表: X e (0,e) (e,+∞) 0 f′(x) + - 1 f(x) ↗ ↘ e 1 由表可知,当 x=e 时,函数的极大值是 . e 10.已知函数 y=ax3+bx2,当 x=1 时,有极大值 3. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值. 解:(1)y′=3ax2+2bx, 由题意,得当 x=1 时, y′|x=1=3a+2b=0,y|x=1=a+b=3, ? ?3a+2b=0, 即? ?a+b=3, ? 解得 a=-6,b=9. (2)由(1)知 y=-6x3+9x2, 则 y′=-18x2+18x. 令 y′=0,得 x=0 或 x=1, 经检验知 x=0 是函数的极小值点, 故 y 极小值=y|x=0=0. [高考水平训练] 1.若函数 y=x3-3ax+a 在(1,2)内有极小值,则实数 a 的取值范围是( ) A.1<a<2 B.1<a<4 C.2<a<4 D.a>4 或 a<1 解析:选 B.y′=3x2-3a.当 a≤0 时,f′(x)≥0,函数 y=x3-3ax+a 为单调函数,不 合题意,舍去; 当 a>0 时,y′=3x2-3a=0? x=± a,不难分析当 1< a<2,即 1<a<4 时,函数 y=x3-3ax+a 在(1,2)内有极小值. 2.(2014· 绵阳高二检测)函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下面四个判断.

①f(x)在区间[-2,-1]上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在区间[-1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数; ④x=3 是 f(x)的极小值点. 其中,所有正确判断的序号是________. 解析: 由题中函数 y=f(x)的导函数的图象可知: f(x)在区间[-2, -1]上是减函数, 在[- 1,2]上为增函数, 在[2,4]上为减函数. f(x)在 x=-1 处取得极小值, 在 x=2 处取得极大值. 故 ②③正确. 答案:②③ 3.已知函数 y=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,且其图象在 x=1 处的切线与直线 6x+2y+5=0 平行. (1)求函数的单调区间; (2)求函数的极大值与极小值的差. 解:y′=3x2+6ax+3b. ∵x=2 是函数的极值点, ∴12+12a+3b=0, 即 4+4a+b=0,①

又图象在 x=1 处的切线与直线 6x+2y+5=0 平行, ∴y′|x=1=3+6a+3b=-3,即 2a+b+2=0.② 由①②解得 a=-1,b=0, 此时 y′=3x2-6x=3x(x-2). (1)令 y′>0,得 3x(x-2)>0, 解得 x<0 或 x>2, 令 y′<0,得 3x(x-2)<0, 解得 0<x<2, ∴函数的单调减区间为(0,2),单调增区间为(-∞,0),(2,+∞). (2)由(1)可以断定 x=0 是极大值点,x=2 是极小值点,又 y=f(x)=x3-3x2+c, ∴y 极大值-y 极小值=f(0)-f(2)=c-(8-12+c)=4. 4.设 a 为实数,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点? 解:(1)f′(x)=3x2-2x-1. 1 令 f′(x)=0,则 x=- 或 x=1. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 1 (-∞, - ) 3 + ↗ - 0 极大值 1 3 1 (- ,1) 3 - ↘ 1 0 极小值 (1,+∞) + ↗

1 5 所以 f(x)的极大值是 f(- )= +a, 3 27 极小值是 f(1)=a-1. (2)函数 f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1, 由此可知,x 取足够大的正数时, 有 f(x)>0,x 取足够小的负数时,有 f(x)<0, 曲线 y=f(x)与 x 轴至少有一个交点. 1 5 由(1)知 f(x)极大值=f(- )= +a, 3 27 f(x)极小值=f(1)=a-1. ∵曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点, ∴f(x)极大值<0 或 f(x)极小值>0, 5 即 +a<0 或 a-1>0, 27 5 ∴a<- 或 a>1, 27 5 ∴当 a∈(-∞,- )∪(1,+∞)时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点. 27


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