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2010年重点中学自主招生数学模拟试题一


2010 年重点中学自主招生数学模拟试题一
答题时注意: 答题时注意 1、试卷满分 150 分;考试时间:120 分钟 考试时间: 分钟. 、 考试时间 2、试卷共三大题,计 16道题。考试结束后,将本卷及演算的草稿纸一并上交。 、试卷共三大题, 6道题。考试结束后,将本卷及演算的草稿纸一并上交。

选择题( 小题, 一、选择题(共 5 小题,每题 6 分,共 30 分.以下每小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个 选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、 选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多 填或错填均不得分) 填或错填均不得分) 2 2 1、如果关于 x 的方程 x ? ax + a ? 3 = 0 至少有一个正根,则实数 a 的取值范围是( ) A、 ? 2 < a < 2 B、 3 < a ≤ 2 C、 ? 3 < a ≤ 2 D、 ? 3 ≤ a ≤ 2 2、如图,已知:点 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 的中点, BD、DF 分别交 CE 于点 G、H ,若正方形 ABCD 的面积是 240,则四边形 BFHG 的面积等于……………………( )
A 、 26
A E

B 、 28
B

C 、 24

D

D、30

G F H

B C A

E
D C

第2题
3

第4题
6 3

第8题
3 6 3 3 x ( y ? x) + 6 x (z ? x) = 6 y ? x ? x ? z ,

3 、 x、y、z 是两两不等的实数, 设 且满足下列等式:

则代数式 x3 + y + z 3 ? 3 xyz 的值是………………… ( ) A、0 B、1 C、3 D、条件不足,无法计算 4、 如图, 四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的⊙ A , 已知:BC = 10, cos ∠BCD = 则线段 DE 的长是………………… ( )

3 , ∠BCE = 30° , 5

A、 89 B、7 3 C、4+3 3 D、3+4 3 5、某学校共有 3125 名学生,一次活动中全体学生被排成一个 n 排的等腰梯形阵,且这 n 排学生数按 每排都比前一排多一人的规律排列,则当 n 取到最大值时,排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总 人数是………………… ( ) A、296 B、221 C、225 D、641 6 、 已 知 : 实 常 数 a、b、c、d 同 时 满 足 下 列 两 个 等 式 : ⑴ a sin θ + b cos θ ? c = 0 ; ⑵ a cos θ ? b sin θ + d = 0(其中 θ 为任意锐角) 则 a、b、c、d 之间的关系式是: , 。 7、函数 y = x ? 1 + 2 x ? 2 + 3 x ? 3 + 4 x ? 4 的最小值是 。 8、已知一个三角形的周长和面积分别是 84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动 一周后回到原来的位置(如图) ,则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积 是 。 9、已知: x =

(共 小题, 二、填空题: 共 5 小题,每题 6 分,共 30 分) 填空题: (

3 5+ 2

,则 2 可用含 x 的 有理系数三次多项式来表示为: 2 =



10、设p、q、r 为素数,则方程 p 3 = p 2 + q 2 + r 2 的所有可能的解p、q、r组成的三元数组( p, q, r )是

三、解答题(共 6 题,共 90 分) 解答题(
11、 本题满分 12 分) 、 (本题满分 ( 赵岩,徐婷婷,韩磊不但是同班同学,而且是非常要好的朋友,三个人的学习成绩不相伯仲,且在整 个年级中都遥遥领先,高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学.后来三个人应母校邀请 给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题:有一种密码把英文按字母分解,英文中的 a,b,c, ,z 26 个字母(不论大小写)依次用1, 3, , 这 26 个自然数表示,并给出如下一个 LL 2,L 26

? x ? [ ] + 1(其中x是不超过26的正奇数) ;已知对于任意的实数 x ,记号[ x ]表示 变换公式: y = ? 2 x +1 ?[ ] + 13(其中x是不超过26的正偶数) ? 2 8 +1 不超过 x 的最大整数;将英文字母转化成密码,如 8 → [ ] + 13 = 17 , 即 h变成q , 再 如 2 11 11 → [ ] + 1 = 6 ,即 k变成f 。他们给出下列一组密码: etwcvcjw ej ncjw 2 wcabqcv ,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来,并简单地写出翻译过
程。

12、 本题满分 15 分) ( 如果有理数 m 可以表示成 2 x 2 ? 6 xy + 5 y 2 (其中 x、y 是任意有理数)的形式,我们就称 m 为“世博 数” 。 ⑴ 个“世博数” a、b 之积也是“世博数”吗?为什么? ⑵ 证明:两个“世博数” a、b ( b ≠ 0 )之商也是“世博数” 。

13、 本题满分 15 分) 、 (本题满分 ( 如图,在四边形 ABCD 中,已知△ ABC 、△ BCD 、△ ACD 的面积之比是 3∶1∶4,点 E 在边 AD 上, CE 交 BD 于 G ,设

BG DE = = k 。⑴求 3 7k 2 + 20 的值; GD EA

⑵若点 H 分线段 BE 成

BH = 2 的两段,且 AH 2 + BH 2 + DH 2 = p 2 ,试用含 p 的代数式表示△ HE

ABD 三边长的平方和。

A

H B C
14、 本题满分 16 分) (

E

G D

观察下列各个等式: 12 = 1,12 + 2 2 = 5,12 + 2 2 + 3 2 = 14,12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 30,LLL 。 ⑴你能从中推导出计算 1 + 2 + 3 + 4 + L + n 的公式吗?请写出你的推导过程; ⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题:
2 2 2 2 2

已知:如图,抛物线 y = ? x 2 + 2 x + 3 与 x 、 y 轴的正半轴分别交于点 A、B ,将线段 OA

n 等分,分点从左到右依次为 A1、A2、A3、A4、A5、A6、 、An ?1 ,分别过这 n ? 1 个点作 x 轴的垂线 L 依次交抛物线于点 B1、B 2、B3、B 4、B5、B6、 、B n ?1 ,设△ OBA1 、 L △ A1 B1 A2 、△ A2 B2 A3 、△ A3 B3 A4 、…、△ An ?1 Bn ?1 A 的面积依次为 S 1、S 2、S 3、S 4、 、Sn 。 L ①当 n = 2010 时,求 S1 + S 2 + S3 + S 4 + S5 + L + S 2010 的值; ②试探究:当 n 取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值?为什么?
y B B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7

Bn-1

O A1 A A3 A4 A5 A A7 A A 2 6 n-1

x

15、 本题满分 ( 16 分) 有如图所示的 五种塑料薄板 (厚度不计) :①两直角边分别为 3、4 的直角三角形 ABC ; ②腰长为 4、顶角为 36° 的等腰三角形 JKL ;

③腰长为 5、顶角为 120° 的等腰三角形 OMN ; ④两对角线和一边长都是 4 且另三边长相等的凸四边形 PQRS ; ⑤长为 4 且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形 WXYZ 。 它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外径分别为 2.4、2.7 的铁圆环。 我们规定:如果塑料板能穿过铁环内圈,则称为此板“可操作” ;否则,便称为“不可操作” 。 “可操作” “不可操作” ⑴证明:第④种塑料板“可操作” “可操作” ; ⑵求:从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。 “不可操作”
J A C M P S

N B K L

O

Q

R

W

Z

X

Y

16、 本题满分 16 分) ( 定义:和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。 如图所示,已知:⊙ I 是△ ABC 的 BC 边上的旁切圆, E、F 分别是切点, AD ⊥ IC 于点 D 。 ⑴试探究: D、E、F 三点是否同在一条直线上?证明你的结论。 ⑵设 AB = AC = 5, BC = 6, 如果△ DIE 和△ AEF 的面积之比等于 m ,

DE = n ,试作出分别以 EF

m n 、 为两根且二次项系数为 6 的一个一元二次方程。 n m

D

C I E

A B F


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