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2012版高考专题辅导与训练之综合评估训练(一)(数学理)人教A版·浙江专用

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温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看 比例,答案解析附后。

综合评估训练(一)
专题一、二 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2011· 浙江名校联考)设集合 M={x| (A)(-1,+∞) (C)(-1,2)
x ?1 1 ≤0},N={x| 2 x> }, M∩N=( 则 x?2 2

)

(B)[-1,2) (D)[-1,2]

2.(2011·温州模拟)(3+4i)·i(其中 i 为虚数单位)在复平面上对应的点位 于( ) (B)第二象限 (D)第四象限
?f ? x ? , x ? 0 ?g ? x ? , x ? 0 ?

(A)第一象限 (C)第三象限 3.已知函数 y= ? ? 的图象大致是(

是偶函数,f(x)=logax 的图象过点(2,1),则 y=g(x)对应

)

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4.下列说法中,正确的是(

)

(A)命题“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题是真命题 (B)命题“ ? x∈R,x2-x>0”的否定是: ? x∈R,x2-x≤0” “ (C)命题“p 或 q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 (D)已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 5.已知向量 a ? ?1, 2? , b ? ?1,1? ,且 a 与 a ? ?b 的夹角为锐角,则实数λ 的取值范围 是(
5 3

?

?

?

?

?

) (B)(- ,+∞) (D)(- ,0)
5 3 5 3

(A)(- ,0)∪(0,+∞) (C)[- ,0)∪(0,+∞)
5 3

6.(2011· 杭州模拟)执行如图所示的程序框图, 当输入 a=1,n=6 时,则输出的结果为( (A)32 (C)128 7.已知函数 f(x)= ? 数为( (A)1
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) (B)64 (D)256

? x ? 3, x ? 1 ?? x ? 2x ? 3, x ? 1
2

,则函数 F(x)=f(x)-3x 零点的个

) (B)2 (C)3 (D)4
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8.(2011·天津模拟)已知方程 x2+ax+2b=0(a∈R,b∈R),其一根在区间(0,1)内, 另一根在区间(1,2)内,则 z=(a+3)2+b2 的取值范围为( (A)(
2 ,) 2 2
4 (B)( , ) 1 2

)

(C)(1,2)

(D)(1,4)

9.为提高信息在传输中的抗干扰能力, 通常在原信息中按一定规则加入相关数据 组成传输信息,设定原信息为 a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为 h0a0a1a2h1, 其中 h0=a0 ? a1,h1=h0 ? a2, ? 运算规则为 0 ? 0=0,0 ? 1=1,1 ? 0=1,1 ? 1=0. 例如原信息为 111,则传输信息为 01111,传输信息在传输过程中受到干扰可能 导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( (A)11010 (B)01100 (C)10111 ) (D)00011

10.已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,导函数 f′(x)满足 f′(x)<f(x)对于 x ∈R 恒成立,则( )

(A)f(2)>e2f(0),f(2 012)>e2 012f(0) (B)f(2)<e2f(0),f(2 012)>e2 012f(0) (C)f(2)>e2f(0),f(2 012)<e2 012f(0) (D)f(2)<e2f(0),f(2 012)<e2 012f(0) 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填在题中的横线 上) 11.已知函数 f(x)= ?
?log3 x, x ? 0
x ?2 , x ? 0

,则 f(f( ))=_______.
? ? 2 2

1 9

12.(2011·杭州模拟)命题 P: ? x∈( ? , ),tan x>sin x 成立,则命题 ? P:_______. 13.(2011·金华模拟)已知向量 a,b,c 满足 a ? b ? 2c ? 0 ,且 a ? c, | 2, | 1,则 |? |? a c
? | =_______. | b

???

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1 2

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14.(2011·嘉兴模拟)已知复数 z ? ? ? a+b=_______.

3 2 i ,满足 az +bz+1=0(a,b 为实数),则 2

15.有下列各式:1 ? ? >1,1 ? ? ? ? > ,1 ? ? ? ? ? 此类不等式的一般形式为_______.

1 2

1 3

1 2

1 7

3 2

1 2

1 3

1 >2,? , 则按此规律可猜想 15

16.已知 x>0,y>0,且 ? ? 1 ,则 x+y 的最小值为_______. 17.已知定义在 R 上的函数 f(x),g(x)满足
f ?1? f ? ?1? 5 ? ? ,则 a=_______. g ?1? g ? ?1? 2 f ?x? ? a x ,且 f′(x)g(x)<f(x)g′(x), g ?x?

1 x

9 y

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 18.(14 分)已知函数 f ? x ? ?
1 e lnx . x

(1)求函数 f(x)在 x ? 处的切线方程; (2)设实数 a>0,求函数 F(x)=af(x)在[a,2a]上的最小值. 19.(14 分)(2011·温州模拟)已知定义在 R 上的偶函数 f(x),当 x≤0 时,f(x)=3e-x. (1)求 f(x)在点 P(1,f(1))处的切线方程; (2)求最大整数 m(m>1),使得存在实数 t,对任意的 x∈[1,m] ,都有 f(x+t)≤3ex. 20.(14 分)(2011·北京模拟)已知函数 f ? x ? ? (1 ? )e x (x>0),其中 e 为自然对数的底 数. (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的面积; (2)若函数 f(x)存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为 e5, 求 a 的值. 21.(15 分)(2011·厦门模拟)已知函数 f(x)=lnx-ax2+(a-2)x.
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a x

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(1)若 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)求函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值. 22.(15 分)已知函数 f(x)=lnx,g(x)= ax2+bx(a≠0). (1)若 a=-2 时,函数 h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数,求 b 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设函数φ (x)=e2x+bex,x∈[0,ln2] ,求函数φ(x)的最小值; (3)设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)的图象 C2 交于 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M、N,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切 线与 C2 在 N 处的切线平行?若存在, 求出 R 的横坐标; 若不存在, 请说明理由.
1 2

答案解析
1.【解析】选 C.M={x|
1 2 x ?1 ≤0}={x|-1≤x<2}, x?2

N={x| 2 x> }={x|x>-1},?M∩N={x|-1<x<2}. 2.【解析】选 B.≧(3+4i)〃i=3i-4,故其在复平面上对应的点为(-4,3),位于第 二象限. 3.【解析】选 B.由已知 y=g(x)的图象过点(-2,1)且在(-≦,0)上为减函数,结 合图象选 B. 4.【解析】选 B.逐个验证知 B 正确. 5.【解析】选 A.≧ a 与 a ? ?b 均不是零向量,且其夹角为锐角,? a?(a ? ?b) ? 0 , 即 5+3λ>0,? ? ? ? . 当 a 与 a ? ?b 共线时,可设 a ? ?b ? ma (m∈R), 即(1+λ,2+λ)=m(1,2),
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5 3

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?1 ? ? ? m ,解得λ=0, ?2 ? ? ? 2m

即当λ=0 时, a?(a ? ?b) ? 0 ,但 a 与 a ? ?b 共线,
0) ? ?λ≠0.故λ的取值范围为 (? , ? (0, ?) . 5 3

? ?

?

?

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?

6.【解析】选 B.由程序框图可知:k=2,a=2;k=3,a=4;k=4,a=8;k=5,a=16; k=6,a=32;k=7,a=64,此时满足 7=k>n=6,故输出 a=64. 7.【解析】选 B.在同一坐标系中作出函数 f(x)和 g(x)=3x 的图象,由图象知有 两个零点.

?f ? 0 ? ? 0 ?b ? 0 ? ? 2 8.【解析】选 B.由已知,令 f(x)=x +ax+2b,则 ?f ?1? ? 0 ,即:?a ? 2b ? 1 ? 0 ,作出其 ?a ? b ? 2 ? 0 ? ? ?f ? 2 ? ? 0

可行域如图阴影部分所示, 又 z=(a+3)2+b2 表示点(-3,0)到区域内点的距离 的平方, 由图知 zmin ? (
?3 ? 0 ? 2 1 )2 ? , 2 12 ? 12

zmax=[-3-(-1)]2=4, ? z ? ( , 4) . 9.【解析】选 C.对于选项中中间三个数 a0a1a2,根据新的运算规则计算 h0,h1,验 证其是否正确,经验证知对于 C 答案,a0=0,a1=1,a2=1,
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?h0=a0 ? a1=0 ? 1=1,但 h1=h0 ? a2=1 ? 1=0,与 C 中最后一个数不符,故选 C. 10.【解析】选 D.构造函数 F(x) ? 则 F?(x) ?
? f (x) , ex

f ?(x)ex ? f (x)e x (ex )2

f ?(x) ? f (x) ? 0, ex f (2) f (0) 2 ? 0 ,即 f(2)<e f(0), 2 e e

?函数 F(x)在(-≦, +≦)上是减函数, F(2)<F(0),即 则 同理可得 f(2 012)<e2 012f(0),故选 D. 11.【解析】由题知: f ( ) ? log 3 ? ?2 , 故 f (f ( )) ? f ? ?2 ? ? 2?2 ? . 答案:
1 4 1 9 1 4 1 9 1 9

12.【解析】全称命题的否定是特称命题.
? ? 2 2 ? ? 答案: ?x ? (? , ) ,使 tan x≤sin x 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 13.【解析】≧ a ? b ? 2c ? 0 ,? a ? b ? 2c .

故 ? P: ?x ? (? , ) ,使 tan x≤sin x 成立.

又 a ? c ,? a?c ? (b ? 2c)?c ? b?c ? 2c ? 0 , ? b?c ? 2 .
|? a 又 | (b ? 2c)2 ? b ? 4b?c ? 4c ? 2 , ? ? ? ?2 ?? ?2

?

?

??

?

? ?

??

?2

??

? b ?2 2. | | 答案: 2 2 14.【解析】≧ z ? ? ? ?az2+bz+1=( ? ?
1 2 1 2 3 1 3 i ,? z 2 ? ? ? i, 2 2 2

?

3 1 3 i )a+b( ? ? i )+1=0, 2 2 2

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? a b ?? 2 ? 2 ? 1 ? 0 ?a ? 1 ?? ,? ? .?a+b=2. ? ?b ? 1 ?? 3 a ? 3 b ? 0 ? 2 ? 2

答案:2
1 1 1 1 2 > , 2 2 3 2 2 ?1 2 1 1 1 1 3 1? ?? ? ? 1? ?? ? 3 > , 2 7 2 2 ?1 2 1 1 1 1 1 1 4 1 ? ? ??? ? 1 ? ? ??? 4 > , 2 3 15 2 3 2 ?1 2 1 1 1 n ?1 由此归纳得1 ? ? ??? n ?1 > . 2 3 2 ?1 2 1 1 1 n ?1 答案:1 ? ? ??? n ?1 > (n∈N*) 2 3 2 ?1 2

15.【解析】由题意可知 1 ? ? ? 1 ? ?

16.【解析】≧ ? ? 1 ,?x+y=(x+y)( ? )
? y 9x y 9x ? ? 10 ? 2 ? ? 10= 16, x y x y

1 x

9 y

1 x

9 y

? y ? 3x y 9x 当且仅当 ? ,即 ? 1 9 , ? x y ?x ? y ?1 ?

得: ?

?x ? 4 时取等号. ? y ? 12

答案:16 17.【解析】令 h ? x ? ? 则 h? ? x ? ?
f ?x? , g ?x?

f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ? ? 0, g2 ? x ?

故函数 h(x)为减函数,即 0<a<1. 由
f ?x? f ?1? f ? ?1? 5 1 5 ? ax , ? ? ,得 a ? ? , a 2 g ?x? g ?1? g ? ?1? 2
1 2 1 2

解得 a=2(舍去)或者 a= ,故 a= .
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答案:

1 2 lnx , x

18.【解析】(1)≧f(x)的定义域为(0,+≦), f ? x ? ?
? f ?(x) ?

1 ? lnx 1 ,? f ( ) ? ?e, 2 x e 1 令 k ? f ?( ) ? 2e2 , e 1 1 ?函数 f(x)在 x ? 处的切线方程为 y ? e ? 2e 2 (x ? ) ,即 y=2e2x-3e. e e

(2) F?(x) ? af ?(x) ?

a ?1 ? lnx ? , x2

令 F′(x)=0,得 x=e. ≧当 x∈(0,e)时,F′(x)>0,F(x)在(0,e)上为增函数, 当 x∈(e,+≦)时,F′(x)<0,F(x)在(e,+≦)上为减函数, ?F(x)在[a,2a]上的最小值 F(x)min=min{F(a),F(2a)}. ≧F(a)-F(2a)= ln , ?当 0<a≤2 时,F(a)-F(2a)≤0, F(x)min=F(a)=lna; 当 a>2 时,F(a)-F(2a)>0, F(x)min=F(2a)= ln2a . 19.【解析】(1)由 f(x)是定义在 R 上的偶函数,可得当 x>0 时,f(x)=3ex, ?f(x)= ?
?3e ? x , x ? 0 ? , x ?3e , x>0 ?
1 2 1 2 a 2

k=f′(1)=3e,切线方程为:y=3ex. (2)对任意的 x∈[1,m],都有 f(x+t)≤3ex, ?3e|x+t|≤3ex,即 e|x+t|≤ex, 方法一:≧ f(|1+t|)=e|1+t|≤e,|1+t|≤1, ?-2≤t≤0,
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1 3

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根据图象,令 g(x)=ex+t-ex,g′(x)=ex+t-e, 令 g′(x)=0,?x=1-t,?g(x)在(1-t,m]上递增,g(x)max=em+t-em≤0, ?t≤1+ln m-m 在 t∈[-2,0]上有解,?1+lnm-m≥-2,所以 m 的最大整数为 4. 方法二:e|x+t|≤ex 对任意的 x∈[1,m]恒成立, 即|x+t|≤1+ln x 对任意的 x∈[1,m]恒成立, ?-1-ln x≤x+t≤1+lnx,即
?x ? t ? 1 ? lnx 对任意的 x∈[1,m]恒成立, ? ?x ? t ? ?1 ? lnx

??

?t ? 1 ? ln x ? x 对任意的 x∈[1,m]恒成立, ?t ? ?1 ? ln x ? x ?t ? 1 ? ln m ? m ?t ? ?2

??

?1+ln m-m≥-2,所以 m 的最大整数为 4. 20.【解析】(1) f ?(x) ? 当 a=2 时, f ?(x) ?
f ?(1) ?

x 2 ? ax ? a x e , x2

x 2 ? 2x ? 2 x e , x2

1? 2 ? 2 1 ? e ? e ,f(1)=-e, 12

所以曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 y=ex-2e, 切线与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0),(0,-2e), 所以,所求面积为 ×2×|-2e|=2e. (2)因为函数 f(x)存在一个极大值点和一个极小值点, 所以,方程 x2-ax+a=0 在(0,+≦)内存在两个不相等的实根,
?? ? a 2 ? 4a ? 0 则? ,所以 a>4. ?a ? 0
1 2

设 x1,x2 为函数 f(x)的极大值点和极小值点,
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则 x1+x2=a,x1x2=a, 因为 f(x1)f(x2)=e5, 所以, 即
x1 ? a x1 x 2 ? a x 2 e ? e ? e5 , x1 x2

x1x 2 ? a ? x1 ? x 2 ? ? a 2 x1 ? x2 a ? a2 ? a2 a e ? e5 , e ? e5 ,ea ? e5 ,解得,a=5,此时 f(x)有两个 x1x 2 a

极值点, 所以 a=5. 21.【解析】(1)≧f(x)=lnx-ax2+(a-2)x, ?函数的定义域为(0,+≦). ? f ?(x) ? ? 2ax ? a ? 2 ?
? ? ? 2x ? 1?? ax ? 1? x

1 x

1 ? 2ax 2 ? ? a ? 2 ? x x

≧f(x)在 x=1 处取得极值, 即 f′(1)=-(2-1)(a+1)=0.?a=-1. 当 a=-1 时,在( ,1)内 f′(x)<0, 在(1,+≦)内 f′(x)>0. ?x=1 是函数 y=f(x)的极小值点.?a=-1. (2)≧a2<a,?0<a<1.
1 ? 2ax 2 ? ? a ? 2 ? x 1 f ?(x) ? ? 2ax ? a ? 2 ? x x
? ? ? 2x ? 1?? ax ? 1? x
1 2

≧x∈(0,+≦),?ax+1>0,

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1 1 2 2 1 ①当 0<a≤ 时,f(x)在[a2,a]上单调递增, 2

?f(x)在(0, )上单调递增;在( ,+≦)上单调递减,

?f(x)max=f(a)=lna-a3+a2-2a;
1 ? ?a ? 2 1 1 1 2 ②当 ? ,即 ? a ? 时,f(x)在(a2, )上单调递增,在( ,a)上单调递减, ? 2 2 2 2 ?a 2 ? 1 ? ? 2

? f (x)max ? f ( ) ? ?ln2 ? ? ③当 ? a 2 ,即
1 2

1 2

a 4

a ?2 a ? ? 1 ? ln2; 2 4

2 2 ? a< 时,f(x)在[a ,a]上单调递减, 1 2

?f(x)max=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2. 综上所述,当 0<a≤ 时,函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值是 lna-a3+a2-2a; 当 ?a? 当
1 2
a 2 时,函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值是 ? 1 ? ln2 ; 4 2 1 2

2 2 5 3 2 ? a< 时,函数 y=f(x)在[a ,a]上的最大值是 2lna-a +a -2a . 1 2

22.【解析】(1)依题意:h(x)=lnx+x2-bx, ≧h(x)在(0,+≦)上是增函数,
1 x 1 ≧x>0,则 ? 2x ? 2 2 , x

? h?(x) ? ? 2x ? b ? 0 对任意 x∈(0,+≦)恒成立,? b ? ? 2x .

1 x

?b 的取值范围为(-≦, 2 2 ]. (2)设 t=ex,y=φ(x),则函数化为 y=t2+bt,t∈[1,2], 即 y ? (t ? )2 ?
b 2 b2 ,t∈[1,2], 4

b 2 b 当 1< ? <2,即-4<b<-2 时, 2
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?当 ? ? 1 ,即-2≤b≤ 2 2 时, 函数 y 在 [1, 上为增函数, t=1 时, min=b+1, 2] 当 y

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当 t= ? 时, ymin ? ?
b 2

b 2

b2 ; 4

当 ? ≥2,即 b≤-4 时,函数 y 在[1,2]上为减函数,当 t=2 时,ymin=4+2b, 综上所述,
?4 ? 2b,?????????????b ? ?4 ? 2 ? b φ(x)min= ?? ,???????????????? 4 ? b ? ?2 . ? 4 ?b ? 1,???????????????? 2 ? b ? 2 2 ?

(3)设点 P、Q 的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),且 0<x1<x2,则点 M、N 的横坐标为
x? x1 ? x 2 , 2

C1 在 M 处的切线斜率为 k1 ?

a ? x1 ? x 2 ? 2 ?b. .C2 在点 N 处的切线斜率 k 2 ? 2 x1 ? x 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行, k1=k2,即 则
2 2 2 ? x 2 ? x1 ? a ? x 2 ? x1 ? ? ? b ? x 2 ? x1 ? 则 x1 ? x 2 2

a ? x1 ? x 2 ? 2 ? ? b. x1 ? x 2 2

a a ? ( x 2 2 ? bx 2 ) ? ( x12 ? bx1 ) ? g ? x 2 ? ? g ? x1 ? 2 2

g(x2)-g(x1)=f(x2)-f(x1)
? lnx 2 ? lnx1 ? ln x2 , x1
x2 ? 1) x1 ? . x2 1? x1 2(

? ln

x 2 2 ? x 2 ? x1 ? ? x1 x1 ? x 2

设u ?

2 ? u ? 1? x2 ,u>1. ? 1 ,则 lnu ? 1? u x1
2 ? u ? 1? ,u>1. 1? u



令 r ? u ? ? lnu ?

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? u ? 1? . 1 4 则 r? ? u ? ? ? ? 2 2 u ? u ? 1? u ? u ? 1?
2

≧u>1,?r′(u)>0, 所以 r(u)在(1,+≦)上单调递增, 故 r(u)>r(1)=0,则 lnu ?
2 ? u ? 1? ,这与①矛盾, u ?1

假设不成立,故不存在点 R,使 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行.

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