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上海教材高中数学知识点总结(最全)

目录 一、集合与常用逻辑 二、不等式 三、函数概念与性质 四、基本初等函数 五、函数图像与方程 六、三角函数 七、数 列 八、平面向量 九、复数与推理证明 十、直线与圆 十一、曲线方程 十二、矩阵、行列式、算法初步 十三、立体几何 十四、计数原理 十五、概率与统计

补集: CU A ? {x x ?U且x ? A} 3.集合关系 空集 ?

?A
x?B

子集 A ? B :任意 x ? A ?

A? B ? A ? A ? B
注:数形结合---文氏图、数轴 4.四种命题 原命题:若 p 则 q 否命题:若 ? p 则 ? q 原命题 ? 逆否命题 5.充分必要条件 p 是 q 的充分条件: P ? q p 是 q 的必要条件: P ? q p 是 q 的充要条件:p?q 6.复合命题的真值

A? B ? B ? A ? B

逆命题:若 q 则 p 逆否命题:若 ? q 则 ? p 否命题 ? 逆命题

一、集合与常用逻辑
1.集合概念 2.集合运算 元素:互异性、无序性 全集 U:如 U=R

①q 真(假)?“ ? q ”假(真) ②p、q 同真?“p∧q”真 ③p、q 都假?“p∨q”假

交集: A ? B ? {x x ? A且x ? B} 并集: A ? B ? {x x ? A或x ? B}

7.全称命题、存在性命题的否定 ??M, p(x)否定为: ??M, ?p ( X ) ??M, p(x)否定为: ??M, ?p ( X )

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求最值条件是“一正二定三相等”

二、不等式
1.一元二次不等式解法
2 若 a ? 0 , ax ? bx ? c ? 0 有两实根 ? , ? (? ? ? ) ,则

三、函数概念与性质
1.奇偶性 f(x)偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? f(x)图象关于 y 轴对称 f(x)奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ? f(x)图象关于原点对称 注:①f(x)有奇偶性 ? 定义域关于原点对称 ②f(x)奇函数,在 x=0 有定义 ? f(0)=0 ③“奇+奇=奇” (公共定义域内) 2.单调性 f(x)增函数:x1<x2 ? f(x1)<f(x2) 或 x1>x2 ? f(x1) >f(x2) 或

ax2 ? bx ? c ? 0 解集 (? , ? ) ax ? bx ? c ? 0 解集 (??, ? ) ? (? ,??)
2

注:若 a ? 0 ,转化为 a ? 0 情况 2.其它不等式解法—转化

x ? a ? ?a ? x ? a ? x 2 ? a 2

x ? a ? x ? a 或 x ? ?a ? x 2 ? a 2
f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 g ( x)

a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ( a ? 1)
? ? f ( x) ? 0 ( 0 ? a ? 1) loga f ( x) ? loga g ( x) ? ? ? ? f ( x) ? g( x)
3.基本不等式 ① a ? b ? 2ab
2 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

f(x)减函数:?

注:①判断单调性必须考虑定义域 ②f(x)单调性判断 定义法、图象法、性质法“增+增=增”

②若 a, b ? R ,则

?

a?b 2 ) 注:用均值不等式 a ? b ? 2 ab 、 ab ? ( 2

a?b ? ab 2

③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3.周期性
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T 是 f ( x) 周期 ? f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立(常数 T ? 0 )

4.二次函数 解析式: f(x)=ax +bx+c,f(x)=a(x-h) +k f(x)=a(x-x1)(x-x2) 对称轴: x ?
2 2

loga MN ? loga M ? loga N M log a ? log a M ? log a N N loga M n ? n loga M logm b lg b loga b ? ? logm a lg a 1 n log n b ? ab?lo g a log b a
注:性质 loga 1 ? 0

loga a ? 1

a loga N ? N

?b 2a

顶点: ( ?

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

常用对数 lg N ? log10 N , lg 2 ? lg 5 ? 1 自然对数 ln N ? loge N , ln e ? 1 3.指数与对数函数 y=a 与 y=logax
x

单调性:a>0, ( ?? , ? 当x ?

b b ,?? ) 递增 ] 递减, [ ? 2a 2a

?b 4ac ? b 2 ,f(x)min ? 2a 4a
2

奇偶性:f(x)=ax +bx+c 是偶函数 ? b=0 闭区间上最值: 配方法、图象法、讨论法--注意对称轴与区间的位置关系 注:一次函数 f(x)=ax+b 奇函数 ? b=0 定义域、值域、过定点、单调性? 注:y=a 与 y=logax 图象关于 y=x 对称(互为反函数) 4.幂函数
x

四、基本初等函数
1.指数式
2.对数式

y ? x 2 , y ? x3 , y ? x 2 , y ? x ?1

1

y ? x? 在第一象限图象如下:

a 0 ? 1 (a ? 0) a ? n ?

1 a m ? m an an
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n

loga N ? b ? a b ? N (a>0,a≠1)

y ? f ( x) ? y ? f (| x |) 保留 y 轴右边部分,
并将右边部分沿 y 轴翻折到左边
y

五、函数图像与方程
1.描点法 函数化简→定义域→讨论性质(奇偶、单调) 取特殊点如零点、最值点等 2.图象变换 平移: “左加右减,上正下负”
3.零点定理
a

y=f(x)

y

y=f(|x|)

o

b

c

x

a

o

b

c

x

若 f (a) f (b) ? 0 ,则 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内有零点 (条件: 注:①

f ( x) 在 [a, b] 上图象连续不间断)

y ? f ( x) ? y ? f ( x ? h)
?? y ? f ( 伸缩: y ? f ( x) ?? ? ? ? ? ? ?
对称: “对称谁,谁不变,对称原点都要变”
x轴 y ? f ( x) ??? y ? ? f ( x)
每一点的横坐标变为原 来的 ?倍

f ( x) 零点: f ( x) ? 0 的实根
则 f ( x) 在 ( a, b) 上有且仅有一个零点

1

?

x)

②在 [ a, b] 上连续的单调函数 f ( x) , f (a) f (b) ? 0 ③二分法判断函数零点--- f (a) f (b) ? 0 ?

六、三角函数
1.概念 第二象限角 ( 2k? ?

y ? f ( x) ??? y ? f (? x)
y轴

y ? f ( x) ?原点 ? ?? y ? ? f (? x)
注: y ? f ( x)
直线 x ? a

?
2

,2k? ? ? ) ( k ? Z )
2.弧

?

y ? f (2a ? x)

? ?1

0?? ?1

? ?0



翻折: y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | 保留 x 轴上方部分, 并将下方部分沿 x 轴翻折到上方
y

l ? ? ?r
y=|f(x)|

y=f(x)

y

扇 形 面 积

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

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S?

1 lr 2

sinx

cosx [-1,1] 偶函数 2π

tanx 无 奇函数 π 无

3.定义

y sin ? ? r

x cos ? ? r

y tan ? ? x

值域 奇偶 周期 对称轴 中心 2π

[-1,1] 奇函数

其中 P ( x, y ) 是 ? 终边上一点, PO ? r 4.符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5.诱导公式: “奇变偶不变,符号看象限” 如 Sin(2? ? ? ) ? ? sin ? , cos(? / 2 ? ? ) ? ? sin ? 6.特殊角的三角函数值

x ? k? ? ? / 2

x ? k?

?k? ,0?
2 tan ? 1 ? tan 2 ?

?? / 2 ? k? ,0?

?k? / 2,0?

?
sin ? cos ? tg ? 7.基本公式

0

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2
1

? 3
3 2
1 2

? 2
1

?

3? 2
?1

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
tan 2? ?

0

0

1

3 2 3 3

0

?1

y=sinx 0

y=cosx

y=tanx

0

3

/

0

/

图 象

同角 sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? tan ? cos ?
降幂 cos α =
2

和差 sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
tan? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ?

1 ? cos 2? 2

sin α =

2

1 ? cos 2? 2

叠加 sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ?

?
4

)

倍角 sin 2? ? 2 sin ? cos ?
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3 sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) 6 a a sin ? ? b cos? ? a2 ? b2 sin(? ? ? ) (tan ? ? ) b
8.三角函数的图象性质 单调性: 1、等差数列

?

a2>b2+c2 ? ∠A>

? 2

七、数 列
? ? (? , ) 增 2 2
定义: a n ?1 ? a n ? d 通项: a n ? a1 ? (n ? 1)d 求和: S n ? 中项: b ?

? ? (? , ) 增 2 2

(0, ? ) 减

注: k ? Z

n(a1 ? a n ) 1 ? na1 ? n(n ? 1)d 2 2

a?c ( a, b, c 成等差) 2

9.解三角形 基本关系:sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC

性质:若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq 2、等比数列 定义:
a n ?1 ? q ( q ? 0) an

A? B C sin ? cos 2 2

a b c 正弦定理: = = sin A sin B sin C

通项: an ? a1qn ?1

a ? 2 R sin A

a:b:c ? s i n A:s i n B:s i n C

余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA(求边)

? na1 (q ? 1) ? n 求和: S n ? ? a1 (1 ? q ) (q ? 1) ? ? 1? q
中项: b ? ac ( a, b, c 成等比)
2

b2 ? c2 ? a2 cosA= (求角) 2bc

性质:若 m ? n ? p ? q

则 am ? an ? a p ? aq

面积公式:S△=

1 absinC 2

3、数列通项与前 n 项和的关系

注: ?ABC 中,A+B+C=?

A ? B ? sin A ? sin B

?s1 ? a1 (n ? 1) an ? ? ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

4、数列求和常用方法
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公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法

九、复数与推理证明
1.复数概念 复数: z ? a ? bi (a,b ? R) ,实部 a、虚部 b 分类:实数( b ? 0 ) ,虚数( b ? 0 ) ,复数集 C 注: z 是纯虚数 ? a ? 0 , b ? 0 相等:实、虚部分别相等 共轭: z ? a ? bi 模: z ?

八、平面向量
1.向量加减 三角形法则,平行四边形法则

AB ? BC ?

AC 首尾相接, OB ? OC = CB 共始点
a ? b ? cos? x x ? y y 1 2 = 1 2
0

中点公式: AB ? AC ? 2 AD ? D 是 BC 中点 2. 向量数量积

a?b=
0

a2 ? b2

z?z ? z

2

注:① a , b 夹角:0 ≤θ ≤180 ② a, b 同向: a ? b ? a ? b

复平面:复数 z 对应的点 ( a, b) 2.复数运算 加减: (a+bi)±(c+di)=? 乘法: (a+bi) (c+di)=? 除法:

? ? ? ? ? 3.基本定理 a ? ?1e1 ? ?2 e2 ( e1 , e2 不共线--基底)
平行: a // b ? a ? ? b ? x1 y 2 ? x2 y1 ( b ? 0 ) 垂直: a?b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 模: a =

a ? bi (a ? bi)(c ? di) = ==… c ? di (c ? di)(c ? di)
2

?

x2 ? y2

a ? b ? (a ? b)2 ? ?

2

夹角: cos ? ?

a ?b | a || b |

注:① 0 ∥ a

?

② a ? b ? c ? a ? b ? c (结合律)不成立

? ? ? ?

③ a ? b ? a ? c ? b ? c (消去律)不成立

?i 乘方: i ? ?1 , i ? i 3.合情推理 类比:特殊推出特殊 归纳:特殊推出一般 演绎:一般导出特殊(大前题→小前题→结论) 4.直接与间接证明 综合法:由因导果 比较法:作差—变形—判断—结论 反证法:反设—推理—矛盾—结论 分析法:执果索因
n r

4k ?r

分析法书写格式:
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要证 A 为真,只要证 B 为真,即证……, 这只要证 C 为真,而已知 C 为真,故 A 必为真 注:常用分析法探索证明途径,综合法写证明过程 5.数学归纳法: (1) 验证 当 n=1 时命题成立 , (2) 假设 当 n=k(k ? N* , k ? 1) 时命题成立 , 证 明 当 n=k+1 时命题也成立 由 (1)(2) 知这命题对所有正整数 n 都成立 注:用数学归纳法证题时,两步缺一不可,归纳假设必须使用

平行 ? k1 ? k2 且 b1 ? b2 垂直 ? k1k2 ? ?1 4、距离公式
2 2 两点间距离:|AB|= ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )

垂直 ? A 1 A2 ? B 1B2 ? 0

A2 ? B 2 2 2 2 5、圆标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

点到直线距离: d ?

Ax0 ? By0 ? C
圆心 ( a , b ) ,半径 r

十、直线与圆
1、倾斜角 范围 ?0, ? ?

圆一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 (条件是?) 圆心 ? ?

? D E? , ? ? 半径 r ? 2? ? 2

D2 ? E 2 ? 4F 2

斜率

k ? tan ? ?

y2 ? y1 x2 ? x1

6、直线与圆位置关系 注: 点 与 圆 位 置 关系 ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) ? r ? 点 P ? x0 , y0 ? 在圆外
2 2 2

注:直线向上方向与 x 轴正方向所成的最小正角 倾斜角为 90 ? 时,斜率不存在 2、直线方程 点斜式 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,斜截式 y ? kx ? b 两点式

位置关系 几何特征

相切

相交

相离

d ?r
△? 0

d?r
△? 0

d ?r
△? 0

代数特征

y ? y1 x ? x1 ? , y 2 ? y1 x2 ? x1

截距式

x y ? ?1 a b

一般式 Ax ? By ? C ? 0 注意适用范围:①不含直线 x ? x0 ②不含垂直 x 轴的直线 ③不含垂直坐标轴和过原点的直线 3、位置关系(注意条件)

7、直线截圆所得弦长

AB ? 2 r 2 ? d 2
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注:双曲线

x2 y2 b ? 2 ? 1 渐近线 y ? ? x 2 a a b
2 2

十一、圆锥曲线
一、定义 椭圆: |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 双曲线:|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|) 抛物线:与定点和定直线距离相等的点轨迹 二、标准方程与几何性质(如焦点在 x 轴) 椭圆

方程 mx ? ny ? 1 表示椭圆 ? m ? 0, n ? 0.m ? n
2 2 方程 mx ? ny ? 1 表示双曲线 ? mn ? 0

抛物线 y =2px(p>0) 顶点(原点) 开口(向右) 焦点 F ( 对称轴(x 轴) 范围 x?0 准线 x ? ? 离心率 e=1

2

p ,0 ) 2

p 2

x2 y2 ? ? 1 ( a>b>0) a2 b2
x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

十二、矩阵、行列式、算法初步
1. 矩阵是记录和管理批量数据的一种方法从具体问题人手, 通过构造矩阵, 利用矩阵的运算 解决问题.由 m ? n 个数排成的 m 行 n 列的矩形表

双曲线

中心原点 对称轴? 焦点 F1(c,0)、F2(-c,0) 顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b),双曲线(±a,0) 范围: 椭圆-a?x?a,-b?y?b 双曲线|x| ? a,y?R 焦距:椭圆 2c(c= a 2 ? b 2 ) 双曲线 2c(c= a 2 ? b 2 ) 2a、2b:椭圆长轴、短轴长, 双曲线实轴、虚轴长 离心率:e=c/a 椭圆 0<e<1,双曲线 e>1

... a1n ? ? ... a2 n ? 称为一个 m 行 n 列的矩阵,简称 m ? n 矩阵,用 Am?n 表示,简 ... ... ? ? ... amn ? ? 记为 A ? (aij ) m?n 或 A ? (aij )(i ? 1,2,...m; j ? 1,2,...n) ,数 aij 称为矩阵 A 的元素。 a12 a22 ... am 2
矩阵的一行叫做矩阵的行向量,如 (1, ?2) ;一列叫做矩阵的列向量,如 ? 矩阵相等:若 Am?n

? a11 ? ? a21 ? ... ? ?a ? m1

?1 ? ?. ? 3?

? (aij ) 、 Bm?n ? (bij ) 是两个行数与行数相等,列数与列数相等

的矩阵,当且仅当它们对应位置的元素都相等时,即

aij ? bij (i ? 1, 2,L , m; j ? 1, 2,L , n) ,称两矩阵相等,记作 A ? B .即
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A ? B ? aij ? bij
方阵:行数与列数相等的矩阵称为方矩阵,简称方阵. 单位矩阵: 主对角线元素为 1, 其余元素均为 0 的矩阵叫做 n 阶方阵, 称为 n 阶单位阵. 如

3. 矩阵的运算 (1)矩阵的加(减)法: 设矩阵

A ? (aij ) m?n , B ? (bij ) m?n ,

?1 0? ? ?. ?0 1?
行矩阵:行数为 1 的矩阵. 列矩阵:列数为 1 的矩阵. 零矩阵:元素全为零的矩阵. 2. 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵

? a11 ? b11 ? ? a 21 ? b21 则 A ? B ? ( a ij ? bij ) ? ? ... ? ?a ? b m1 ? m1 ? a11 ? b11 ? ? a ? b21 A ? B ? (aij ? bij ) ? ? 21 ... ? ?a ? b m1 ? m1
和 B 的和与差; (2)矩阵的数乘: 设矩阵 A ? (aij )m?n , k 为实数,

a12 ? b12 a 22 ? b22 ... a m 2 ? bm 2 a12 ? b12 a 22 ? b22 ... a m 2 ? bm 2

a1n ? b1n ? ? ... a 2 n ? b2 n ? , ... ... ? ? ... a mn ? bmn ? ? ... a1n ? b1n ? ? ... a 2 n ? b2 n ? ,分别称为矩阵 A ... ... ? ? ... a mn ? bmn ? ? ...

? a11 x1 ? a12 x 2 ? ... ? a1n x n ? b1 ? a x ? a x ? ... ? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组: ? ... ? ? ?a m1 x1 ? a m 2 x 2 ? ... ? a mn x n ? bm ? a11 ? ? a 21 则矩阵 A ? ? ... ? ?a ? m1 ? a11 ? ? a 21 则矩阵 A = ? ... ? ?a ? m1 a12 a 22 ... am2 a12 a 22 ... am2



... a1n ? ? ... a 2 n ? 称为线性方程组的系数矩阵; ... ... ? ? ... a mn ? ? ... a1n b1 ? ? ... a 2 n b2 ? 称为线性方程组的增广矩阵; ... ... ... ? ? ... a mn bm ? ?

? ka11 ? ? ka21 则 kA ? ( kaij ) ? ? ... ? ? ka ? m1
(3)矩阵的乘法: 设 矩 阵

ka12 ka22 ... kam 2

... ka1n ? ? ? ... ka2 n ? ? ,称为数 k 与矩阵 A 的乘积矩阵; ... ... ? ? ? ... kamn ? ?

A ? ?aik ?m?s , B ? ?bkj ?s?n , C ? ?cij ?m?n
s



其中

?ai1

ai 2

? a1 j ? ? ? ? a2 j ? 分别称为系数矩阵的行向量和列向量; ... ain ? , ? ... ? ? ? ? am j? ? ?

cij ? ai1b1 j ? ai 2 b2 j ? ai 3b3 j ? ... ? ais bsj ? ? aik bkj ,则称矩阵 C
k ?1

为矩阵

A和B

的乘积,记作 C

? AB ;
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2.行列式的概念

二阶行列式定义:

a b a1 b1 ? a1b2 ? a2b1 ; 1 1 a2 b2 a2 b2

叫做二阶行列式, a1b2

? a2b1 叫做
2°按一行(或一列)展开

行列式

a1

b1

a2 b2

的展开式, a1b2

? a2b1 的计算结果叫做行列式的值, a1 , a2 , b1 , b2 都叫做

可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或该列)元素与其对应的代数余子式的乘积

a1
之和.例如: 行 列 式 定 义 :

b1 b2 b3


c1 c2 c3
按第一列展开 ? a1 A 1 ? a2 A 2

行列式的元素; 三 阶

a2 a3

? a3 A3 ,其中 A1 ?

b2 b3

c2 c3



a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1

a1

b1 b2 b3

c1 c2 c3

c2 ? a1b2 c3 ? a2b3c1 ? a3b1c2 ? a3b2 c1 ? a2b1c3 ? a1b3c2 ; a2 a3 c3

A2 ? ?

b1

c1

b3 c3

A3 ?

b1 b2

c1 c2

,它们分别是元素 a1 , a2 , a3 的代数余子式. 】

叫做三阶行列式, a1b2c3 的展开式, ai , bi , ci (i

? a2b3c1 ? a3b1c2 ? a3b2c1 ? a2b1c3 ? a1b3c2 叫做三阶行列式

3. 二阶行列式与二元一次方程组

? 1,2,3) 都叫做三阶行列式的元素;

一般地,把三阶行列式中某个元素 aij 所在的行和列划去,将剩下的元素按原来的位置关系 组成的二阶行列式叫做该元素的余子式,在余子式前添上 (?1)
i? j

设二元一次方程组 ?

a1 b1 ?a1 x ? b1 y ? c1 ,它的系数行列式为 D ? a2 b2 ?a2 x ? b2 y ? c2
? a1 c1



叫做元素 aij 的代数余子

记 Dx

?

c1

b1

c2 b2

,Dy

a2 c2

, 即用常数项替换系数行列式中 x 的系数列或

y的

式,记作 Aij . 2. 三阶行列式的展开方法: 对角线法: 【三阶行列式的两种展开方法: 1°按对角线展开

系数列.

D ? x? x ? ? D 当 D ? 0 时,方程组有唯一解 ? ? y ? Dy ? ? D



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当 D ? Dx

? Dy ? 0 时,方程组有无穷多组解.

(i)D≠0,方程组( ? )有唯一解.(ii)D=0:① Dx、Dy 中至少有 一个不为零,方程组( ? )无解;② Dx ? Dy ? 0 ,方程组( ? )有无 穷多解。

当D

? 0 , Dx ? 0 或 Dy ? 0 时,方程组无解.

4. 三阶行列式与三元一次方程组

? a1 x ? b1 y ? c1 z ? d1 ? 设三元一次方程组 ? a2 x ? b2 y ? c2 z ? d 2 ,它的系数行列式为 ?a x ? b y ? c z ? d 3 3 3 ? 3 a1 b1 c1
D ? a2 a3
记 Dx

算法初步
1.算法的表述: 主要有三种表述方法: (1) 通常语言 (2) 程序框图 (3) 计算机程序 2.算法的思想方法:主要是将接替过程数值化、程序化、机械化的方

b2 b3

c2 c3



d1 ? d2 d3

b1 b2 b3

c1 c2 c3
, Dy

a1 ? a2 a3

d1 d2 d3

c1 c2 c3
, Dz

a1 ? a2 a3

b1 b2 b3

d1 d2 d3


法。 3.高考每年必考一道填空题,学生大部分能做对,难度不大。

即用常数项替换系数行列式中 x 、 当D

y 或 z 的系数列.


? 0 时,方程组有唯一解 x ?

D Dx D ,y ? y ,z ? z D D D

十三、立体几何
1.三视图 正视图、侧视图、俯视图
0

当D

? 0 , Dx , Dy , Dz 不全为零时,方程组无解.

2.直观图:斜二测画法 ?X 'O'Y ' =45
当 D ? Dx

? Dy ? Dz ? 0 时,方程组或者无解或者有无穷多组解.

平行 X 轴的线段,保平行和长度 平行 Y 轴的线段,保平行,长度变原来一半

注意: (1)经过往年高考试题分析代数余子式这个知识点常考, 一般是

3.体积与侧面积 V 柱=S 底 h V锥=

? a x ? b1 y ? c1 出在填空题; (2)二元一次方程组 ? 1 ( ? )的解的判别: ?a2 x ? b2 y ? c2

1 S 底h 3

V 球=

4 3 πR 3
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S 圆锥侧= ?rl 4.公理与推论

S 圆台侧= ? ( R ? r )l

S 球表= 4?R

2

面面垂直: a ? ? , a ? ? ? ? ? ? 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直; 若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线

确定一个平面的条件:

①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点 ③两相交直线 ④两平行直线

公理:平行于同一条直线的两条直线平行 定理:如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 5.两直线位置关系 相交、平行、异面 异面直线——不同在任何一个平面内 6.直线和平面位置关系

的直线与另一个平面垂直 三垂线定理:

P
O A

PO ? ? , AO ? a ? PA ? a PO ? ? , PA ? a ? AO ? a

?

a

a ??
7.平行的判定与性质 线面平行:

a

??A

a // ?

在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也 和这条斜线垂直逆定理? 9.空间角、距离的计算 异面直线所成的角 范围(0°,90°]

a ∥ b , b ? ?, a ? ? ? a ∥? a ∥ ? ,a ? ? , ? ? ? ? b ? a ∥ b
面面平行:

平移法:转化到一个三角形中,用余弦定理
? a b ?

直线和平面所成的角 范围[0°,90°] 定义法:找直线在平面内射影,转为解三角形 二面角 范围[0°,180°]

?

AB ∥ ? , AC ∥ ? ? 平面 ABC ∥

定义法:作出二面角的平面角,转为解三角形 点到平面的距离 体积法--用三棱锥体积公式 注:计算过程, “一作二证三求” ,都要写出 10.立体几何中的向量解法

? ∥ ? , a ?? ? a ∥ ?
8.垂直的判定与性质

线面垂直:

p ? AB, p ? AC ? p ? 面ABC

法向量求法:设平面 ABC 的法向量 n =(x,y)
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A

B

?

C

? ? n ? AB, n ? AC ? ? n ? AB ? 0, n ? AC ? 0
解方程组,得一个法向量 n 线线角:设 n1 , n2 是异面直线 l1 , l2 的方向向量,

则点 A 到平面 ? 的距离 d ?

AB ? n n

十四、计数原理
1. 计数原理 2.排列组合
m

l1 , l2 所成的角为 ? ,则 cos ? ? cos ? n1 , n2 ?
即 l1 , l2 所成的角等于 ? n1 , n2 ? 或 ? ? ? n1, n2 ? 线面角: 设 n 是平面 ? 的法向量, AB 是平面 ? 的 一条斜线, AB 与平面 ? 所成的角为 ? , 则 sin ? ? cos ? n, AB ??

加法分类,乘法分步 差异---排列有序 而组合无序 .. ..

公式 An = n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) =

n! (n ? m)! n! m n ( n ? 1) ? ( n ? m ? 1) Cn = = 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)!
m m ? m! ? Cn
n?m

关系: An

AB ? n AB ? n
的大 小为 ? , 则

性质: C n = Cn

m

1 Cn0 ? Cn ? Cn2 ? ?? Cnn ? 2n

3.排列组合应用题 原则:分类后分步,先选后排,先特殊后一般 解法:相邻问题“捆绑法” ,不相邻“插空法” 复杂问题“排除法” 4.二项式定理
1 n?1 (a ? b)n ? Cn0an ? Cn a b ? Cn2an?2b2 ? ?? Cnr an?r br ? ?? Cnnbn
1 特例 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x? r r ? Cn x ?

二 面 角 : 设 n1 , n2 是 面 ? , ? 的 法向量 , 二面 角 ? ? l ? ?

co s ? ? co s? n1 , n2 ? 或 ? cos ? n1 , n2 ?
即二面角大小等于 ? n1 , n2 ? 或 ? ? ? n1, n2 ? 点到面距离: 若 n 是平面 ? 的法向量, AB 是平面 ? 的一条斜线段,且 B ? ? ,

? xn

通项 Tr ?1 ? Cn a
r

n?r

1, 2?,n) b r (r ? 0,
n

r 注 Cn ---第 r ? 1 项二项式系数

性质:所有二项式系数和为 2

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中间项二项式系数最大 赋值法:取 x ? 0,1,?1 等代入二项式

方差 S 2 ?

1 n ? ( xi ? x) 标准差 s n i ?1
频率 =频率 组距

6.频率分布直方图

十五、概率与统计
1.古典概型: P ( A) ?

小长方形面积=组距×

m A包含的基本事件个数 ( ) n 总的基本事件个数

求基本事件个数:列举法、图表法

各小长方形面积之和为 1 众数—最高矩形中点的横坐标 中位数—垂直于 x 轴且平分直方图面积的直线与 x 轴交点的横坐标 茎叶图:由茎叶图可得到所有的数据信息如 众数、中位数、平均数等

A的区域长度(面积或体 积) 2.几何概型: P ? A? ? 区域总长度(面积或体 积)
注:试验出现的结果无限个 3.加法公式:若事件 A 和 B 互斥,则

P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B ?

P ? A? ? 1 ? P A

? ?

互斥事件:不可能同时发生的事件 对立事件:不同时发生,但必有一个发生的事件 4 .常用抽样 (不放回) 简单随机抽样:逐个抽取(个数少) 系统抽样:总体均分,按规则抽取(个数多) 分层抽样:总体分成几层,各层按比例抽取(总体差异明显) 5.用样本估计总体 众数:出现次数最多的数据 中位数:按从小到大,处在中间的一个数据(或中间两个数的平均数) 平均数: x ?

1 n ? xi n i ?1
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