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高考一轮复习:直线、平面平行的判定及其性质


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第4讲

直线、平面平行的判定及其性质

【2015 年高考会这样考】 1.考查空间直线与平面平行,面面平行的判定及其性质. 2.以解答题的形式考查线面的平行关系. 3.考查空间中平行关系的探索性问题. 【复习指导】 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质,会把空间问题转化为平面 问题,解答过程中叙述的步骤要完整,避免因条件书写不全而失分. 2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化, 牢记解决问题的根源在“定理”.

基础梳理 1.平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况. 2.直线和平面平行的判定 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; (2)判定定理:a?α,b?α,且 a∥b?a∥α; (3)其他判定方法:α∥β;a?α?a∥β. 3.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=l?a∥l. 4.两个平面平行的判定 (1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行; (2)判定定理:a?α,b?α,a∩b=M,a∥β,b∥β?α∥β; (3)推论:a∩b=M,a,b?α,a′∩b′=M′,a′,b′?β,a∥a′,b∥b′ ?α∥β. 5.两个平面平行的性质定理 (1)α∥β,a?α?a∥β; (2)α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?a∥b. 6.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α,b⊥α?a∥b; (2)a⊥α,a⊥β?α∥β.

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一个关系 平行问题的转化关系:

两个防范 (1)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. (2)把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相 交,则直线与交线平行. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)下面命题中正确的是( ).

①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行. A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④

解析 ①②中两个平面可以相交,③是两个平面平行的定义,④是两个平面平行 的判定定理. 答案 D 2.平面 α∥平面 β,a?α,b?β,则直线 a,b 的位置关系是( A.平行 C.异面 答案 D 3.(2012· 银川质检)在空间中,下列命题正确的是( A.若 a∥α,b∥a,则 b∥α B.若 a∥α,b∥α,a?β,b?β,则 β∥α C.若 α∥β,b∥α,则 b∥β D.若 α∥β,a?α,则 a∥β 解析 若 a∥α,b∥a,则 b∥α 或 b?α,故 A 错误;由面面平行的判定定理知, ). B.相交 D.平行或异面 ).

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B 错误;若 α∥β,b∥α,则 b∥β 或 b?β,故 C 错误. 答案 D 4.(2012· 温州模拟)已知 m、n 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,则 下列命题中正确的是( A.m∥n,m⊥α?n⊥α B.α∥β,m?α,n?β?m∥n C.m⊥α,m⊥n?n∥α D.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β 解析 选项 A 中,如图①,n∥m,m⊥α?n⊥α 一定成立,A 正确;选项 B 中, 如图②,α∥β,m?α,n?β?m 与 n 互为异面直线,∴B 不正确;选项 C 中, 如图③,m⊥α,m⊥n?n?α,∴C 不正确;选项 D 中,如图④,m?α,n?α, m∥β,n∥β?α 与 β 相交,∴D 不正确. ).

答案 A 5.(2012· 衡阳质检)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点,则 BD1 与平 面 ACE 的位置关系为________. 解析 如图.

连接 AC、BD 交于 O 点,连结 OE,因为 OE∥BD1,而 OE?平面 ACE,BD1? 平面 ACE,所以 BD1∥平面 ACE. 答案 平行

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考向一

直线与平面平行的判定与性质

【例 1】?(2011· 天津改编)如图,

在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,O 为 AC 的中点,M 为 PD 的 中点. 求证:PB∥平面 ACM. [审题视点] 连接 MO,证明 PB∥MO 即可. 证明 连接 BD,MO.在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中点.又 M 为 PD 的中点,所以 PB∥MO.因为 PB?平面 ACM,MO?平面 ACM,所以 PB∥平面 ACM. 利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判 断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四 边形的对边或过已知直线作一平面找其交线. 【训练 1】 如图,若

PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,E、F 分别是 AB、PD 的中点,求证: AF∥平面 PCE. 证明 取 PC 的中点 M,连接 ME、MF, 1 则 FM∥CD 且 FM=2CD.

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1 又∵AE∥CD 且 AE=2CD, ∴FM 綉 AE,即四边形 AFME 是平行四边形. ∴AF∥ME,又∵AF?平面 PCE,EM?平面 PCE, ∴AF∥平面 PCE. 考向二 【例 2】?如图, 平面与平面平行的判定与性质

在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N、P 分别为所在边的中点. 求证:平面 MNP∥平面 A1C1B; [审题视点] 证明 MN∥A1B, MP∥C1B. 证明 连接 D1C,则 MN 为△DD1C 的中位线, ∴MN∥D1C. 又∵D1C∥A1B,∴MN∥A1B.同理,MP∥C1B. 而 MN 与 MP 相交,MN,MP 在平面 MNP 内,A1B,C1B 在平面 A1C1B 内.∴ 平面 MNP∥平面 A1C1B. 证明面面平行的方法有: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.

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【训练 2】 如图,

在三棱柱 ABCA1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求 证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明 (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线,∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点,∴EF∥BC, ∵EF?平面 BCHG,BC?平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綉 EB,∴四边形 A1EBG 是平行四边形, ∴A1E∥GB.∵A1E?平面 BCHG,GB?平面 BCHG. ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面 EFA1∥平面 BCHG. 考向三 【例 3】?如图所示, 线面平行中的探索问题

在三棱柱 ABCA1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,若 D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上 是否存在一点 E,使 DE∥平面 AB1C1?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在, 请说明理由. [审题视点] 取 AB、BB1 的中点分别为 E、F,证明平面 DEF∥平面 AB1C1 即可. 解 存在点 E,且 E 为 AB 的中点.

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下面给出证明: 如图,取 BB1 的中点 F,连接 DF, 则 DF∥B1C1. ∵AB 的中点为 E,连接 EF, 则 EF∥AB1. B1C1 与 AB1 是相交直线, ∴平面 DEF∥平面 AB1C1. 而 DE?平面 DEF,∴DE∥平面 AB1C1. 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法,假设求解的结果存在, 从这个结果出发, 寻找使这个结论成立的充分条件,如果找到了符合题目结果要 求的条件,则存在;如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在.

【训练 3】 如图,

在四棱锥 PABCD 中, 底面是平行四边形, PA⊥平面 ABCD, 点 M、 N 分别为 BC、 PA 的中点.在线段 PD 上是否存在一点 E,使 NM∥平面 ACE?若存在,请确定 点 E 的位置;若不存在,请说明理由. 解 在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE.

证明如下:如图,取 PD 的中点 E,连接 NE,EC,AE,

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1 因为 N,E 分别为 PA,PD 的中点,所以 NE 綉2AD. 1 又在平行四边形 ABCD 中,CM 綉2AD.所以 NE 綉 MC,即四边形 MCEN 是平行 四边形.所以 NM 綉 EC. 又 EC?平面 ACE,NM?平面 ACE,所以 MN∥平面 ACE, 即在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE.

规范解答 13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题 【问题研究】 高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心, 以多面体为载体结合平面几何知识,考查判定定理、性质定理等内容,难度为中 低档题目. 【解决方案】 利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征,尤其注 意对正棱柱、 正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用,进行空间线面关系的相互转 化. 【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 山东)如图,

在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中,D1D⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是平行四边形,AB =2AD,AD=A1B1,∠BAD=60° . (1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面 A1BD. 第(1)问转化为证明 BD 垂直 A1A 所在平面;第(2)问在平面 A1BD 内寻 找一条线与 CC1 平行. [解答示范] 证明 (1)因为 D1D⊥平面 ABCD,且 BD?平面 ABCD,

所以 D1D⊥BD.(1 分) 又因为 AB=2AD,∠BAD=60° , 在△ABD 中,由余弦定理得 BD2=AD2+AB2-2AD· ABcos 60° =3AD2,所以 AD2 +BD2=AB2,

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因此 AD⊥BD.(4 分) 又 AD∩D1D=D, 所以 BD⊥平面 ADD1A1. 又 AA1?平面 ADD1A1, 故 AA1⊥BD.(6 分)

(2)如图,连结 AC,A1C1, 设 AC∩BD=E,连结 EA1, 因为四边形 ABCD 为平行四边形, 1 所以 EC=2AC.(8 分) 由棱台定义及 AB=2AD=2A1B1 知 A1C1∥EC 且 A1C1=EC,所以四边形 A1ECC1 为平行四边形,(10 分) 因此 CC1∥EA1. 又因为 EA1?平面 A1BD, CC1?平面 A1BD, 所以 CC1∥平面 A1BD.(12 分) 证明线面关系不能仅仅考虑线面关系的判定和性质,更要注意对几何 体的几何特征的灵活应用.证明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定 理.另外根据几何体的数据,通过计算也可得到线线垂直的关系,所以要注意对 几何体中的数据的正确利用. 【试一试】 (2010· 安徽)

如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB, EF⊥FB,∠BFC=90° ,BF=FC,H 为 BC 的中点. (1)求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB;

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(3)求四面体 BDEF 的体积. [尝试解答] (1)证明 设 AC 与 BD 交于点 G,则 G 为 AC 的中点.连 EG,GH,

1 由于 H 为 BC 的中点,故 GH 綉2AB. 1 又 EF 綉2AB,∴EF 綉 GH. ∴四边形 EFHG 为平行四边形. ∴EG∥FH,而 EG?平面 EDB,∴FH∥平面 EDB. (2)证明 由四边形 ABCD 为正方形,有 AB⊥BC.

又 EF∥AB,∴EF⊥BC. 而 EF⊥FB,∴EF⊥平面 BFC,∴EF⊥FH. ∴AB⊥FH.又 BF=FC,H 为 BC 的中点, ∴FH⊥BC.∴FH⊥平面 ABCD. ∴FH⊥AC.又 FH∥EG,∴AC⊥EG. 又 AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面 EDB. (3)解 ∵EF⊥FB,∠BFC=90° ,∴BF⊥平面 CDEF.

∴BF 为四面体 BDEF 的高. 又 BC=AB=2,∴BF=FC= 2. 1 1 1 VB-DEF=3×2×1× 2× 2=3.


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