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算术平均数与几何平均数——基本不等式


算术平均数与几何平均数——基本不等式 知识要点: 1. 如果 a, b ? 也成立。 2.如果 a, b ? ,那么 , 那么 a ? b
2 2

A. x ?

2 ab(当且仅当

ab 时取 “=” 号) ; 反之,

a 2 ? b2 2

1 1 ? ? 2; x x? 1 x
1 x 1 )? 4; y

B. ( x ? )( y ?

1 x

1 )? 4; y

C. ( x ? y)( ? 二、填空题

D. (

lg x ? lg y 2 lg 2 x ? lg 2 y ) ? 2 2

a?b 3.把 称 a, b 的 2
可叙述为 疑误知识辨析:

a?b ≥ 2

(当且仅当 a ? b 时取“=”号) ;反之,ab ≤

也成立。

;把 ab 称 a , b 的 ;

a?b ? ab (a, b ? R? ) ;不等式 2

1 1 2 (a ? 3), Q ? ( ) x ? 2 ,则 P、Q 的大小关系是 a?2 2 b ? c c ? a a ?b ? ? 5.若 a、b、c>0,则 ≥ ; a b c
4.已知 P ? a ? 6.下列不等式的证明过程 ①若 a、b ? R, 则



例1. 若 a, b ? R ,求证: a2 ? b2 ? 2 | ab | ; 例 2. x ? R ,求证: x ? 经典名题: 例 3.已知 a ? b ? 0 ,全集 U ? R, M ? {x | b ? x ?
?

1 ? 2; x
x ? 0 ,则 x ?

b a b a 1 1 + ? 2 ? ? 2 ;②若 x ? 0 ,则 cos x ? ? 2 cos x ? ? 2 ;③若 a b a b cos x cos x

a?b }, 2


4 4 ? 2 x ? ? 4 ;④若 a、b ? R 且 ab ? 0 , x x


N ? {x | ab ? x ? a}, P ? {x | b ? x ? ab} ,则
A. P ? M ? CU N ;B. P ? N ? CU M ;C. P ? N ? M ;D. P ? N ? M ; 例 4.已知 a, b, c ?{x | x ? 0} ,证明: (1) (a ? b ? c)( ?

a b a b a b ? ? ?[(? ) ? (? )] ? ?2 (? )(? ) ? ?2 。证明过程正确的是 b a b a b a
2 2

三、解答题:
2 2 2 2 7.证明 a ? b ? 2ab 下面的几种变形: (1) a ? b ? 2 | ab |? ?2ab ; (2) a ? b ?

1 a

1 ) ? 4; b?c

1 (a ? b) 2 ; 2

1 2 2 2 2 (2) a ? c ? b ? c ? (a ? b ) ? c 。 2
同步训练: 一、选择题 1. “a 是正数,b 是正数”是“ a ? b ? 2 ab ” 的 A.充分不必要条件;B.必要不充分条件;C.充要条件;D.既不充分也不必要条件。 2.若 a、b 都是正实数,则在不等式 a2 ? b2 ? 2ab, a ? b ? 2 ab , 中不正确的个数是 A.0; B.1; C.2;
?

(3) (a ? b) ? 4ab ; (4)
2

a ?b a ?b a 2 ? b2 a?b 2 ? (ab ? 0) ; ?( ) (5) b a 2 2
2 2 2

8. (1)已知 a、b、c ? R ,求证: ac ? ab ? bc ? a ? b ? c ; (2)已知实数 a、b、x、y 满足 a ? b ? 1, x ? y ? 1 ,求证: ax ? by ? 1 。
2 2 2 2

a 2 b2 a b ? ? a ? b, ? ? 2 b a b a

9.设 a、b、c 是不全相等的正数,证明: a 2 ? b2 ? b2 ? c2 ? c2 ? a 2 ?

2(a ? b ? c) 。

D.3

10.设 a、b、c 为正数,证明:

3. x, y ? R ,则下列不等式中等号不成立的是

a 2 b2 c2 ? ? ? a?b?c b c a


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