当前位置:首页 >> 数学 >> 苏教版数学必修二立体几何点线面之间的位置关系。_图文

苏教版数学必修二立体几何点线面之间的位置关系。_图文

高中空间点线面之间位置关系知识点总结

第二章 直线与平面的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1

D

C

1 平面含义:平面是无限延展的

α

2 平面的画法及表示

A

B

(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边

形,锐角画成 450,且横边画成邻边的 2 倍长(如图)

(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的

平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。

3 三个公理:

(1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内

符号表示为

A∈L B∈L A∈α

=> L α

A
α·
L

B∈α

公理 1 作用:判断直线是否在平面内

(2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。A

B

符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面αα,·

C· ·

使 A∈α、B∈α、C∈α。

公理 2 作用:确定一个平面的依据。

(3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共

直线。

符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且 P∈L

β

公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

α

P
·

L

1 空间的两条直线有如下三种关系:

共面直线

相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点;

异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。

2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为:设 a、b、c 是三条直线

a∥b c∥b

=>a∥c

强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。

公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补

4 注意点:

① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O

一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ∈(20, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b;

④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;

⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α来表示



a∩α=A

a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与

此平面平行。

简记为:线线平行,则线面平行。

符号表示:





=> a∥α

a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面

平行。

符号表示:





a∩b = P β∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种:

(1)用定义;

(2)判定定理;

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平

行。

简记为:线面平行则线线平行。

符号表示:

a∥α



a∥b

α∩β= b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示:
α∥β α∩γ= a a∥b β∩γ= b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义
如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α互相垂直,
记作 L⊥α,直线 L 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂
直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。
L
p α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思

想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭l

β

B α
2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图

平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4) 空间直线、平面的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

[基础训练 A 组]

一、选择题

1.下列四个结论:

⑴两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为( )

A. 0 B.1

C. 2 D. 3

2.下面列举的图形一定是平面图形的是( )

A.有一个角是直角的四边形

B.有两个角是直角的四边形

C.有三个角是直角的四边形

D.有四个角是直角的四边形

3.垂直于同一条直线的两条直线一定( )

A.平行

B.相交 C.异面

D.以上都有可能

4.如右图所示,正三棱锥V ? ABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中,D, E, F 分别是 VC,VA, AC 的中点, P 为 VB 上任意一点,则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是

() A. 300 B. 900 C. 600 D.随 P 点的变化而变化。
E

A

5.互不重合的三个平面最多可以把空间分成(

A. 4

B. 5

C. 7

D. 8

)个部分

V
D
F C
P B

6.把正方形 ABCD沿对角线 AC 折起,当以 A, B,C, D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直

线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为(



A. 90

B. 60 C. 45

D. 30

二、填空题 1.已知 a, b 是两条异面直线, c // a ,那么 c 与 b 的位置关系____________________。

2.直线 l 与平面? 所成角为 300 , l ? ? A, m ? ?, A? m ,

则 m 与 l 所成角的取值范围是 _________

3.棱长为1的正四面体内有一点 P ,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分别为

d1, d2 , d3, d4 ,则 d1 ? d2 ? d3 ? d4 的值为



4.直二面角? - l - ? 的棱 l 上有一点 A ,在平面?, ? 内各有一条射线 AB ,

AC 与 l 成 450 , AB ? ?, AC ? ? ,则 ?BAC ?



5.下列命题中: (1)、平行于同一直线的两个平面平行; (2)、平行于同一平面的两个平面平行; (3)、垂直于同一直线的两直线平行; (4)、垂直于同一平面的两直线平行.
其中正确的个数有_____________。 三、解答题

A EH

1.已知 E, F,G, H 为空间四边形 ABCD 的边 AB, BC,CD, DA 上的 B 且 EH // FG .求证: EH // BD .

D 点,

F

G

C

2.自二面角内一点分别向两个半平面引垂线,求证:它们所成的角与二两角的平面角互补。

第二章空间点、直线、平面的位置关系复习

一、选择题:

1.下列命题正确的是………………………………………………( )

A.三点确定一个平面

B.经过一条直线和一个点确定一个平面

C.两条相交直线确定一个平面 D.四边形确定一个平面

2.平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………(



A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交或异面

3.下列命题中,错误的是…………………………………………( )

A.平行于同一个平面的两个平面平行

B.平行于同一条直线的两个平面平行

C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行

D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交

4.直线 a,b 异面直线, a 和平面?平行,则 b 和平面?的位置关系是( )

A.b?? B.b∥?

C.b 与?相交 D.以上都有可能

5.直线 a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是………………………( )

A、若 a ? α,b ? α,c⊥a, c⊥b 则 c⊥α B、若 b ? α, a//b 则 a//α

C、若 a//α,α∩β=b 则 a//b

D、若 a⊥α, b⊥α 则 a//b

6.下列命题中正确的是……………………………………( ) A.如果一个平面内两条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行。

B.如果平面? ? ? ,那么平面? 内所有直线都垂直于平面 ?

C.如果平面? 不垂直于平面 ? ,那么平面? 内一定不存在直线垂直于平面 ? 内的某条直线。

D.如果平面? ? ? , ? ? ? ,? ? ? ? l ,那么 l ??

7.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 B1C 所成角是:(

)

A.30?

B.45?

C.60?

D.90?

8.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,

则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 ( )

A. 30

B. 45 C. 60

D. 90

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

答案

二、填空题

9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有



10.已知直线 a//平面? ,平面? //平面 ? ,则 a 与 ? 的位置关系为

11.空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点.

①若 AC=BD,则四边形 EFGH 是



②若 AC?BD, 则四边形 EFGH 是

12.在四面体 A-BCD 中,E、F 分别是 AB、CD 的中点,BD、AC 所成的角为 60 ,BD=AC=1, 则 EF 的长度为

三、解答题: 13.如图所示,在正三棱锥 S—ABC 中,D,E,F 分别是棱 AC,BC,SC 上的点,且 CD=2AD,CE=2BE,CF=2SF,G 是 AB 的中点。求证:SG∥平面 DEF。

14、如图: AB 是⊙ O 的直径, PA垂直于⊙ O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A, B 的任意

一点,求证: BC ? 平面PAC

P

C

A

O

B

15、在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 是 CC1 的中点,求证: 平面A1BD ? 平面BED .

16、如图, 已知四棱锥 P—ABCD 中,底面四边形为正方形,侧面 PDC 为正三角形,且平面

PDC⊥底面 ABCD,E 为 PC 中点。
(1)求证:PA∥平面 EDB。 (2)求证:平面 EDB⊥平面 PBC。 (3)求二面角 B ? DE ? C 的正切值。

P E

D A

C B

17.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直
角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求点 A 到平面 PCD 的距离.


友情链接:省心范文网 | 省心范文网 | 省心范文网 | 省心范文网 | 省心范文网 | 省心范文网 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 |
592 | 832 | 219 | 462 | 255 | 549 | 340 | 949 | 418 | 581 | 499 | 137 | 331 | 769 | 241 | 400 | 358 | 270 | 687 | 691 | 518 | 168 | 332 | 994 | 500 | 219 | 786 | 989 | 477 | 287 | 383 | 325 | 307 | 793 | 248 | 179 | 818 | 812 | 112 | 681 | 988 | 420 | 650 | 723 | 554 | 878 | 128 | 130 | 773 | 617 | 303 | 659 | 599 | 773 | 838 | 484 | 105 | 679 | 226 | 434 | 575 | 521 | 428 | 179 | 474 | 400 | 127 | 978 | 249 | 814 | 222 | 607 | 185 | 386 | 336 | 102 | 847 | 873 | 947 | 103 | 155 | 739 | 467 | 897 | 823 | 424 | 458 | 883 | 665 | 999 | 411 | 692 | 661 | 537 | 643 | 400 | 291 | 390 | 672 | 688 | 965 | 219 | 250 | 749 | 337 | 733 | 769 | 784 | 430 | 944 | 467 | 734 | 969 | 650 | 673 | 221 | 247 | 158 | 688 | 478 | 517 | 564 | 640 | 133 | 304 | 229 | 707 | 406 | 513 | 771 | 181 | 396 | 548 | 362 | 743 | 797 | 721 | 476 | 216 | 839 | 428 | 583 | 928 | 852 | 625 | 422 | 778 | 621 | 402 | 859 | 771 | 240 | 239 | 829 | 806 | 913 | 460 | 152 | 433 | 388 | 295 | 433 | 972 | 864 | 380 | 940 | 967 | 828 | 998 | 435 | 752 | 586 | 525 | 196 | 974 | 125 | 785 | 192 | 335 | 150 | 195 | 367 | 779 | 530 | 897 | 918 | 380 | 837 | 568 | 528 | 889 | 882 | 948 | 358 | 1000 | 559 | 604 | 355 | 881 | 825 | 678 | 683 | 104 | 159 | 857 | 919 | 435 | 717 | 600 | 366 | 815 | 642 | 608 | 738 | 704 | 657 | 746 | 273 | 643 | 339 | 838 | 684 | 793 | 276 | 713 | 940 | 188 | 438 | 686 | 222 | 580 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:3088529994@qq.com