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辽宁省朝阳市区市重点中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


辽宁省朝阳市区市重点中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学 试卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=() A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3, 4} 2. (5 分)在空间内,可以确定一个平面的条件是() A.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点 B. 三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交 C. 三个点 D.两两相交的三条直线 3. (5 分)已知集合 A={正方体},B={长方体},C={正四棱柱},D={直平行六面体},则() A.A?B?C?D B. C?A?B?D C. A?C?B?D D.它们之间不都存在包含关系 4. (5 分)已知直线经过点 A(﹣2,0) ,B(﹣5,3) ,则该直线的倾斜角为() A.150° B.135° C.75° D.45° 5. (5 分)函数 y=log5﹣x(2x﹣3)的定义域为() A. ∪(4,5) B. C.(4,5) D.

6. (5 分)已知三点 A(1,﹣1) ,B(a,3) ,C(4,5)在同一直线上,则实数 a 的值是() A.1 B .4 C.3 D.不确定 7. (5 分)己知 A. B. ,则 m 等于() C. D.

8. (5 分)直线 Ax+By+C=0 通过第二、三、四象限,则系数 A,B,C 需满足条件() A.C=0,AB<0 B.AC<0,BC<0 C.A,B,C 同号 D.A=0,BC <0 9. (5 分)函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如图,则函数 y=f(x)?g(x)的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)下面命题中正确的是() A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y﹣y0=k(x﹣x0)表示. B. 经过任意两个不同的点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y﹣y1) (x2﹣x1) =(x﹣x1) (y2﹣y1)表示 C. 不经过原点的直线都可以用方程 表示

D.经过点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 11. (5 分)已知正三棱锥 P﹣ABC 中,PA=PB=PC=1,且 PA,PB,PC 两两垂直,则该三棱 锥外接球的表面积为() A. B. C.3π D.12π

12. (5 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D 是棱 AA1 的中点,平面 BDC1 分此棱柱为上 下两部分,则这上下两部分体积的比为()

A.2:3

B.1:1

C.3:2

D.3:4

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. (5 分)比较大小:

(在空格处填上“<”或“>”号) .

14. (5 分)设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面.给出下列四个命题: ①若 m∥α,n∥β,α∥β,则 m∥n; ②若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,则 m⊥n; ③若 m∥α,m∥n,则 n∥α; ④若 α∥β,m⊥α,n∥β,则 m⊥n. 则正确的命题为. (填写命题的序号) 15. (5 分)无论实数 a,b(ab≠0)取何值,直线 ax+by+2a﹣3b=0 恒过定点. 16. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,用粗线画出了某多面体的三视图,则该多 面体最长的棱长为.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)求函数 y=(2 ) ﹣2×2 +5,x∈[﹣1,2]的最大值和最小值. 18. (12 分)若非空集合 A={x|x +ax+b=0},集合 B={1,2},且 A?B,求实数 a.b 的取值. 19. (12 分)如图,△ ABC 中,D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点,用坐标法,证明: (|AB| +|BC| +|AC| )=|AD| +|BE| +|CF| .
2 2 2 2 2 2 2 x 2 x

20. (12 分)已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是 BC、 CD 上的点,且 .

求证: (1)E、F、G、H 四点共面; (2)三条直线 EF、GH、AC 交于一点.

21. (12 分)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E,F 分别是 AB,BD 的中 点.求证: (1)直线 EF∥面 ACD; (2)平面 EFC⊥面 BCD.

22. (12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D、E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=1,AB= ,求三棱锥 D 一 A1CE 的体积.

辽宁省朝阳市区市重点中学 2014-2015 学年高一上学期期 末数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1. (5 分)设集合 A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=() A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 分析: 属于集合简单运算问题.此类问题只要审题清晰、做题时按部就班基本上就不会出 错. 解答: 解:∵集合 A={1,2},B={1,2,3}, ∴A∩B=A={1,2}, 又∵C={2,3,4}, ∴(A∩B)∪C={1,2,3,4} 故选 D. 点评: 考查的是集合交、并、补的简单基本运算. 2. (5 分)在空间内,可以确定一个平面的条件是() A.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点 B. 三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交 C. 三个点 D.两两相交的三条直线 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用确定平面的条件度四个选项分别分析,得到正确答案. 解答: 解:对于选项 A,三条直线,它们两两相交,但不交于同一点,满足不共线的三点确 定一个平面; 对于选项 B,如果三条直线过同一个点,可以确定一个或者三个平面; 对于选项 C,如果三个点在一条直线上,可以有无数个平面; 对于选项 D,如果三条直线两两相交于一点,确定一个或者三个平面; 故选 A. 点评: 本题考查了确定平面的条件,关键是正确利用平面的基本性质解答. 3. (5 分)已知集合 A={正方体},B={长方体},C={正四棱柱},D={直平行六面体},则() A.A?B?C?D B. C?A?B?D C. A?C?B?D D.它们之间不都存在包含关系 考点: 棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据这六种几何体的特征,可以知道包含元素最多的是直平行六面体,包含元素最 少的是正方体,其次是正四棱柱,得到结果. 解答: 解:在这 4 种图形中,包含元素最多的是直平行六面体,其次是长方体, 最小的是正方体,其次是正四棱柱, 在四个选项中,只有 C 符合这四个之间的关系, 其他的不用再分析, 故选 C.

点评: 本题考查四棱柱的结构特征,考查集合之间的包含关系的判断及应用,是一个比较 全面的题目. 4. (5 分)已知直线经过点 A(﹣2,0) ,B(﹣5,3) ,则该直线的倾斜角为() A.150° B.135° C.75° D.45° 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的倾斜角. 直线与圆. 由两点式求出直线的斜率,再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角. 解:∵直线经过点 A(﹣2,0) ,B(﹣5,3) , .

∴其斜率 k=

设其倾斜角为 θ(θ∈[0,π) ) , 则 tanθ=﹣1. ∴θ=135°. 故选:B. 点评: 本题考查了直线斜率的求法,考查了斜率和倾斜角的关系,是基础题. 5. (5 分)函数 y=log5﹣x(2x﹣3)的定义域为() A. B. C.(4,5) D. ∪(4,5)

考点: 专题: 分析: 解答:

对数函数的定义域. 函数的性质及应用. 根据对数函数的性质得到不等式组,解出即可. 解:由题意得:



解得: <x<5,且 x≠4, 故选:D. 点评: 本题考查了对数函数的性质,考查了函数的定义域问题,是一道基础题. 6. (5 分)已知三点 A(1,﹣1) ,B(a,3) ,C(4,5)在同一直线上,则实数 a 的值是() A.1 B. 4 C. 3 D.不确定 考点: 三点共线. 专题: 计算题. 分析: 三点 A(1,﹣1) ,B(a,3) ,C(4,5)在同一直线上,由 AB 的斜率和 AC 的斜 率相等,求出实数 a 的值. 解答: 解:∵三点 A(1,﹣1) ,B(a,3) ,C(4,5)在同一直线上, ∴AB 的斜率和 AC 的斜率相等,



=



∴a=3, 故选 C. 点评: 本题考查三点共线的性质,当三点共线时,任意两点连线的斜率都相等.

7. (5 分)己知 A. B. C.

,则 m 等于() D.

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 设 解答: 解:设 ,求出 f(t)=4t+7,进而得到 f(m)=4m+7,由此能够求出 m. ,则 x=2t+2,

∴f(t)=4t+7,∴f(m)=4m+7=6, 解得 m=﹣ . 故选 A. 点评: 本题考查函数值的求法,解题时要认真审题,仔细求解,注意公式的灵活运用. 8. (5 分)直线 Ax+By+C=0 通过第二、三、四象限,则系数 A,B,C 需满足条件() A.C=0,AB<0 B.AC<0,BC<0 C.A,B,C 同号 D.A=0,BC<0 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 化直线的一般式方程为斜截式,由直线通过二、三、四象限可得直线的斜率小于 0, 在 y 轴上的截距小于 0,从而得到 A,B,C 同号. 解答: 解:由 Ax+By+C=0,得 ∵直线 Ax+By+C=0 通过第二、三、四象限, ,



,则 A,B,C 同号.

故选:C. 点评: 本题考查了直线的一般式方程化斜截式,是基础题. 9. (5 分)函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如图,则函数 y=f(x)?g(x)的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 观察函数 y=f(x)的图象得出函数在 x=0 无意义,故函数 y=f(x)?g(x)在 x=0 无意义,可排除 CD; 令 x 再取很小的正数,从图象可得 f(x)<0,g(x)>0,可得 A 适合而 B 不适合,可得答 案. 解答: 解:∵函数 y=f(x)在 x=0 无意义,∴函数 y=f(x)?g(x)在 x=0 无意义,∴排除 CD; 当 x 是很小的正数时,从图象可得 f(x)<0,g(x)>0,∴f(x)?g(x)<0,故 A 适合 而 B 不适合, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数的图象的应用,解题的关键是:要从所给的函数图象得出函数成 立的信息,属于基础题. 10. (5 分)下面命题中正确的是() A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y﹣y0=k(x﹣x0)表示. B. 经过任意两个不同的点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y﹣y1) (x2﹣x1) =(x﹣x1) (y2﹣y1)表示 C. 不经过原点的直线都可以用方程 表示

D.经过点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 考点: 命题的真假判断与应用. 分析: A、过定点 P0(x0,y0)的直线斜率不一定存在; B、方程是两点式的变形,注意两点式的适用条件 x1≠x2; C、不经过原点的直线的斜率可能存在可能不存在; D、过定点 A(0,b)的直线斜率不一定存在,同 A、C 一样要讨论. 解答: 解:A、由于直线过定点 P0(x0,y0) , 当直线斜率存在时,可用方程 y﹣y0=k(x﹣x0)表示, 当直线斜率不存在时,方程是 x=x0,故 A 不正确; B、当 x1=x2 时,经过任意两个不同的点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)的直线方程是 x=x1, 此时满足方程(y﹣y1) (x2﹣x1)=(x﹣x1) (y2﹣y1) ,

当 x1≠x2 时,经过任意两个不同的点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)的直线的斜率是



则直线方程是 y﹣y1= B 正确;

(x﹣x1) ,整理得(y﹣y1) (x2﹣x1)=(x﹣x1) (y2﹣y1) ,故

C、当直线斜率不存在时,不经过原点的直线方程是 x=x0,不可以用方程 当直线的斜率存在时,可以用方程 表示,故 C 不正确;

表示,

D、当直线斜率不存在时,经过点 A(0,b)的直线方程是 x=0,不可以用方程 y=kx+b 表示, 当直线的斜率存在时,经过点 A(0,b)的直线可以用方程 y=kx+b 表示,故 D 不正确. 故答案选 B. 点评: 本题考查的知识点是,判断命题真假,比较综合的考查了直线的几种方程形式,我 们可以根据几种形式的直线方程的适用条件对四个结论逐一进行判断,可以得到正确的结论. 11. (5 分)已知正三棱锥 P﹣ABC 中,PA=PB=PC=1,且 PA,PB,PC 两两垂直,则该三棱 锥外接球的表面积为() A. B. C . 3π D.12π

考点: 球的体积和表面积;球内接多面体. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 该三棱锥外接球与以 PA,PB,PC 为棱长的正方体的外接球的半径相同,正方体的 体对角线长等于正方体的外接球的半径,2R= = ,根据面积公式求解即可.

解答: 解;∵正三棱锥 P﹣ABC 中,PA=PB=PC=1,且 PA,PB,PC 两两垂直, ∴该三棱锥外接球与以 PA,PB,PC 为棱长的正方体的外接球的半径相同, ∴正方体的体对角线长等于正方体的外接球的半径, ∴2R= R= , ) =3π,
2

=



∴该三棱锥外接球的表面积为 4π×(

故选:C 点评: 本题考查了空间几何体的性质,外接球的半径,面积的求解,属于中档题,关键是 构造几何体的关系. 12. (5 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D 是棱 AA1 的中点,平面 BDC1 分此棱柱为上 下两部分,则这上下两部分体积的比为()

A.2:3

B.1:1

C.3:2

D.3:4

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用特殊值法,设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是正三棱柱,AC=1,AA1=2,由此能求出 平面 BDC1 分此棱柱两部分体积的比. 解答: 解:设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是正三棱柱, AC=1,AA1=2,棱锥 B﹣DACC1 的体积为 V1, 由题意得 V1= × ×1× = , = ,

又三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=sh= (V﹣V1) :V1=1:1, ∴平面 BDC1 分此棱柱两部分体积的比为 1:1. 故选:B.

点评: 本题考查平面 BDC1 分此棱柱两部分体积的比的求法, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)比较大小: < (在空格处填上“<”或“>”号) .

考点: 专题: 分析: 解答: 又 y=( 故

指数函数的图像与性质. 函数的性质及应用. 根据对数函数的单调性进行判断即可. 解:因为﹣0.25>﹣0.27,
x

是减函数, < ,

故答案为:< 点评: 本题主要考查指数函数的单调性,利用单调性比较函数值的大小. 14. (5 分)设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面.给出下列四个命题: ①若 m∥α,n∥β,α∥β,则 m∥n; ②若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,则 m⊥n; ③若 m∥α,m∥n,则 n∥α;

④若 α∥β,m⊥α,n∥β,则 m⊥n. 则正确的命题为②④. (填写命题的序号) 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 对四个命题利用空间线面关系分别分析,得到正确选项. 解答: 解:对于①,若 m∥α,n∥β,α∥β,m,n 有可能平行或者异面; 对于②,若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,根据线面垂直的性质和面面垂直的性质得到 m⊥n; 对于③,若 m∥α,m∥n,n 有可能在平面 α 内; 对于④,若 α∥β,m⊥α,得到 m⊥β,又 n∥β,所以 m⊥n. 故答案为:②④ 点评: 本题考查了线面平行、面面平行的性质定理和判定定理的运用,考查学生的空间想 象能力,属于中档题. 15. (5 分)无论实数 a,b(ab≠0)取何值,直线 ax+by+2a﹣3b=0 恒过定点(﹣2,3) . 考点: 恒过定点的直线. 专题: 直线与圆. 分析: 把已知直线变形为 点得答案. 解答: 解:由 ax+by+2a﹣3b=0,得 a(x+2)+b(y﹣3)=0,即 , , 然后求解两直线 x+2=0 和 y﹣3=0 的交

联立

,解得



∴直线 ax+by+2a﹣3b=0 恒过定点(﹣2,3) . 故答案为: (﹣2,3) . 点评: 本题考查了直线系方程,关键是掌握该类问题的求解方法,是基础题. 16. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,用粗线画出了某多面体的三视图,则该多 面体最长的棱长为 6.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建 直观图,该几何体为四棱锥. 解答: 解:该几何体为三棱锥, 其最长为棱长为 =6;

故答案为:6. 点评: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建 直观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)求函数 y=(2 ) ﹣2×2 +5,x∈[﹣1,2]的最大值和最小值. 考点: 指数型复合函数的性质及应用. 专题: 换元法;函数的性质及应用. 分析: 令 2 =t,t∈[ ,4],换元得 y=t ﹣2t+5,利用二次函数性质求最值即可. 解答: 解:设 2 =t,因为 x∈[﹣1,2],所以 则 y=t ﹣2t+5,为二次函数,图象开口向上,对称轴为 t=1, 当 t=1 时,y 取最小值 4,当 t=4 时,y 取最大值 13. 点评: 本题考查复合函数的最值,通过换元法转化为二次函数的性质求解,换元法属于常 用方法,注意引入参数要注明参数范围. 18. (12 分)若非空集合 A={x|x +ax+b=0},集合 B={1,2},且 A?B,求实数 a.b 的取值. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 2 分析: 根据题意,集合 B={1,2},且 A?B,A 是 x +ax+b=0 的解集,根据其解的可能情况, 分类讨论可得答案. 解答: 解:集合 B={1,2},且 A?B,则 2 (1)当 A={1}时,方程 x +ax+b=0 有相等根 1,有 1+1=﹣a,1×1=b,即 a=﹣2,b=1; (2)当 A={2}时,同(1)有 2+2=﹣a,2×2=b,即 a=﹣4,b=4; 2 (3)当 A={1,2}时,方程 x +ax+b=0 有两根 1,2,则有 1+2=﹣a,1×2=b,即 a=﹣3,b=2. 点评: 本题考查集合间的相互包含关系及运算,应注意分类讨论方法的运用. 19. (12 分)如图,△ ABC 中,D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点,用坐标法,证明: (|AB| +|BC| +|AC| )=|AD| +|BE| +|CF| .
2 2 2 2 2 2 2 2 x x 2 x 2 x

考点: 两点间的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 以 B 为原点,BC 为 x 轴建立平面直角坐标系,设 C(a,0) ,A(b,c) ,可得 ,由距离公式验证即可. 解答: 解:以 B 为原点,BC 为 x 轴建立平面直角坐标系如图所示: 设 C(a,0) ,A(b,c) ,则 由左边公式可得左边 = = ,

同理可得右边 = =



点评: 本题考查两点间的距离公式,建系是解决问题的关键,属基础题. 20. (12 分)已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是 BC、 CD 上的点,且 .

求证: (1)E、F、G、H 四点共面; (2)三条直线 EF、GH、AC 交于一点.

考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 证明题. 分析: (1)由 E、H 分别是 AB、AD 的中点,根据中位线定理,我们可得,EH∥BD,又 由 F、G 分别是 BC、CD 上的点,且 .根据平行线分线段成比例定理的引理,我们

可得 FG∥BD,则由平行公理我们可得 EH∥FG,易得 E、F、G、H 四点共面; (2)由(1)的结论,直线 EF,GH 是梯形的两腰,所以它们的延长线必相交于一点 P,而由 于 AC 是 EF 和 GH 分别所在平面 ABC 和平面 ADC 的交线,而点 P 是上述两平面的公共点, 由公理 3 知 P∈AC.故三线共点. 解答: 证明: (1)在△ ABD 和△ CBD 中, ∵E、H 分别是 AB 和 AD 的中点,∴EH 又∵ ,∴FG BD. BD

∴EH∥FG 所以,E、F、G、H 四点共面. (2)由(1)可知,EH∥FG,且 EH≠FG,即直线 EF,GH 是梯形的两腰, 所以它们的延长线必相交于一点 P ∵AC 是 EF 和 GH 分别所在平面 ABC 和平面 ADC 的交线,而点 P 是上述两平面的公共点, ∴由公理 3 知 P∈AC. 所以,三条直线 EF、GH、AC 交于一点 点评: 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点. (1)证明三线共点的依 据是公理 3. (2)证明三线共点的思路是:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该 点,把问题转化为证明点在直线上的问题.实际上,点共线、线共点的问题都可以转化为点在 直线上的问题来处理. 21. (12 分)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E,F 分别是 AB,BD 的中 点.求证: (1)直线 EF∥面 ACD; (2)平面 EFC⊥面 BCD.

考点: 直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 证明题. 分析: (1)根据线面平行关系的判定定理,在面 ACD 内找一条直线和直线 EF 平行即可, 根据中位线可知 EF∥AD,EF?面 ACD,AD?面 ACD,满足定理条件; (2)需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直,由线面垂直推出面面垂直,根据线面 垂直的判定定理可知 BD⊥面 EFC,而 BD?面 BCD,满足定理所需条件. 解答: 证明: (1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点. ∴EF 是△ ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF?面 ACD,AD?面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD, ∵CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F,∴BD⊥面 EFC, ∵BD?面 BCD,∴面 EFC⊥面 BCD 点评: 本题主要考查线面平行的判定定理,以及面面 垂直的判定定理.考查对基础知识的 综合应用能力和基本定理的掌握能力. 22. (12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D、E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=1,AB= ,求三棱锥 D 一 A1CE 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点,可得 BC1∥DF,利用线面平行的 判定定理,即可证明 BC1∥平面 A1CD; (2)证明 CD⊥平面 ABB1A1,DE⊥A1D,转换底面,即可求三棱锥 D 一 A1CE 的体积. 解答: (1)证明:连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF

(2)解:∵ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱∴AA1⊥CD ∵AC=CB,D 为 AB 中点, ∴CD⊥AB,

∵AA1∩AB=A, ∴CD⊥平面 ABB1A1, ∴AA1=AC=CB=1,AB= ∴∠ACB=90°,CD=
2 2 2

, ,DE= ,A1E= ,

,A1D=

∴A1D +DE =A1E ,∴DE⊥A1D, ∴ = .

点评: 本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用,求三棱锥的体积,体现了数形结 合的数学思想,属于中档题.


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