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高中不等式所有知识及典型例题(超全)

一.不等式的性质: 二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式) ;3.分析法;4.平方法;5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性;7.寻找中间量或放缩法 ;8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基 本的方法。 三.重要不等式 1.(1)若 a , b ? R ,则 a 2 ? b 2 ? 2 ab 2. (1)若 a , b ? R * ,则 a ? b
2 ? ab
2

(2)若 a , b ? R ,则 ab

?

a

2

?b 2

2

(当且仅当 a ? b 时取“=”)
? b

(2)若 a , b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a (当且仅当 a ? b 时取“=” )
? 1 时取“=” );

时取“=” )

(3)若 a , b ? R * ,则 ab 3.若 x 若x
?0

?a?b? ? ? ? ? 2 ?

,则 x ?
1 x

1 x

? 2

(当且仅当 x

?0

,则 x ?
? 0

? ?2
1 x

(当且仅当 x ? ? 1 时取“=” )
1 x ? 2或 x ? 1 x ? -2

若x

,则
?

x?
b a

? 2即 x ?

(当且仅当 a

? b

时取“=” )

若 ab ? 0 ,则 a
b

? 2

(当且仅当 a
? 2即 a b
? a
2

? b

时取“=” )
? b a ? -2

若 ab ? 0 ,则

a b

?

b a

?

b a
2

? 2或

a b

(当且仅当 a

? b

时取“=” )

4.若 a , b ? R ,则 ( a ? b ) 2
2

?b 2

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求 它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛 的应用. a+b+c 5.a3+b3+c3≥3abc(a,b,c ? R+), ≥ 3 a b c (当且仅当 a=b=c 时取等号) ; 3 1 6. n (a1+a2+??+an)≥ n a1 a 2 ? a n (ai ? R+,i=1,2,?,n),当且仅当 a1=a2=?=an 取等号; a+b 2 a+b+c 3 变式:a2+b2+c2≥ab+bc+ca; ab≤( ) (a,b? R+) ; abc≤( ) (a,b,c ? R+) 2 3 2ab a+b a2+b2 a≤ a+b ≤ ab ≤ 2 ≤ ≤b.(0<a≤b) 2 7.浓度不等式: b-n b b+m < a < a+m ,a>b>n>0,m>0; a-n 1 (2)y=x+ x
1

应用一:求最值 1 例 1:求下列函数的值域(1)y=3x 2+2x 2 解题技巧:

技巧一:凑项

例 1:已知 x

?

5 4

,求函数 y ? 4 x ? 2 ?

1 4x ? 5

的最大值。

评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例 1. 当 时,求 y ? x (8 ? 2 x ) 的最大值。 技巧三: 分离 例 3. 求 y ?
x ? 7 x ? 10
2

x ?1

( x ? ? 1)

的值域。

技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。
y ? ( t ? 1) ? 7 ( t ? 1) 0 +1
2

=

t ? 5t ? 4
2

?t?

4 t

?5

t

t



,即 t=

时, y ? 2 t ?

4 t

? 5 ? 9 (当

t=2 即 x=1 时取“=”号)。
a x

技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x ) ? x ? 调性。例:求函数 y ?
x ?5
2

的单

的值域。

x ?4
2

解:令 x 2 ? 4 ? t ( t ? 2 ) ,则 y ? 因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t
t 1 t t 1 1

x ?5
2

?

x ?4 ?
2

1 x ?4
2

?t?

1 t

(t ? 2 )

x ?4
2

? ? 1 不在区间 ? 2, ? ? ?

,故等号不成立,考虑单调性。
5 2

因为 y ? t ? 在区间 ?1, ? ? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ? ? ? 为单调递增函数,故 y ? 所以,所求函数的值域为 ? , ? ? ? 。
?2 ? ?5 ?



2.已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ? 条件求最值

x (1 ? x ) 的最大值.;3. 0 ? x ?

2 3

,求函数 y ?

x (2 ? 3 x ) 的最大值.

1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 a ? 3 b 的最小值是

.

分析: “和”到“积”是一个缩小的过程,而且 3 a ? 3 b 定值,因此考虑利用均值定理求最小值, 解: 3 a 和 3 b 都是正数, 3 a ? 3 b ≥ 2 3 a ? 3 b ? 2 3 a ? b ? 6 当 3 a ? 3 b 时等号成立,由 a ? b ? 2 及 3 a ? 3 b 得 a ? b ? 1 即当 a ? b ? 1 时, 3 a ? 3 b 的最小值是 6. 变式:若 lo g 4 x ? lo g 4 y ? 2 ,求
1 x ? 1 y

的最小值.并求 x,y 的值

技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且 ?
x 1 9 y ? 1 ,求 x ? y

的最小值。

2

y2 =1,求 x 1+y 2 的最大值. 2 a 2+b 2 分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 2 。 技巧七、已知 x,y 为正实数,且 x 2+ 1 同时还应化简 1+y 2 中 y2 前面的系数为 2 , x 1+y 2 =x 下面将 x, 1 y2 2 +2 2 1 y2 2 +2
2

1+y 2 1 y2 2· 2 = 2 x· 2 + 2

分别看成两个因式: 1 y2 2 +2 2 y2 1 ) x + 2 +2 = 2
2 2

x· 3 4

x +( ≤

3 =4

即 x 1+y 2 = 2 · x

1 y2 2 +2



1 技巧八:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y=ab 的最小值. 分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题, 再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本 题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式 放缩后,再通过解不等式的途径进行。 法一:a= 30-2b , b+1 ab= 30-2b -2 b 2+30b ·b= 由 a>0 得,0<b<15 b+1 b+1 16 t· t =8

令 t=b+1,1<t<16,ab= ∴ ab≤18

-2t 2+34t-31 16 16 =-2(t+ t )+34∵t+ t ≥2 t 1 ∴ y≥ 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 18

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 2 ab ∴ 30-ab≥2 2 ab 2 令 u= ab 则 u +2 2 u-30≤0, -5 2 ≤u≤3 2 1 ∴ ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥ 18 点评:①本题考查不等式
a?b 2 ? ab ( a , b ? R ) 的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知
?

不等式 ab ? a ? 2 b ? 30( a , b ? R ?)出发求得 ab 的范围,关键是寻找到 a ? b 与 ab 之间的关系,由此想 到不等式
a?b 2 ? ab ( a , b ? R ) ,这样将已知条件转换为含 ab
?

的不等式,进而解得 ab 的范围.

变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. a+b a 2+b 2 解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, 2 ≤ 2 ,本题很简单 3x + 2y ≤ 2 ( 3x )2+( 2y )2 = 2
3

3x+2y =2 5

解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再

向“和为定值”条件靠拢。 W>0,W2=3x+2y+2 3x · 2y =10+2 3x · 2y ≤10+( 3x )2·( 2y )2 =10+(3x+2y)=20 ∴ W≤ 20 =2 5 应用二:利用基本不等式证明不等式 1.已知 a , b , c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

1)正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 例 6:已知 a、b、c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?
?1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1? ? ? 1? ? ? 1? ? 8 ?a ?? b ?? c ?

分析:不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘,又
1 a ?1 ? 1? a a ? b?c a ? 2 bc a

,可由此变形入手。
1 a 1? a a b?c a 2 bc a

解:? a、b、c ? R ? , a ? b ? c ? 1 。?

?1 ?

?

?

。同理

1 b

?1 ?

2 ac b



1 c

?1 ?

2 ab c



上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
?1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? ? ?8 ? ? 1? ? ? 1? ? ? 1? ? a b c ?a ?? b ?? c ?

。当且仅当 a ? b ? c ?

1 3

时取等号。

应用三:基本不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且 ?
x 1 9 y 1 x
?1? 10 k ? 2? 3 k

? 1 ,求使不等式 x ? y ? m

恒成立的实数 m 的取值范围。

解:令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,

?

9 y

? 1 ,?

x? y kx

?

9x ? 9y ky

? 1. ?

10 k

?

y kx

?

9x ky

?1

。? k ? 16 , m ? ? ? ? ,1 6 ?
1 2 a?b 2
1 2

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若 a ? b ? 1, P ?
lg a ? lg b , Q ? (lg a ? lg b ), R ? lg( )

,则 P , Q , R 的大小关系是
lg a ? lg b ? p

.

分析:∵ a ? b ? 1 ∴ lg a ? 0 , lg b ? 0 Q ?
R ? lg( a?b 2 ) ? lg ab ? 1 2 lg ab ? Q

( lg a ? lg b ) ?

∴R>Q

四.不等式的解法. 1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法 3.简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是: (1)分解成若干个一次因式的积,并使每一 个因式中最高次项的系数为正; (2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依 次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回; (3)根据曲线显现 f ( x ) 的符号变化规律,写出 不等式的解集。如 (1)解不等式 ( x ? 1)( x ? 2 ) 2 ? 0 。 (答: { x | x ? 1 或 x ? ? 2} ) ;
4

(2)不等式 ( x ? 2 ) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是____ (答: { x | x ? 3 或 x ? ? 1} ) ; (3)设函数 f ( x ) 、 g ( x ) 的定义域都是 R,且 f ( x ) ? 0 的解集为 { x | 1 ? x ? 2} , g ( x ) ? 0 的解集 为 ? ,则不等式 f ( x ) ?g ( x ) ? 0 的解集为______ (答: ( ?? ,1) ? [2, ?? ) ) ; 2 (4)要使满足关于 x 的不等式 2 x ? 9 x ? a ? 0 (解集非空)的每一个 x 的值至少满足不等式 2 2 x ? 4 x ? 3 ? 0 和 x ? 6 x ? 8 ? 0 中的一个,则实数 a 的取值范围是______. (答: [7 ,
81 8 )



4.分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母分 解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一 般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。如 (1)解不等式
5? x x ? 2x ? 3
2

? ?1

(答: ( ? 1,1) ? (2, 3) ) ; ( 2 ) 关 于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解 集为 (1, ?? ) ,则关于 x 的不等式 ____________ (答: ( ?? , ? 1) ? ( 2 , ?? ) ). 5.指数和对数不等式。 6.绝对值不等式的解法: (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c ? -c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c ? ax+b≥c 或 ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想。 方法四:两边平方。
ax ? b x?2 ? 0

的解集为

例 1:解下列不等式: (1).

x ? 2x ? x
2

1 (2 ). -3 < x

< 2

【解析】(1)解法一(公式法) : 原不等式等价于 x2-2x>x 或 x2-2x<-x 解得 x>3 或 x<0 或 0<x<1

∴原不等式的解集为﹛x︱x<0 或 0<x<1 或 x>3﹜ 解法 2(数形结合法) 作出示意图,易观察原不等式的解集为﹛x︱x<0 或 0<x<1 或 x>3﹜
5

第(1)题图

第(2)题图

【解析】 :此题若直接求解分式不等式组,略显复杂,且容易解答错误;若能结合反比例函数 图象,则解集为 ? x | x
? ? ? 1 2
1 x

或 x<-

1? ? 3?

,结果一目了然。

例 2:解不等式: | x |?

1

【解析】作出函数 f(x)=|x|和函数 g(x)= x 的
( 0 ? 易知解集为 - ? ,) [1 , + ? )
3 2

图象,

例 3:

解 不 等 式 . | x ? 1 | ? | x ? 1 |?

 



【解法 1】令
? ? 2 ( x ? ? 1) ? g ( x ) ? | x ? 1 | ? | x ? 1 | ? ? 2 x ( ? 1 ? x ? 1) ? 2 ( x ? 1) ?
h(x) ?

3 2


[ 3 4 , ?? )

, 分别作出函数 g(x)和 h(x)

的图象,知原不等式的解集为

【解法 2】原不等式等价于
g ( x ) ? | x ? 1 |, h ( x ) ? | x ? 1 | ? 3 2

| x ? 1 |?

3 2

? | x ?1|



分别作出函数 g(x)和 h(x)的图象,易求出 g(x)和 h(x)的图象的交点坐标为 所以不等式
| x ? 1 | ? | x ? 1 |?

(

3 7 , ) 4 4

3 2

[

3

, ?? )

的解集为 4
3 2

【解法 3】 由

| x ? 1 | ? | x ? 1 |?

的几何意义可设F1(-1,0) ,F2(1,0) ,M(x,y) ,
6



M F1 ? M F 2 ?

3 2 ,可知M的轨迹是以F1、F2 为焦点的双曲线的右支,其中右顶点为( ,0) ,

由双曲线的图象和|x+1|-|x-1|≥ 知 x≥ . 7.含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键. ” 注意解完之后要写上: “综上,原不等式的解集是?” 。注意:按参数讨论,最后应按参数取值分别 说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集. 如 (1)若 lo g a
2 3 ? 1 ,则 a

的取值范围是__________(答: a

? 1 或0 ? a ?

2 3

) ;

(2)解不等式 (答: a
?0

ax

2

ax ? 1

? x(a ? R )
?0

时, { x | x ? 0} ; a

时, { x | x ?

1 a

或 x ? 0} ; a

?0

时, { x |

1 a

? x ? 0} 或 x ? 0} )

提醒: (1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示; (2)不等式解集的端 点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解 集为 (?? ,1) ,则不等式
x?2 ax ? b ? 0 的解集为__________(答: (-1,2) )

五.绝对值三角不等式 定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立。 注: (1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义:当 a , b 不共线时,| a + b |≤| a |+| b |, 它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 (2)不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是:不等式|a|-|b|≤|a+b| ≤|a|+|b|, “=” 在侧 成立的条件是 ab≥0, “=” 左侧 成立的条件是 ab≤0 且|a|≥|b|;不等式|a|-|b| ≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是 ab≤0,左侧“=”成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|。 定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时,等号成立。 例 1.已知 ?
?0

?

?

?

?

?

?



x?a ??



y?b ??

,求证 .

2 x ? 3 y ? 2 a ? 3b ? 5?

例 2.(1)求函数 y ? x ? 3 ? x ? 1 的最大和最小值; (2)设 a ? R ,函数 f ? x ? ? ax 2 ? x ? a ( ? 1 ? x ? 1) . 若a
? 1 ,求 f ? x ?

的最大值

例 3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路牌的第 10km 和第 20km 处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区, 每个施工队每天在生活区和施工地 点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?

六.柯西不等式
7

? a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ?2

? a1 ? a 2 ? ? ? a n
2 2

?

2 2

? ?b

2 1

? b2 ? ? ? bn
2

2 2

? ?a b
i

i

? R , i ? 1, 2 ? n ?

等号当且仅当 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? 0 或 b i ? ka i 时成立(k 为常数, i ? 1, 2 ? n )

类型一:利用柯西不等式求最值
1.求函数 一:∵ 且 , 的最大值 ∴函数的定义域为 ,且 ,

即 二:∵ 且

时函数取最大值,最大值为 , ∴函数的定义域为









,解得



时函数取最大值,最大值为

.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解

类型二:利用柯西不等式证明不等式

2.设 、 、 为正数且各不相等,求证:

又 、 、 各不相等,故等号不能成立 ∴ 。

类型三:柯西不等式在几何上的应用
6.△ABC 的三边长为 a、b、c,其外接圆半径为 R,求证:

证明:由三角形中的正弦定理得 同理 于是左边= ,

,所以




8

七.证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是:作差(商)后通过 分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小,然后作出结论。). 常用的放缩技巧有: ?
n k ?1 ? k ? 1 k ?1 ? k 1 1 n ?1 ? 1 2 k ? 1 n ( n ? 1) ? ? 1 n
2

?

1 n ( n ? 1) k ?

?

1 n ?1

?

1 n

1 k ?1 ? k

?

k ?1

如(1)已知 a ? b ? c ,求证: a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? ab 2 ? bc 2 ? ca 2 ; (2) 已知 a , b , c ? R ,求证: a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc ( a ? b ? c ) ; (3)已知 a , b , x , y ? R ? ,且
1 a ? 1 b ,x ? y

,求证:
a?b 2

x x?a

?

y y?b


c?a 2 ? lg a ? lg b ? lg c

(4)若 a、b、c 是不全相等的正数,求证: lg

? lg

b?c 2

? lg



(5)已知 a , b , c ? R ,求证: a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? a b c ( a ? b ? c ) ; (6)若 n ? N * ,求证: ( n ? 1) 2 ? 1 ? ( n ? 1) ? (7)已知 | a |? | b | ,求证: (8)求证: 1 ?
1 2
2

n ?1 ? n
2



|a |? |b | |a?b|

?

|a |? |b | |a?b|



?

1 3
2

?? ?

1 n
2

? 2



八.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数 方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结 合法) 1).恒成立问题 若不等式 f ? x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ? m in ? A 若不等式 f ? x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ? m ax ? B 如(1)设实数 x , y 满足 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,当 x ? y ? c ? 0 时, c 的取值范围是______ (答: ? 2 ? 1, ? ? ? ) ; ? (2)不等式
x?4 ? x?3 ?a

对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围_____
?1) ;

(答: a (3)若不等式 2 x ? 1 ? m ( x ? 1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,则 x 的取值范围_____
2

(答: ( (4)若不等式 ( ? 1) n a ? 2 ?
( ? 1) n
n ?1

7 ?1 2

,

3 ?1 2

); )

对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是_____ (答: [ ? 2 , ) ) ;
2 3

(5)若不等式 x ? 2 m x ? 2 m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立,求 m 的取值范围.
2

⑹若不等式

x ? lo g a x , 对 x ? (0,
2

1 2

)

恒成立,则实数 a 的取值范围是

此题直接求解无从着手,结合函数

9

y ? x 及 y= lo g a x 在 ( 0,
2

1 2

)上的图象

易知,a 只需满足条件:
lo g a 1 2 ? 1 4 即可 a?[ 1 16 ,1)

0<a<1,且

从而解得

2). 能成立问题 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ? x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ? m ax ? A ; 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ? x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 f ? x ? m in ? B .如 已知不等式
x?4 ? x?3 ?a

在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范围____ (答: a ? 1 )

3). 恰成立问题 若不等式 f ? x ? ? A 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ? x ? ? A 的解集为 D ; 若不等式 f ? x ? ? B 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ? x ? ? B 的解集为 D .
2 例:若不等变 -2 ? x -2 ax + 6 ? 2 恰有一解,求实数 a 的值

引导分析:此题若解不等式组,就特别麻烦了。结合二次函数的图形就会容易得多。 图解:

由图象易知:a=2 或者 a=-2 九.线性规划

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