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人教A版高中数学必修1-5知识点归纳

必修 1 数学知识点
第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合

2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完

1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无 序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。

全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、 注意函数单调性证明的一般格式:
解 : 设 x1, x2 ? ?a,b? 且 x1 ? x2 , 则 :

3、 常见集合:正整数集合: N * 或 N ? ,整数集合:
Z ,有理数集合: Q ,实数集合: R .
4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任
意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 是
集合 B 的子集。记作 A ? B . 2、 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A,
则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A B.
3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作:? .并规定:
空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2n 个子
集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成
的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作: A ? B .
2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素
组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作: A ? B .
3、全集、补集? CU A ? {x | x ?U ,且x ?U} §1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应
关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集
合 B 中都有惟一确定的数 f ?x? 和它对应,那么就
称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记
作: y ? f ?x?, x ? A .

f ?x1 ? ? f ?x2 ?=…
§1.3.2、奇偶性
1、 一般地,如果对于函数 f ?x? 的定义域内任意一个
x ,都有 f ?? x? ? f ?x?,那么就称函数 f ?x? 为

偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称.
2、 一般地,如果对于函数 f ?x? 的定义域内任意一个 x ,都有 f ?? x? ? ? f ?x?,那么就称函数 f ?x? 为

奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地,如果 xn ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根。

其中 n ? 1, n ? N? .

2、 当 n 为奇数时, n an ? a ;

当 n 为偶数时, n a n ? a .

3、 我们规定:
n
⑴am ? m an

? ? a ? 0, m, n ? N *, m ? 1 ;

⑵ a?n

?

1 an

?n

?

0? ;

4、 运算性质:

⑴ a r a s ? ? a r?s a ? 0, r, s ? Q? ;

? ? ⑵ ar s ? ars ?a ? 0, r, s ?Q?;
⑶ ?ab?r ? a rbr ?a ? 0,b ? 0, r ? Q? .
§2.1.2、指数函数及其性质
1、 记住图象: y ? a x ?a ? 0, a ? 1?

§2.2.1、对数与对数运算
1、 a x ? N ? log a N ? x ;

2、 a loga N ? a .

3、 log a 1 ? 0 , log a a ? 1 .

4、当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时:

⑴ log a ?MN ? ? log a M ? log a N ;



log

a

?? ?

M N

?? ?

?

log a

M

?

log a

N



⑶ log a M n ? n log a M .

5、换底公式: log a

b

?

log c log c

b a

?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? .

6、 log a

b

?

1 log b

a

?a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? .
§2..2.2、对数函数及其性质

1、 记住图象: y ? log a x?a ? 0, a ? 1?

§2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象:

第三章、函数的应用 §3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程 f ?x? ? 0 有实根
? 函数 y ? f ?x?的图象与 x 轴有交点
? 函数 y ? f ?x?有零点.
2、 性质:如果函数 y ? f ?x?在区间 ?a,b? 上的图象
是连续不断的一条曲线,并且有 f ?a?? f ?b? ? 0 ,
那么,函数 y ? f ?x?在区间 ?a,b? 内有零点,即
存在 c ? ?a,b?,使得 f ?c? ? 0 ,这个 c 也就是方
程 f ?x? ? 0 的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法. §3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函
数拟合,最后检验.
必修 2 数学知识点
1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:
圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围 成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与
截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。
2、空间几何体的三视图和直观图

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影 的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影,平行投影的投影线是平行的。
3、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积; S侧面 ? 2? ? r ? l
⑵圆锥侧面积: S侧面 ? ? ? r ? l

⑶圆台侧面积: S侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l

⑷体积公式:

V柱体

?

S

? h ;V锥体

?

1S ?h; 3

? ? V台体

?

1 3

S上

?

S上 ? S下 ? S下 h

⑸球的表面积和体积:

S球

?

4?R 2,V球

?

4 ?R3 . 3

第二章:点、直线、平面之间的位置关系

1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条

直线在此平面内。

2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它

们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这

两个角相等或互补。

6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直

线和平面相交。

8、面面位置关系:平行、相交。

9、线面平行: ⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则

该直线与此平面平行。

⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行。
10、面面平行: ⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,
则这两个平面平行。
⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么
它们的交线平行。
11、线面垂直: ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,
那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,
则该直线与此平面垂直。
⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面
角,就说这两个平面互相垂直。
⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个
平面垂直。
⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。
第三章:直线与方程
1、倾斜角与斜率: k ? tan? ? y2 ? y1 x2 ? x1
2、直线方程:
⑴点斜式: y ? y0 ? k?x ? x0 ?
⑵斜截式: y ? kx ? b

⑶两点式: y ? y1 ? x ? x1 y2 ? y1 x2 ? x1

⑷一般式: Ax ? By ? C ? 0
3、对于直线:
l1 : y ? k1x ? b1,l2 : y ? k2 x ? b2 有:

⑴ l1

// l2

?

???bk11

? ?

k2 b2



⑵ l1 和 l2 相交 ? k1 ? k2 ;

⑶ l1

和 l2

重合 ?

?k1 ??b1

? ?

k2 b2



⑷ l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1.
4、对于直线:

l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0, 有: l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

⑴ l1

// l2

?

???BA11CB22

? ?

A2 B1 B2C1



⑵ l1 和 l2 相交 ? A1B2 ? A2 B1 ;

⑶ l1

和 l2 重合 ?

???BA11CB22

? ?

A2 B1 B2C1



⑷ l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 .
5、两点间距离公式:
P1P2 ? ?x2 ? ?x1 2 ? ?y2 ? y1 ?2
6、点到直线距离公式:
d ? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2
第四章:圆与方程 1、圆的方程:
⑴标准方程: ?x ? a?2 ? ?y ? b?2 ? r 2

⑵一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

2、两圆位置关系: d ? O1O2
⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r .
3、空间中两点间距离公式:
P1P2 ? ?x2 ? ?x1 2 ? ?y2 ? y1 ?2 ? ?z2 ? z1 ?2
必修 3 数学知识点
第一章:算法 1、算法三种语言: 自然语言、流程图、程序语言; 2、算法的三种基本结构: 顺序结构、选择结构、循环结构 3、流程图中的图框: 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规 范表示方法; 4、循环结构中常见的两种结构:
当型循环结构、直到型循环结构

5、基本算法语句: ①赋值语句:“=”(有时也用“←”) ②输入输出语句:“INPUT” “PRINT” ③条件语句: If … Then … Else … End If ④循环语句: “Do”语句 Do
… Until … End

“While”语句 While …
… WEnd ⑹算法案例:辗转相除法—同余思想 第二章:统计 1、抽样方法: ①简单随机抽样(总体个数较少) ②系统抽样(总体个数较多) ③分层抽样(总体中差异明显) 注意:在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本,

每个个体被抽到的机会(概率)均为 n 。 N
2、总体分布的估计: ⑴一表二图: ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 ⑵茎叶图: ①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据 的分布,以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大 书写,相同的药重复写。 3、总体特征数的估计: ⑴平均数: x ? x1 ? x2 ? x3 ??? xn ;
n 取值为 x1, x2 ,?, xn 的频率分别为 p1, p2 ,?, pn ,则其 平均数为 x1 p1 ? x2 p2 ??? xn pn ; 注意:频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差:一组样本数据 x1, x2 ,?, xn

? 方差: s 2

?

1 n

n i ?1

(xi

2
? x) ;

? 标准差: s ?

1 n

n
(xi
i ?1

2
? x)

注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的

稳定水平。

⑶线性回归方程

①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系;

②制作散点图,判断线性相关关系

?
③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)

? ?
?

n
xi yi ? nx y

? ??b ?
? ? ?

i ?1 n
i ?1

xi2

?

2
nx

?? a ? y ? bx

注意:线性回归直线经过定点 (x, y) 。

第三章:概率 1、随机事件及其概率: ⑴事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母 表示; ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点;

⑶随机事件 A 的概率: P(A) ? m ,0 ? P(A) ? 1 ; n
2、古典概型: ⑴基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果; ⑵古典概型的特点: ①所有的基本事件只有有限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事 件共有 n 个,事件 A 包含了其中的 m 个基本事件,则

事件 A 发生的概率 P(A) ? m 。 n
3、几何概型: ⑴几何概型的特点: ①所有的基本事件是无限个; ②每个基本事件都是等可能发生。

⑵几何概型概率计算公式:

P( A)

?

d的测度 D的测度



其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、

体积等。

4、互斥事件:

⑴不能同时发生的两个事件称为互斥事件;

⑵如果事件 A1, A2 ,?, An 任意两个都是互斥事件,则称 事件 A1, A2 ,?, An 彼此互斥。 ⑶如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率,

等于事件 A,B 发生的概率的和, 即: P(A ? B) ? P(A) ? P(B) ⑷如果事件 A1, A2 ,?, An 彼此互斥,则有: P(A1 ? A2 ??? An ) ? P(A1) ? P(A2 ) ??? P(An ) ⑸对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生,则称 这两个事件为对立事件。 ①事件 A 的对立事件记作 A
P(A) ? P(A) ? 1, P(A) ? 1? P(A)
②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事 件。
必修 4 数学知识点
第一章、三角函数 §1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角? 终边相同的角的集合:
?? ? ? ? ? 2k?,k ? Z?.
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度

的角.

2、 ? ? l . r
3、弧长公式: l ? n?R ? ? R . 180
4、扇形面积公式: S ? n?R 2 ? 1 lR . 360 2
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P?x, y?,那么:

sin? ? y, cos? ? x, tan? ? y . x
2、 设点 A?x0 , y0 ? 为角? 终边上任意一点,那么:(设
r ? x02 ? y02 )

s i n? ? y0 , cos? ? x0 , tan? ? y0 .

r

r

x0

3、 sin ? ,cos? ,tan? 在四个象限的符号和三角
函数线的画法.

4、 诱导公式一:

sin?? ? 2k? ? ? sin?, cos?? ? 2k? ? ? cos?, (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan?.

5、 特殊角 0°,30°,45°,60°,

90°,180°,270°的三角函数值.

?

? 6

? 4

? 3

sin ? cos ?
tan ?
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式

1、 平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1.

2、 商数关系: tan? ? sin ? . cos?
§1.3、三角函数的诱导公式

1、 诱导公式二:

sin?? ? ? ? ? ?sin?, cos?? ? ? ? ? ? cos?, tan?? ? ? ? ? tan?.

2、诱导公式三:
sin?? ? ? ? ?sin?, cos?? ? ? ? cos?, tan?? ? ? ? ? tan?.

3、诱导公式四:
sin?? ? ? ? ? sin?, cos?? ? ? ? ? ? cos?, tan?? ? ? ? ? ? tan?.

4、诱导公式五:
sin?? ? ? ? ?? ? cos? , ?2 ?
cos?? ? ? ? ?? ? sin ?. ?2 ?
5、诱导公式六:

sin?? ? ? ? ?? ? cos? , ?2 ?
cos?? ? ? ? ?? ? ? sin ?. ?2 ?
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象 1、记住正弦、余弦函数图象: 2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:
定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、 奇偶性、单调性、周期性. 3、 会用五点法作图. §1.4.2、正弦、余弦函数的性质
1、 周期函数定义:对于函数 f ?x? ,如果存在一个非
零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都
有 f ?x ? T ? ? f ?x?,那么函数 f ?x? 就叫做周期函
数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:
2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、 值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
§1.5、函数 y ? Asin??x ? ? ?的图象
1 、 能 够 讲 出 函 数 y ? sin x 的 图 象 和 函 数
y ? As i ?n?x ? ? ? ? b 的图象之间的平移伸缩变

换关系. 2、 对于函数:
y ? Asin??x ? ? ? ? b?A ? 0,? ? 0?有:振幅 A,

周 期 T ? 2? , 初 相 ? , 相 位 ?x ? ? , 频 率 ?

f

?

1 T

?

? 2?

.

§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.

第二章、平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念

⑴ ?a ? ? a ,
⑵当 ? ? 0 时, ?a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0时, ?a 的方向与 a 的方向相反.
? ? 2、 平面向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当
且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .
§2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理:如果 e1, e2 是同一平面内的两

1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度.

个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a ,

2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三
个要素:起点、方向、长度.
2、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称 模),记作 AB ;长度为零的向量叫做零向量;长
度等于 1 个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共
线向量).规定:零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形法则和平行四边形法则.
2、 a ? b ≤ a ? b .
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运

有且只有一对实数 ?1, ?2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2 e2 .
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1、 a ? xi ? y j ? ?x, y? .
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、 设 a ? ?x1, y1 ?,b ? ?x2 , y2 ?,则:

⑴ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?,

⑵ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ,

⑶ ?a ? ??x1,?y1 ?,

⑷ a // b ? x1 y2 ? x2 y1.
2、 设 A?x1, y1 ?, B?x2 , y2 ?,则:

AB ? ?x2 ? x1, y2 ? y1 ?.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设 A?x1, y1 ?, B?x2 , y2 ?,C?x3 , y3 ? ,则

? ? ⑴线段 AB 中点坐标为

, x1?x2 y1? y2

2

2



? ? ⑵△ABC 的重心坐标为

, x1?x2 ?x3 y1? y2 ? y3

3

3

.

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义

1、 a ? b ? a b cos? .

算叫做向量的数乘.记作: ? a ,它的长度和方向
规定如下:

2、 a 在 b 方向上的投影为: a cos? .

2

2

3、 a ? a .

2
4、 a ? a .

5、 a ? b ? a ? b ? 0 .
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、 设 a ? ?x1, y1 ?,b ? ?x2 , y2 ?,则:
⑴ a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ⑵ a ? x12 ? y12

⑶ a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
2、 设 A?x1, y1 ?, B?x2 , y2 ?,则:
AB ? ?x2 ? ?x1 2 ? ?y2 ? ?y1 2 .
§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例

第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式

1、 cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin? sin ?

2、记住 15°的三角函数值:

?

sin? cos?

tan ?

? 12

6? 2 4

6? 2 4

2? 3

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、 cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin? sin ?

2、 sin?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ?

3、 sin?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ?

? ? 4、 tan ? ? ?

? tan? ?tan ? . 1?tan? tan ?

? ? 5、 tan ? ? ?

? tan? ?tan ? . 1?tan? tan ?

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、 sin 2? ? 2sin? cos? ,

变形: sin ?

cos?

?

1 2

sin 2?

.

2、 cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ?

? 2cos2 ? ?1

? 1? 2sin2 ? ,

变形 1: cos2 ? ? 1? cos2? , 2
变形 2: sin2 ? ? 1? cos2? . 2

3、 tan 2?

? 2 tan? 1? tan2 ?

.

§3.2、简单的三角恒等变换

1、 注意正切化弦、平方降次.

必修 5 数学知识点

第一章:解三角形 1、正弦定理:
a ? b ? c ? 2R . sin A sin B sin C
2、余弦定理:
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A, b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cosB, c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cosC.

cos A ? b2 ? c2 ? a2 , 2bc
cosB ? a2 ? c2 ? b2 , 2ac
cosC ? a2 ? b2 ? c2 . 2ab

3、三角形面积公式:

S ?ABC

?

1 absin C 2

?

1 bcsin 2

A?

1 acsin B 2

第二章:数列

1、数列中 an 与 S n 之间的关系:

an

?

???SS1n

,当n ? 1时, ? Sn?1,当n ? 1时.

2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前
一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等 差数列。

⑵通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d
⑶求和公式:

Sn

?

na1

?

n?n ?1? d
2

?

?a1

? an ?n
2

3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前
一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等 比数列。

⑵通项公式: an ? a1q n?1

? ? ⑶求和公式: Sn

?

a1 ? an q 1? q

?

a1 1 ? q n 1? q

第三章:不等式

1、当?当a且,b仅? 当0时a,? ba时? b取?等2号a?b

2、

当a,b ? R时,a2 ? b2 ? 2ab
?当且仅当a ? b时取等号?

3、变形:

ab

?

??

a

?

b

?2 ?

, ab

?

a2

?

b2

?2?

2


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