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育英教育 三角函数专题总复习 知识点总结与经典例题讲解-高三数学

三角函数专题复习讲义
应用 弧 长 与扇 形 面积公式 应用 任意角 的概念 角度制与 弧度制 任意角的 三角函数 三 角 函数 的 图象和性质 应用 已 知 三角 函 数值求角 同 角 三函 数 的基本关系 应用 计 算 与化 简 证明恒等式

诱导公式

和角公式 应用 差角公式 应用

应用

倍角公式

1、弧度制:把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度; 三角函数线:如右图,有向线段 AT 与 MP、 OM 分别叫做 ? 的 正切线、正弦线、余弦线。 角度制与弧度制的互化: 3600 ? 2? , 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

y P A M O T x

1800 ? ? ,
1°=
? ≈0.01745 (rad) 180

00

3 00

450

6 00

9 00

1200
2? 3

1350
3? 4

1500
5? 6

18 0 0

27 0 0
3? 2

36 0 0
2?

0

? 6

? 4

? 3

? 2

?

2、特殊角的三角函数值: 1 0 0 sin3 0 = sin 0 = 0 2 0 2 sin 45 = 2 0 cos 0 = 1 3 0 cos3 0 = 2 2 0 cos 45 = 0 tan 0 = 0 2 3 0 tan3 0 = 0 tan 45 =1 3

sin6 0 =

0

3 2

sin9 0 =1 cos9 0 =0 tan9 0 无 意 义
0 0

0

1 0 cos6 0 = 2
tan6 0 = 3
0

3、弧长及扇形面积公式
1 扇形面积公式:S= l.r 2 ? ----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4、任意角的三角函数

弧长公式: l ? ? .r

设 ? 是一个任意角,它的终边上一点 p(x,y),
y r (2)各象限的符号:

r= x 2 ? y 2
y x

(1)正弦 sin ? =

余弦 cos ? =

x r

正切 tan ? =

y

y + — x —
+

y + x + + — + O —

+
?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?

O

+ —

O —

sin ? cos ? tan ? 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:sin2 ? + cos2 ? =1。 sin ? ? (2)商数关系: =tan ? ( ? ? ? k? , k ? z ) cos ? 2 6.诱导公式:



k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 奇变偶不变,符号看象限。 2

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
? 5? sin ? ?
? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
y=sinx y=cosx y=tanx

定义域:

R

R [-1,1] 2π 偶函数

?? ? ? x | x ? R, x ? k? ? ? 2? ?
R π 奇函数
? ? ? ? ?? 2 ? k? , 2 ? k? ? ? ?

值域: [-1,1] 周期: 2π 奇偶性: 奇函数 单调区间: 增区间; ?? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? ; ? ?
? 2 2 ?

?? ? ? 2k? ,2k? ?; ?2k? , ? ? 2k? ?

减区间 ?? ? 2k? , 3? ? 2k? ? ; ? ?
?2 2 ?

无减区间 无对称轴

对称轴: x ? k? ? 对称中心: ?k? ,0?

?
2

x ? k?
?? ? ? ? k? ,0 ? ?2 ?

? k? ? (以上 k 均为整数) ,0 ? ? ? 2 ?

考点一: 求三角函数的定义域、值域和最值、三角函数的性质(包括奇偶性、单 调性、周期性)这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多,主要是考查三 角的恒等变换及三角函数的基础知识。 例 1、已知函数 f(x)= log 1 (sin x ? cos x)
2

求它的定义域和值域;求它的单调区间;判断它的奇偶性;判断它的周期性。 解 : 1 ) x 必 须 满 足 sinx-cosx>0 , 利 用 单 位 圆 中 的 三 角 函 数 线 及 (
2k? ? ? 5 ? 5 ? x ? 2k? ? ? ,k∈Z∴ 函数定义域为 (2k? ? , 2k? ? ?) ,k∈Z 4 4 4 4 ? 4 ? 5 ? , 2k? ? ?) 时, 0 ? sin(x ? ) ? 1 4 4 4 1 2

∵ sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ) ∴ 当 x∈ (2k? ?
1 2

∴ 0 ? sin x ? cos ? 2 ∴ y ? log 1 2 ? ? ∴ 函数值域为[ ? , ?? ]
2

(3) f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 ∴ f(x)不具备奇偶性 ∵ (4)∵ f(x+2π )=f(x) ∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π 注;利用单位圆中的三角函数线可区分 sinx-cosx 的符号。

例 2、 化 简 f ( x) ? cos(
6k ? 1 6k ? 1 ? ? ? 2 x) ? cos( ? ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x)( x ? R, k ? Z ), 并 3 3 3

求函数 f (x) 的值域和最小正周期. 解: f ( x) ? cos( 2k? ?
? ? ? ? 2 x) ? cos( 2k? ? ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) 3 3 3 ? ? ? 2 cos( ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) ? 4 cos 2 x 3 3 2? ?? 所以函数 f(x)的值域为 ?? 4,4?,最小正周期 T ?

?

8、三角函数公式:

两角和与差的三角函数关系 sin( ? ? ? )=sin ? · ? ? cos ? · ? cos sin cos( ? ? ? )=cos ? · ? ? sin ? · ? cos sin
tan? ? tan ? tan( ? ? ) ? ? 1 ? tan? ? tan ?

倍角公式 sin2 ? =2sin ? · ? cos cos2 ? =cos2 ? -sin2 ? =2cos2 ? -1 =1-2sin2 ?
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

降幂公式: 1+cos ? = 2 cos 2 1-cos ? = 2 sin 2

?

?

2

2

升幂公式 : 1 ? cos 2? cos2 ? ? 2 1 ? cos 2? sin2 ? ? 2

合一变形公式 asinα +bcosα = a 2 ? b 2 sin (α +φ ) a 2 ? b 2 cos = (α - ? ) 14、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有: 1、常数代换法:如: 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? ? cot? ? sec 2 ? ? tan2 ? 2、配角方法: 3、 ? ? (? ? ? ) ? ?

2? ? (? ? ? ) ? ?? ? ? ?

? ?

? ??
2

?

? ??
2

4、 a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ?(其中 tan ? ? 的符号与象限。

b ) 的应用, 注意 ? a

? ?? 5、常见三角不等式: (1) 、若 x ? ? 0, ?.则 sin x ? x ? tan x ? 2?

? ?? (2) 、若 x ? ? 0, ?.则1 ? sin x ? cos x ? 2 ? 2?

(3) n x ? o x ? 1 、 is c s 例 3、 (1)已知 cos(2α +β )+5cosβ =0,求 tan(α +β )·tanα 的值; (2)已知
2 sin ? ? cos ? ? ?5 ,求 3 cos 2? ? 4 sin 2? 的值。 sin ? ? 3 cos ?

解:从变换角的差异着手。 ∵ 2α +β =(α +β )+α ,β =(α +β )-α ∴ 8cos[(α +β )+α ]+5cos[(α +

β )-α ]=0 展开得: 13cos(α +β )cosα -3sin(α +β )sinα =0 同除以 cos(α +β )cosα 得:tan(α +β )tanα = 以三角函数结构特点出发 ∵
2 tan ? ? 1 2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 ∴ ? ?5 ∴ tanθ =2 ? tan ? ? 3 sin ? ? 3 cos ? tan ? ? 3
3(cos 2 ? ? sin 2 ?) ? 8 sin ? cos ? sin ? ? cos ?
2 2
2

13 3

∴ 3 cos 2? ? 4 sin 2? ? 例4
2

?

3 ? 3 tan 2 ? ? 8 tan ? 1 ? tan ?
2

?

7 5

求函数 y=sin x+2sinxcosx+3cos 的最大值 1 ? cos2x 解:∵2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x= 2 ∴y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x 1 ? cos2x =1+sin2x+2· =sin2x+cos2x+2 2 ? ? ? = 2 (sin2x·cos +cos2x·sin )+2= 2 sin(2x+ )+2 4 4 4 ? ? ∴当 2x+ = +2kπ 时,ymax=2+ 2 4 2 ? 即 x= +Kπ (K∈Z),y 的最大值为 2+ 2 8 注;齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂。 9.正弦定理 :
a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C 变形公式有:

(1)a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; (2)sin A ? (3) sin A : sin B : sin C ? a : b : c 等.

a b c , sin B ? , sin C ? ; 2R 2R 2R

余弦定理: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 10、利用正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下四类解斜三角 形问题: (1)已知两角和任一边,求其它两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角从而进一步求其它的边和角, (3)已知三边求三内角; (4)已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个内角。 11、解斜三角形的应用题的解题步骤: (1)分析属于哪种类型的问题(如:测量距离、高度、角度等) ; (2)依题意画出示意图,并把已知量标在示意图中; (3)最后确定用哪个定理转化、哪个定理求解,并进行求解; (4)检验并作答.

三角形面积定理: S ?

12、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像和性质:作图时常用两种方法: ①五点法:

x
?x ? ?
y ? A sin(?x ? ? )

0 0

? 2
A

?
0

3? 2

2?

-A

0

②图象变换法:

y ? sin x ?

(1) y ? sin( x ? ? ) ? y ? sin(? x ? ? ) (2) y ? sin? x ? y ? six(? x ? ? )

? y ? A sin(? x ? ? )

(其中A ? 0,? ? 0) 13、结合函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的简图可知: 该函数的最

大值是 A ? B , 最小值是 B ? A , 周期是 T ? 初相是 ? ;
例 4、设函数 f(x)=2 sin x cos (1) 求 ? 的值;
2

2?

?

, 频率是 f ?

? , 相位是 ?x ? ? , 2?

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(2) 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

2, f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 ,因为

0 ? ? ? ? ,所以 ? ?
(2)因为 f ( A) ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 6 2 2
b sin A 1 2 ,因为 b ? a ,所以 ? 2? ? a 2 2

a ? 1, b ? 2, 所 以 由 正 弦 定 理 , 得 sin B ?
B?

?
4

或B ?

3? 7? ? 3? ? ? . ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 4 4 6 4 12 6 4 12 考点三: 关于三角函数的图象, 立足于正弦余弦的图象,重点是函数
所以当 B ?

?

3? . 4

时, C ? ? ?

?

?

?

?

的图象与 y=sinx 的图象关系。根据图象求函数的表达式,以及 三角函数图象的对称性 例 7(05 年福建)函数 y ? sin(?x ? ? )(x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则 ( C ) ? ? ? ? A. ? ? , ? ? B. ? ? , ? ? 2 4 3 6 ? ? ? 5? C. ? ? , ? ? D. ? ? , ? ? 4 4 4 4 例 8、 (05 年全国卷Ⅰ17)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的 一条对称轴是直线 x ?

?
8

。 (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调增区间; (Ⅲ)

画出函数 y ? f (x) 在区间 [0, ? ] 上的图像。 (本小题主要考查三角函数性质及图像 的基本知识,考查推理和运算能力,满分 12 分.) ? ? 解: (Ⅰ)? x ? 是函数 y ? f ( x) 的图像的对称轴,? sin( 2 ? ? ? ) ? ?1, 8 8 ? ? 3? ? ? ? ? k? ? , k ? Z . ? ?? ? ? ? 0, ? ? ? . 4 4 2 3? 3? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? ? ,因此 y ? sin( 2 x ? ). 4 4 ? 3? ? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z . 由题意得 2 4 2 3? ? 5? 所以函数 y ? sin( 2 x ? )的单调增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z . 4 8 8 3? (Ⅲ)由 y ? sin( 2 x ? )知 4 ? 3? 5? 7? ? x 0 8 8 8 8

y

?

2 2

-1

0

1

0

?

2 2

故函数 y ? f ( x)在区间 0, ? ]上图像是 (略) [ 考点四,三角函数与其它知识交汇设计试题,是突出能力、试题出新的标志,近 年来多出现于三角函数与向量等知识交汇。 例 9 ( 05 年 江 西 ) 已 知 向 量 x x ? x ? x ? a ? (2 cos , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4 求函数 f(x)的最大值,最小正周期,并写出 f(x)在[0,π ]上的单调区间. x x ? x ? x ? 解: f ( x) ? a ? b ? 2 2 cos sin( ? ) ? tan( ? ) tan( ? ) 2 2 4 2 4 2 4 x x 1 ? tan tan ? 1 x 2 x 2 x 2? 2 ? 2 2 cos ( sin ? cos ) ? 2 2 2 2 2 1 ? tan x 1 ? tan x 2 2 x x x ? 2sin cos ? 2 cos 2 ? 1 2 2 2 ? ? sin x ? cos x = 2 sin( x ? ) . 4 ? ? ? 所以 f ( x)的最大值为 2 ,最小正周期为 2?, f ( x)在[0, ] 上单调增加,[ , ] 上单 4 2 4 调减少. 例 10、 (05 年山东卷) 已知向量 m ? (cos?, sin ?)和n ? ( 2 ? sin ?, cos?), ? ? (?,2?),且 m ? n ?
? ? 求 cos( ? ) 的值. 2 8 ? ? 解: m ? n ? (cos? ? sin ? ? 2, cos? ? sin ? )

8 2 , 5

? ? m ? n ? (cos? ? sin ? ? 2 ) 2 ? (cos? ? sin ?) 2 ? 4 ? 2 2 (cos ? ? sin ?)

? ? ? 4 ? 4 cos(? ? ) ? 2 1 ? cos(? ? ) 4 4
由已知 m ? n ?
? 7 8 2 ,得 cos( ? ? ) ? 4 25 5

? ? ? 又 cos( ? ? ) ? 2 cos 2 ( ? ) ? 1 4 2 8 ? ? 16 所以 cos 2 ( ? ) ? 2 8 25

5? ? ? 9? ? ? ? ? ? ? cos( ? ) ? 0 8 2 8 8 2 8 ? ? 4 ? cos( ? ) ? ? 2 8 5 热点预测 ? ? ? ? ? 2?,?

1、下列函数中,既是(0, A、y=lgx2

? )上的增函数,又是以π 为周期的偶函数是 2

B、y=|sinx|

C、y=cosx

D、y= 2 sin 2 x

2、如果函数 y=sin2x+acos2x 图象关于直线 x=A、- 2 B、-1 C、1

? 对称,则 a 值为 8

D、 2
? 时,ymax=2; 8

3、函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,φ >0) ,在一个周期内,当 x= 当 x= ? 时,ymin=-2,则此函数解析式为 A、 y ? 2 sin( ? )
? y ? ?2 sin(2x ? ) 8 x 2 ? 4
5 8

B、 y ? 2 sin(2x ? )

? 4

C、 y ? 2 sin(x ? )

? 4

D、

4、已知 tanα ,tanβ 是方程 x 2 ? 3 3x ? 4 ? 0 两根,且α ,β ? (? , α +β 等于 A、 ? ?
2 3

? ? ) ,则 2 2

B、 ? ? 或

2 3

? 3

C、 ?

? 2 或 ? 3 3

D、

? 3

5、函数 f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是 A、5.5 B、6.5 C、7 D、8

6.方程 sinx=lgx 的实根个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错(考查三角函数与对数函数的图像) 4 5 7.在△ABC 中,(1)已知 tanA= sinB= ,则∠C 有且只有一解,(2) 5 12 3 12 已知 tanA= ,sinB= ,则∠C 有且只有一解,其中正确的是( ) 5 5 (A)只有(1) (B)只有(2) (C)(1)与(2)都正确 (D)(1)与(2)均不正确 (考查综合有关公式,灵活处理三角形中的计算) 8、 (2006 年辽宁卷) ?ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量

? ? ? ? ? ? p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角 C 的大小为
(A)

? 6

(B)

? 3

(C)

? 2

(D)

2? 3

9、 (2006 年辽宁卷)设 O(0, 0) , A(1, 0) , B(0,1) ,点 P 是线段 AB 上的一个动

??? ? ??? ? ??? ??? ??????? ? ? ? 点, AP ? ? AB ,若 OP ? AB ? PA ?PB ,则实数 ? 的取值范围是
(A)
1 ? ? ?1 2

(B)

1?

2 ? ? ?1 2

(C)

1 2 ? ? ? 1? 2 2

(D)

1?

2 2 ? ? ? 1? 2 2

? ? ? ? ? 10、( 2006 年湖南卷)已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的方程 x2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有

? ? 实根,则 a 与 b 的夹角的取值范围是
A.[0,

(

)

? ] 6

? B. [ , ? ] 3

? 2? C. [ , ] 3 3

? D. [ , ? ] 6

11 、 函 数 f(x)=sin(x+ θ )+ 3 cos(x- θ ) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 则 θ =________。 12、数 y=2sinxcosx- 3 (cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为________。 13、知(x-1)2+(y-1)2=1,则 x+y 的最大值为________。 (一) 解答题 14、是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acosx+ a ? 在闭区间[0, ]上的 最大值是 1?若存在,求出对应的 a 值。 15、已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos2x+ (1)
5 3 (x∈R) 2 5 8 3 2 ? 2

求 f(x)的最小正周期;求 f(x)单调区间;求 f(x)图象的对称轴,对

称中心。 16 、 函 数 y=cosx-1(0 ≤ x ≤ 2 π ) 的 图 像 与 x 轴 所 围 成 图 形 的 面 积 是 _________。(考查三角函数图形的对称变换) kx ? 17、设三角函数 f(x)=sin( + ),其中 k≠0 5 3 (1)写出 f(x)的极大值 M,极小值 m,最小正周期 T。 (2)试求最小的正整数 k, 使得当自变量 x 在任意两个整数间(包括整数本身) 变化时,函数 f(x)至少有一个值是 M 与一个值 m,(考查三角函数的最值、周期, 以及分析问题、解决问题的能力) 5 3 ? 18、是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acosx+ a ? 在闭区间[0, ]上 8 2 2 的最大值是 1?若存在,求出对应的 a 值。

19. (本小题满分 13 分)已知 A、B、C 是 ?ABC 三内角,向量
m ? (?1, 3 ), n ? (cos A, sin A)

且 m ? n ? 1, (1)求角 A; (2) 若
1 ? sin 2 B ? ?3, 求tanC。 cos 2 B ? sin 2 B

? ? ? 20、已知 f ?x? ? ?4 cos2 x ? 4 3a sin x cos x ,将 f ?x ? 的图象按向量 b ? ? ? ,2 ? ? 4 ?

平移后,图象关于直线 x ?

?
12

对称。 、求实数 a 的值,并求 f ?x ? 取得最大 (1)

值时的 x 的集合。 (2) 、求 f ?x ? 的单调递增区间。

答案与提示

2、B 3、B 4、A 5、C 6.C 7 B 8、B ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP ? ? AB ? OP ? (1 ? ? )OA ? ? OB ? (1 ? ? , ? ), 9 【解析】 ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? PB ? AB ? AP ? (1 ? ? ) AB ? (? ? 1,1 ? ? ), AP ? ? AB ? (?? , ? )

1、B

??? ??? ??????? ? ? ? OP ? AB ? PA ?PB ? (1 ? ?, ? )(?1,1) ? (?, ?? )(? ?1,1? ? ) ? 2? 2 ? 4? ? 1 ? 0

解得: 1 ?

2 2 ,因点 P 是线段 AB 上的一个动点,所以 0 ? ? ? 1 ,即满 ? ? ? 1? 2 2 2 ? ? ? 1 ,故选择答案 B. 2

足条件的实数 ? 的取值范围是 1 ? 10、 B 15、 (1)T=π (2)增区间[kπ (3)对称中心(
? 6

11、 k? ? ,k∈Z

12、-4

13、 2 ? 2

14、a ?

3 2

? 5 5 11 ,kπ + π ],减区间[kπ + ? , k? ? ?] 12 12 12 12

k? ? k 5 ,对称轴 x ? ? ? ? ,k∈Z ? ,0) 2 6 2 12

16.



17.

(1)M=1,m=-1,T=

10? k

(2)k=32

(提示:令 T

≤1)

18、

a?

3 2

?? ? 19、解: (1)∵ m ? n ? 1 ∴ ?1, 3 ? ? cos A,sin A? ? 1

?

?

即 3 sin A ? cos A ? 1 ∵0 ? A ? ?,?

? 3 1? 2 ? sin A ? ? cos A ? ? ? 1 , ? 2 2? ? ?

?? 1 ? sin ? A ? ? ? 6? 2 ?

?

6 6 1 ? 2sin B cos B ? ?3 , (2)由题知 cos 2 B ? sin 2 B

? A?

?

?

5? 6

∴ A?

?
6

?

?
6

∴A?

?
3

整理得 sin 2 B ? sin B cos B ? 2cos2 B ? 0

∴ cos B ? 0 ∴ tan 2 B ? tan B ? 2 ? 0 ∴ tan B ? 2
tan A ? tan B 1 ? tan A tan B

∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 而 tan B ? ?1 使 cos2 B ? sin 2 B ? 0 ,舍去 ∴
tan C ? tan ?? ? ? A ? B ? ? ? ?

? ? tan ? A ? B?

??

??

2? 3 8?5 3 ? 11 1? 2 3

?? ? ? ? ? 20、 、 (1) 按向量 b ? ? ? ,2 ? 平移后 g ?x ? ? f ? x ? ? ? 2 ? 2 sin 2 x ? 2 3a cos2 x 由 4? ? 4 ? ?
于 g ?x ? 的图象关于 x ?
?? ? 对称,有 g ?0? ? g ? ? ,即 2 3a ? 3 ? 3a 解得 a ? 1 12 ?6?

?

?? ? 则 f ?x ? ? 2 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 2 ? 4 sin? 2 x ? ? ? 2 6? ?

, 当 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
3

( k ? Z )时, f ?x ? 取得最大值 2,因此 f ?x ? 取得最大值时 x 的集合是:

?? ? ? x ? k? ? ?(k ? Z ) 3? ?
(2) 、由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?

? ?? ? 解得 ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 因此原函数的 2 6 3? ?

? ?? ? 单调区间是: ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 6 3? ?


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