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正余弦函数的图像与性质习题课


正余弦函数的 图像与性质 (习题课)
1

五点作图法 ? ( ,1) 2? 1 ( ,1) 2 ? ( ? ,0) ( 2? ,0) ( ,1) ( 2? ,0) (0,0) ( ? ,0) ? 2 o ? x 3? ? 2? ? ? (0,0) ( ? ,0) 2 ( 2 ,1) 2 2 ( 2? ,0) (0,0) ? -1 ( ? ,0) (3? ,-1) ( ,1) ( 2? ,0) 3? 2 (0,0) ? ( ? ,0)2 3,1) ( ?3? ( 2? ,0) ( ,1) ( ( 3 ( ? ,0) 2 2 ,1)? ,1) ( 2? ,0) 2 (0,0) ? 2( 3,1) ? (0,0) ( ( ? ,0) ( 2? ,0) 2 3? ,-1) ? 2 ,1) (? (0,0) 32 ,-1) ( ? ,1) ( 2? ,0) ( ? ,0) 3? ( (0,0) 2 ( 2? ,0) ( ? ,0) ( (222,-1) ,-1) ( 2 ,1) 五点法—— (0,0)
y

2

正弦函数的“五点画图法”
x
sinx y 1
● ●

0 0

?
2

? 0

3? 2

2? 0

1

-1

0

? 2

?



3? 2




2?

x

-1

3

余弦函数的“五点画图法”
x
cosx 0 1
?
2

? -1

3? 2

2? 1

0

0

y
1
● ●

o
-1

● ? 2

?


3? 2



2?

x

4

y

1-

图象的最高点
-

( ? ,1) 2

o
-1 -

?
6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11 ? 6

2?

x 与x轴的交点
(0,0) (? ,0) (2? ,0)

简图作法 (五点作图法) (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) y (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点) 图象的最高点
1-

图象的最低点

( 32?, ? 1)

(0,1) (2? ,1)

与x轴的交点
? ( ? ,0) ( 32 ,0) 2

-

o
-1 -

?
6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11 ? 6

2?

x 图象的最低点

(? ,?1)
5

一、正弦、余弦函数的定义域、值域
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

y=sinx (x?R)

定义域

R


y=cosx (x?R)
y
1 -4? -3? -2? -?

域 [ - 1, 1 ]

周期性 T = 2?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

6

四、正弦函数的单调性 y
y=sinx (x?R)
1

-3?

?

5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

? ? ?? ? 增区间为 [[? +2k?, 2 +2k?],k?Z , ] 2 2 2 3? ? ? 3? 减区间为 [[ +2k?, +2k?],k?Z , ] 2 2 2

其值从-1增至1 其值从 1减至-1

五、余弦函数的单调性
y=cosx (x?R)
-3?
? 5? 2

y

1 -2?
? 3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

增区间为 [ ?? +2k?, 2k?],k?Z 减区间为 [2k?, 2k? + ?], k?Z ,

其值从-1增至1 其值从 1减至-1

7

正弦、余弦函数的性质 六、正弦、余弦函数的对称性 y
1 -4? -3? -2? -?

y ? sin x( x ? R)
4? 5?

o
-1

?

2?

y=sinx的图象对称轴为: x ? k? ?

?
2

3?

6?

,k ? Z;

x

0 y=sinx的图象对称中心为: (k?, ),k ? Z . 任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期; 对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
y=cosx的图象对称轴为:
1 -4? -3? -2? -?

y=cosx的图象对称中心为:(k? y
o
-1 ?

x ? k?,k ? Z;
?
2?
3? 4?

? , ),k ? Z . 0 2
5? 6?

y ? cos x( x ? R)

8

x

例1、求下列函数的单调区间:
y=3sin(2x? 4

)

解: 2k? ? 2 ? 2 x ? 4 ? 2k? ? 2 ? 3? k? ? ? x ? k? ?
8 8
2k? ?

?

?

?

?

2 4 3? 7? k? ? ? x ? k? ? 8 8

? 2x ?

?

? 2k? ?

3? 2

所以:单调增区间为 [k? ?

3? , k? ? ],k ? Z 8 8 3? 7? , k? ? ],k ? Z 单调减区间为 [k? ? 8 8

?

9

例2、 求 y ? cos x ? 4cos x ? 5的值域
2

令 解: t ? cos x, 则 ? 1 ? t ? 1,

y ? t ? 4t ? 5 ? (t ? 2) ? 1
2 2

当t ? ?1时 ymax ? 10
当t ? 1时

ymin ? 2

所以函数的值域为 ?2,10?
10

5? 1、y ? sin( 2 x ? )的一条对称轴是 ( C ) 4 5? A、x ? ? B、x ? ? C、x ? D、x ? 2 4 8 4 k? ? ? , ),k ? Z . 0 该函数的对称中心为 ( 2 8

补充例题:
?

?

?

2、若y ? sin 2 x ? a cos 2 x关于x ? ?

?
8

对称,

-1 则a ? __________ _ .
11

例3、 求下列函数的定义域,值域。 ?3? y ? lgsin x ?1? y ? 2 ? sin x ? 2? y ? ?4cos x 解(1)显然 x ? R 1 ? y ? 3 值域为 ?1,3?

? 2?由? 4cos x ? 0, 得 cos x ? 0,
3? 得2 k? ? ? x ? 2 k ? ? ?k ? z? 2 2

?

又因为-1 ? cos x ? 1, 所以 ? 4 ? ?4cos x ? 4,
由题意可得0 ? ?4cos x ? 4
所以0 ? ?4cos x ? 2,即y ? 0
12

?3? y ? lgsin x
?3?由sin x ? 0, 得2k? ? x ? 2k? ? ? ? k ? z ?
又因为0 ? sin x ? 1,lgsin x ? 0, 即y ? 0.

若(1)的条件改为 [ ,
呢?

? ?
6 3

]

13

例4(机动) ? ? ? 1.已知函数 y ? 2 sin ? x ? 4 ? ? ? ? ? 是奇函数,则 ? 的一个取值 为 (B )
0 A.
? B. 4

?

? C. 2

? D.
14

课堂小结:
正弦、余弦函数的性质: 1、定义域 R 2、值域 [ - 1, 1 ] (二次最值问题) 3、周期性 T = 2?
4、奇偶性与单调性:
函数 奇偶性 [? 正弦函数 奇函数 单调性(单调区间)
? ? +2k?, +2k?],k?Z 单调递增 2 2 ? 3? [ +2k?, +2k?],k?Z 单调递减 2 2

余弦函数

偶函数

[ ?? +2k?, 2k?],k?Z [2k?, 2k? + ?], k?Z

单调递增 单调递减
15

课堂小结:
注: ⑴求函数的单调区间:
⑵函数的单调性应用 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间

5、对称性: ? y=sinx的图象对称轴为: x ? k? ? ,k ? Z; 2 对称中心为: (k?, ),k ? Z . 0 y=cosx的图象对称轴为: x ? k?,k ? Z; 对称中心为:(k?

? , ),k ? Z . 0 2

?

任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期; 对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期. 16

行动才是果实,言论只是叶子!
17

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