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新人教版必修二高中数学:解析几何中圆的标准方程教案 人教版必修2

4.1.1 圆 的 标 准 方 程 【教学目标】 (一)知识与技能 (1) 掌 握 圆 的 标 准 方 程 , 能 根 据 圆 心 、 半 径 写 出 圆 的 标 准 方 程 . (2) 会 用 待 定 系 数 法 求 圆 的 标 准 方 程 . (二)过程与方法 进 一 步 培 养 学 生 能 用 解 析 法 研 究 几 何 问 题 的 能 力 ,渗 透 数 形 结 合 思 想 ,通 过 圆 的 标 准 方 程 解 决 实 际 问 题 的 学 习 ,注 意 培 养 学 生 观 察 问 题 、发 现 问 题 和 解 决 问 题的能力. (三)情感态度与价值观 通过运用圆的知识解决实际问题的学习, 从而激发学生学习数学的热情和兴 趣. 【教学重点】 圆的标准方程. 【教学难点】 会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 【教学方法】 启发、引导、讨论. 【教学过程】 一、新课引入 在 直 角 坐 标 系 中 , 确 定 直 线 的 基 本 要 素 是 什 么 ?圆 作 为 平 面 几 何 中 的 基 本 图 形 , 确 定 它 的 要 素 又 是 什 么 呢 ? 什 么 叫 圆 ?在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 任 何 一 条 直 线 都 可 用 一 个 二 元 一 次 方 程 来 表 示 , 那 么 , 圆 是 否 也 可 用 一 个 方 程 来 表 示 呢 ?如 果 能,这个方程又有什么特征呢? 二、讲授新课 确 定 圆 的 基 本 条 件 为 圆 心 和 半 径 ,设 圆 的 圆 心 坐 标 为 A( a, b),半 径 为 r ( 其 中 a 、 b 、 r 都 是 常 数 , r ? 0 ) . 设 M ( x, y )为 这 个 圆 上 任 意 一 点 , 那 么 点 M 满 足 的 条 件 是( 引 导 学 生 自 己 列 出 ) P ? {M MA ? r} , 由 两 点 间 的 距 离 公 式 让 学 生 写出点 M 适合的条件 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r ① 2 化 简 可 得 : ( x ? a)2 ? ( y ? b) ? r2 ② 2 引 导 学 生 自 己 证 明 ( x ? a)2 ? ( y ? b) ? r2为 圆 的 方 程 , 得 出 结 论 . 若 点 M ( x, y )在 圆 上 ,由 上 述 讨 论 可 知 ,点 M 的 坐 标 适 用 方 程 ② ,说 明 点 M 与圆心 A 的距离为 r ,即点 M 在圆心为 A 的圆上. 所 以 方 程 ② 就 是 圆 心 为 A( a, b), 半 径 为 r 的 圆 的 方 程 , 我 们 把 它 叫 做 圆 的 标 准方程. 三、例题解析 例 1 : 写 出 圆 心 为 A( 2,? 3) 半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 , M 2 (? 5, ?1) 是 否 在 这 个 圆 上 . M1 (5,? 7 ) 分析:可以从计算点到圆心的距离入手. 2 点 M ( x0 , y0 ) 与 圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b) ? r2的 关 系 的 判 断 方 法 : ( 1 ) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 , 点 在 圆 外 ( 2 ) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 , 点 在 圆 上 ( 3 ) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 , 点 在 圆 内 解 : 圆 心 是 A( 2,? 3) 半径长等于 5 的圆的标准方程是 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 . 把 点 M1 (5,? 7 ) 的 坐 标 代 入 方 程 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 ,左 右 两 边 相 等 ,点 M 1 的 坐 标 适 合 圆 的 方 程 ,所 以 点 M 1 在 这 个 圆 上 ;把 点 M 2 (? 5, ?1) 的 坐 标 代 入 方 程 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 ,左 右 两 边 不 相 等 ,点 M 2 的 坐 标 不 适 合 圆 的 方 程 ,所 以 点 M2 不在这个圆上. 例 2 : ?ABC 的 三 个 顶 点 的 坐 标 是 A( 5, 1) B 它的外接圆的 , ( 7, ? 3) C, ? ( 2,, 求 8) 方程. 师 生 共 同 分 析 :从 圆 的 标 准 方 程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 可 知 ,要 确 定 圆 的 标 准 方程,可用待定系数法确定 a 、 b 、 r 三个参数.(学生自己运算解决) ( ?ABC 外 接 圆 的 圆 心 是 ?ABC 的 外 心 ,即 ?ABC 三 边 垂 直 平 分 线 的 交 点 .) 2 解 : 设 所 求 圆 的 方 程 是 ( x ? a)2 ? ( y ? b) ? r2. ① , ( 7, ? 3) C, ? ( 2,都8) 因 为 A( 5, 1) B 在 圆 上 ,所 以 它 们 的 坐 标 都 满 足 方 程 ① .于 是 解此方程组, ? a?2 ? 得 ? b ? ?3 ? r 2 ? 25 ? 所 以 ?ABC 的 外 接 圆 的 方 程 是 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 . 例 3 :已 知 圆 心 为 C 的 圆 经 过 点 A(1, 1) 和 B(2, ?2) , 且 圆 心 在 l : x ? y ? 1 ? 0上 , 求圆心为 C 的圆的标准方程. 师 生 共 同 分 析 :如 图 确 定 一 个 圆 只 需 确 定 圆 心 位 置 与 半 径 大 小 . 圆 心 为 C 的 圆 经 过 点 A(1, 1) 和 B(2, ?2) , 由 于 圆 心 C 与 A , B 两 点 的 距 离 相 等 ,所 以 圆 心 C

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