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福建省三明市高三5月质量检测文科数学试题+Word版含解析

2018 年三明市普通高中毕业班质量检查测试文科数学

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1. 若命题 :

,则 为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】分析:由题意结合特称命题的否定方法否定所给的命题即可.

详解:特称命题的否定为全称命题,修改量词,否定结论,

故若命题 :

,则 为

.

本题选择 B 选项.

点睛:本题主要考查特称命题的否定,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2. 已知集合



,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】分析:由题意首先求得集合 A,B,然后进行交集运算即可求得最终结果.

详解:求解二次不等式

可得:



结合交集的定义可得:

.

表示为集合的形式即 .

本题选择 C 选项.

点睛:本题主要考查集合的表示方法,交集的定义等知识,意在考查学生的转化能力和计算

求解能力.

3. 若复数满足

是虚数单位,则复数的共轭复数 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】分析:由题意首先求得复数 z,然后求解其共轭复数即可求得最终结果.

详解:由题意可得:



结合共轭复数的定义可知:

.

本题选择 D 选项.

点睛:本题主要考查复数的四则运算法则,共轭复数的概念等知识,意在考查学生的转化能

力和计算求解能力.

4. 已知向量



,且 ,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】分析:由向量平行的充分必要条件首先求得实数 t 的值,然后结合向量的坐标运算

法则求得向量的模即可.

详解:由向量平行的充分必要条件可得:

,则: ,

即:





据此可得向量的模

.

本题选择 B 选项.

点睛:本题主要考查平面向量的模的计算,平面向量数量积的坐标运算等知识,意在考查学

生的转化能力和计算求解能力.

5. 《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨,邀请全国各

个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛.现组委会要从甲、乙等五位候选

参赛者中随机选取 2 人进行比拼,记“甲被选上且乙不被选上”为事件 ,则事件 的概率为

()

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】分析:由题意结合排列组合的知识求得所有事件的数量和满足题意的事件的数量,

然后利用古典概型计算公式求解概率值即可.

详解:由题意可知:从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取 2 人,由 种方法,

甲被选上且乙不被选上有 种方法,

则事件 的概率为 本题选择 A 选项.

点睛:有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件 数.(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏, 可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.

6. 若 为数列 的前 项和,且

,则 等于( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】分析:由题意首先求得数列的通项公式,然后结合通项公式求解前 n 项和即可.

详解:当 时,

,据此可得: ,

当 时:



两式作差可得:

,则:



据此可得数列 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,

其前 8 项和为:

.

本题选择 C 选项.

点睛:给出 与 的递推关系,求 an,常用思路是:一是利用

转化为 an 的递推

关系,再求其通项公式;二是转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 之间的关系,再求 an.

7. 已知定义在 上的奇函数 ,当 时,恒有

,且当

时,





()

A. 0 B. C.

D.

【答案】D

【解析】分析:首先确定函数的周期性和函数的奇偶性,然后结合所给的函数的解析式求解

的值即可.

详解:由题意可知,函数 是周期为 2 的奇函数,则:





据此可得:

.

本题选择 D 选项.

点睛:本题主要考查函数的周期性,函数的奇偶性等知识,意在考查学生的转化能力和计算

求解能力.

8. 将函数

的图象向左平移

个单位,再将所得图象上每个点的横坐标

变为原来的倍,纵坐标不变,得到

的图象,则 的可能取值为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】分析:首先求得函数 的解析式,然后结合函数平移变换和伸缩变换的规律考查所 给的选项即可求得最终结果.

详解:函数的解析式:



逐一考查所给的选项:

A.

,向左平移

个单位,

得到函数

的解析式,

再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,

得到函数

的解析式,



,符合题意;

B.

,向左平移

个单位,

得到函数

的解析式,

再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,

得到函数

的解析式,



,不合题意;

C.

,向左平移

个单位,

得到函数

的解析式,

再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,

得到函数

的解析式,



,不合题意;

D.

,向左平移

个单位,

得到函数

的解析式,

再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,

得到函数

的解析式,



,不合题意;

本题选择 A 选项.

点睛:本题主要考查三角函数的平移变换与伸缩变换,意在考查学生的转化能力和计算求解

能力.

9. 执行如图所示的程序框图,如果输入的是

,输出的结果是 7,则判断框中的



”应填入( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】分析:由题意首先确定流程图的功能,然后结合输出结果确定判断框内的表达式即 可. 详解:由题意可得,若输出结果为 ,则该流程图的功能是:

计算

的值,

裂项求和可得:



输出结果为 ,则最后求得的



结合选项可知判断框中的“ 本题选择 C 选项.

”应填入 .

点睛:识别、运行程序框图和完善程序框图的思路: (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构. (2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题. (3)按照题目的要求完成解答并验证. 10. 已知某几何体的三视图如图所示,网格线上小正方形的边长为 1,则该几何体的体积为 ()

A.

B.

C. 18 D.

【答案】C

【解析】分析:由题意首先确定该三视图对应的几何体,然后结合几何体的空间结构求解该

组合体的体积即可.

详解:如图所示,在棱长为 3 的正方体中,

题中所给的三视图为该正方体截去三棱锥

所得的几何体,

该几何体的体积:

.

本题选择 C 选项.

点睛:(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及 直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能 直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.

11. 函数

的零点个数为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】分析:将原问题转化为两个函数交点个数的问题,绘制函数图像,数形结合即可求

得最终结果.

详解:函数的零点满足:

,即



则原问题等价于求解函数

与 的交点的个数,

在同一个平面直角坐标系中绘制函数图象如图所示, 观察可得,函数图象的交点个数为 3 个,

故函数

的零点个数为 3.

本题选择 C 选项.

点睛:函数零点的求解与判断方法: (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且 f(a)·f(b) <0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. (3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐 标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

12. 已知双曲线

的左,右焦点分别是 ,过 的直线与 的右支交于

两点, 分别是 三角形,则 的离心率是(

的中点, 为坐标原点,若 )

是以 为直角顶点的等腰直角

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】分析:由题意首先确定所给双曲线中的几何关系,然后利用勾股定理结合题意即可

确定双曲线的离心率.

详解:如图所示,由题意可得:



结合

是以 为直角顶点的等腰直角三角形可得:



结合

可得:





,则







中:

,

整理计算可得: ,



中:

,



,计算可得:

.

本题选择 D 选项.

点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范 围),常见有两种方法:

①求出 a,c,代入公式 ;

②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,结合 b2=c2-a2 转化为 a,c 的齐次式, 然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可 得 e(e 的取值范围). 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 已知中心是坐标原点的椭圆 过点

,且它的一个焦点为

,则 的标准方程为

________.

【答案】

【解析】分析:由题意利用待定系数法求得 a,b 的值即可求得椭圆的标准方程.

详解:椭圆的焦点位于 轴,则设椭圆的方程为



椭圆 过点

,则:

它的一个焦点为

,则

,① ,②

①②联立可得:

,则 的标准方程为

.

点睛:求椭圆的标准方程有两种方法: ①定义法:根据椭圆的定义,确定 a2,b2 的值,结合焦点位置可写出椭圆方程. ②待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出 a,b;若焦 点位置不明确,则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为 Ax2+By2 =1(A>0,B>0,A≠B).

14. 在等差数列 中,若 ,则

________.

【答案】 【解析】分析:由题意结合积化和差公式和等差数列的性质即可求得最终结果. 详解:由题意结合和差化积公式可得:

据此可得:

0.

点睛:本题主要考查和差化积公式及其应用,等差数列的性质等知识,意在考查学生的转化

能力和计算求解能力.

15. 若直线

将平面区域

划分为面积成 的两部分,则实数的值

等于________. 【答案】 或 【解析】分析:首先绘制不等式组表示的平面区域,然后结合题意和对称性确定实数 a 的值 即可.

详解:绘制不等式组表示的平面区域如图所示,由题意可知,该平面区域的面积:



直线

的斜率为



当 时,如图所示,联立方程组:

可得:



此时

,解得: ,

由对称性可知,

也满足题意.

综上可得:实数的值等于 或 .

点睛:简单的线性规划有很强的实用性,线性规划问题常有以下几种类型:(1)平面区域的

确定问题;(2)区域面积问题;(3)最值问题;(4)逆向求参数问题.而逆向求参数问题,

是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值.

16. 如图,正方形

的边长为 ,点 分别在边

上, 且

.将此正方形

沿

切割得到四个三角形,现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面,则该三棱锥的

内切球的体积为________.

【答案】 【解析】分析:由题意首先确定几何体的空间结构,然后利用体积相等求得内切球半径,最

后求解内切球的体积即可.

详解:如图所示,在长宽高分别为 的长方体

三棱锥

即为题中所给的四个面组成的三棱锥,

该三棱锥的体积:



在△AB1C,由勾股定理易得:



由余弦定理可得:



中,









该三棱锥的表面积为:



设三棱锥外接球半径为 ,则:



即:



该三棱锥的体积:

.

点睛:与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切 点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体, 切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点

均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题~21 题为必考
题,每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求做答.

17. 在△ 中,

, ,点 在 边上,且

.

(1)若 (2)若

,求



,求△ 的周长.

【答案】(1) ;(2)

.

【解析】分析:解法一:由题意可得

,则

(1)在△ 中,由余弦定理



,在△ 中,由正弦定理可得

.结合余弦定理有 ,解方程可得
,结合大边对大角可得

. ,所

,则

.

(2)设

,则

,从而



得 .故△ 周长为



解法二:如图,已知



,所以

在△ 中,根据余弦定理,

所以

.

(1)在△ 中,由余弦定理有

再次利用余弦定理可得

,则

. 在△ 中,由余弦定理得解方程可

,则

. ,

,解方程可得



.故





(2)同解法一.

详解:解法一:如图,已知





所以

,则

.

在△ 中,根据余弦定理,



所以

.

(1)在△ 中,



由余弦定理 所以

,解得

在△ 中,由正弦定理







,所以





所以











,在△ 中,由

,得

,故



所以



所以

.

(2)设

,则

,从而





在△ 中,由余弦定理得

, ,

因为

,所以

,解得 .

所以

.故△ 周长为



解法二:如图,已知



,所以

,则

.

在△ 中,根据余弦定理,



所以

.

(1)在△ 中,







由余弦定理 所以



,解得



由余弦定理



又因为

,所以



所以



所以



(2)同解法一.

点睛:在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中

若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余

弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.

18. 在四棱锥

中,

与 相交于点 ,点 在线段 上,

,且 平面 .

(1)求实数的值; (2)若 【答案】(1) ;(2) .



, 求点 到平面 的距离.

【解析】分析:解法一:(1)由平行线的性质可得

,结合线面平行的性质定理有

.据

此可得 .

(2) 由题意可知

为等边三角形,则

,结合勾股定理可知





由线面垂直的判断定理有 平面

,进一步有平面

平面

.作

于,

则 平面 . 即为 到平面 的距离.结合比例关系计算可得 到平面 的距离

为.

解法二:(1)同解法一.

(2)由题意可得

为等边三角形,所以

,结合勾股定理可得



,则 平面

.设点 到平面 的距离为 ,利用体积关系:

,即

.求解三角形的面积然后解方程可

得 到平面 的距离为 .

详解:解法一:(1)因为

,所以

因为 平面 所以

平面 , 平面 .

平面 , ,

所以

,即 .





(2) 因为

,所以

为等边三角形,所以



又因为



,所以





所以



,又因为

,所以

因为 平面 ,所以平面

平面





于 ,因为平面

平面

,所以 平面 .

又因为 平面 ,所以 即为 到平面 的距离.

在△ 中,设 边上的高为 ,则 ,

因为

,所以

,即 到平面 的距离为 .

解法二、(1)同解法一.

(2)因为

,所以

又因为



,所以

所以



,又因为

为等边三角形,所以







,所以 平面



设点 到平面 的距离为 ,由





所以







因为







所以

,解得 ,即 到平面 的距离为 .

点睛:本题主要考查线面平行的应用,面面垂直的性质及其应用,等价转化的数学思想等知 识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19. 已知顶点是坐标原点的抛物线 的焦点 在 轴正半轴上,圆心在直线 上的圆 与 轴

相切,且 关于点

对称.

(1)求 和 的标准方程;

(2)过点 的直线与 交于 ,与 交于 ,求证:

【答案】(1)

,

;(2)证明见解析.

【解析】分析:(1)设 的标准方程为

,由题意可设

得 的标准方程为

.半径

,则 的标准方程为


.结合中点坐标公式计算可 .

(2)设的斜率为 ,则其方程为

,由弦长公式可得

.联立直线与抛

物线的方程有

.设

,利用韦达定理结合弦长公式可得

.则

...........................................

详解:(1)设 的标准方程为

,则 .

.即

已知 在直线 上,故可设



因为 关于

对称,所以

解得

所以 的标准方程为



因为 与 轴相切,故半径

,所以 的标准方程为



(2)设的斜率为 ,那么其方程为





到的距离

,所以

由 设 那么

消去 并整理得: ,则

. ,

. .

所以



所以

,即



点睛:(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与

系数的关系;

(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可

直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.

20. 近年来,随着我国汽车消费水平的提高,二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市

场对 2017 年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计,得到频率

分布直方图如图 1.

图1

图2

(1)记“在 年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用年限在

”为事件 ,试估

计 的概率;

(2)根据该汽车交易市场的历史资料,得到散点图如图 2,其中 (单位:年)表示二手车的使

用时间, (单位:万元)表示相应的二手车的平均交易价格.由散点图看出,可采用



为二手车平均交易价格 关于其使用年限 的回归方程,相关数据如下表(表中



):

5.5

8.7

1.9

301.4

79.75

385

①根据回归方程类型及表中数据,建立 关于 的回归方程; ②该汽车交易市场对使用 8 年以内(含 8 年)的二手车收取成交价格 的佣金,对使用时间 8 年以上(不含 8 年)的二手车收取成交价格 的佣金.在图 1 对使用时间的分组中,以各组的 区间中点值代表该组的各个值.若以 2017 年的数据作为决策依据,计算该汽车交易市场对成 交的每辆车收取的平均佣金.

附注:①对于一组数据

,其回归直线

的斜率和截距的最小二乘估

计分别为



②参考数据:



【答案】(1) ;(2)①

,② 万元.

【解析】分析:(1)由频率分布直方图得,该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在

的频率为 ,在

的频率为 ,则



(2)①由



,即 关于 的线性回归方程为

. 其中



则 关于 的线性回归方程为

,据此可得

②根据①中的回归方程

和图 1,对成交的二手车可预测:

使用时间在 的平均成交价格为 ,对应的频率为 ;

使用时间在 的平均成交价格为 ,对应的频率为 ;

使用时间在

的平均成交价格为 ,对应的频率为 ;

使用时间在

的平均成交价格为 ,对应的频率为 ;

使用时间在

的平均成交价格为 ,对应的频率为 ,则该汽车交易市场对于成交的

每辆车可获得的平均佣金为 万元.

详解:(1)由频率分布直方图得,该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在

率为

,在

的频率为

所以



(2)①由



,即 关于 的线性回归方程为



的频

因为



所以 关于 的线性回归方程为



即 关于 的回归方程为

②根据①中的回归方程

和图 1,对成交的二手车可预测:

使用时间在 的平均成交价格为

,对应的频率为 ;

使用时间在 的平均成交价格为

,对应的频率为 ;

使用时间在

的平均成交价格为

,对应的频率为 ;

使用时间在

的平均成交价格为

,对应的频率为 ;

使用时间在

的平均成交价格为

,对应的频率为

所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为

万元. 点睛:本题主要考查非线性回归方程及其应用,离散型随机变量的分布列等知识,意在考查 学生的转化能力和计算求解能力.

21. 已知函数



(1)若曲线

在 处切线的斜率为 ,求此切线方程;

(2)若 有两个极值点 ,求的取值范围,并证明:



【答案】(1)

;(2) ,证明见解析.

【解析】分析:(1)由函数的解析式可得

切线方程为



,利用

可得 ,则切点为 ,

(2)结合(1)中导函数的解析令

,得

.构造函数,令

,则



利用导函数研究函数的单调性可知 在 递增,在

递减,所以

.结

合题意可得的取值范围是 . 由极值点的性质可得

不妨设

,则



,结合 的单调性可得

,据此有

,即



详解:(1)∵

,∴

,解得 ,



,故切点为 ,

所以曲线

在 处的切线方程为



(2)

,令

,得





,则



且当

时,

;当 时,

; 时,





,得 ,

且当

时,

;当 时,



故 在 递增,在

递减,所以



所以当 时, 有一个极值点;

时, 有两个极值点;

当 时, 没有极值点.

综上,的取值范围是 .

因为 是 的两个极值点,所以

不妨设

,则

,,



…①

因为 在

递减,且

,所以

,即

…②.

由①可得

,即



由①,②得

,所以



点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知 识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及 命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几 何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性; 已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考 查数形结合思想的应用. (二)选考题:共 10 分.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答.如果多做,则按所做 第一题计分. 选修 4-4:坐标系与参数方程

22. 在平面直角坐标系 中,直线的参数方程为

(为参数).在以原点 为极点,

轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 的极坐标方程为

.

(1)求直线的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程;

(2)若直线与曲线 交于 两点,求 .

【答案】(1)



;(2)

【解析】分析:解法一:(1)消去参数可得的普通方程为

,则极坐标方程为

.极坐标方程化为直角坐标方程可得 的直角坐标方程为



(2)设 的极坐标分别为

,则

,联立极坐标方程可得

,则

,结合三角函数的性质计算可得



解法二: (1)同解法一 (2)曲线 表示圆心为 且半径为 1 的圆.联立直线参数方程的标准形式与圆的方程可得

,结合参数的几何意义知

,则

解法三: (1)同解法一 (2)曲线 表示圆心为 且半径为 1 的圆.的普通方程为

, 由弦长公

式可得

,则

是等边三角形,



.

详解:解法一:(1)由

得的普通方程为



又因为

, 所以的极坐标方程为





,即



所以 的直角坐标方程为



(2)设 的极坐标分别为

,则



消去 得

化为

,即



因为

,即

,所以

,或


, ,





所以

解法二: (1)同解法一 (2)曲线 的方程可化为

将的参数方程化为标准形式


,表示圆心为 且半径为 1 的圆. (其中为参数),代入 的直角坐标方程为

得,



整理得,

,解得 或



设 对应的参数分别为 ,则

.所以



又因为 是圆 上的点,所以 解法三: (1)同解法一 (2)曲线 的方程可化为 又由①得的普通方程为 则点 到直线的距离为 ,

,表示圆心为 ,

且半径为 1 的圆.

所以

,所以

是等边三角形,所以



又因为 是圆 上的点,所以

.

点睛:本题主要考查直线的参数方程,圆的参数方程,参数方程与普通方程、极坐标方程之 间的转化等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

选修 4-5:不等式选讲

23. 已知函数



,.

(1)当 时,解关于 的不等式



(2)若对任意 ,都存在 ,使得不等式

成立,求实数的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】分析:(1)当 .

时,

,零点分段求解不等式可得

的解集为

(2)原问题等价于

. 结合绝对值三角不等式的性质可得

.结

合二次函数的性质可得

.据此求解不等式

可得的取值范围为



详解:(1)当 时,

,则



时,由

得,

,解得





时,

恒成立;

当 时,由

得, ,解得



所以

的解集为



(2)因为对任意 ,都存在 ,使得不等式

所以 因为



,所以





成立, ,…①



时,①式等号成立,即



又因为

,…②



时,②式等号成立,即



所以

,整理得,



解得

或 ,即的取值范围为



点睛:绝对值不等式的解法:

法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.


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