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第二章第2讲知能训练轻松闯关


行胜于言

1.(2016· 唐山模拟)函数 y= x(3-x)+ x-1的定义域为( A.[0,3] B.[1,3] C.[1,+∞) D.[3,+∞) ? x ( 3-x)≥0, ? 解析:选 B.要使函数有意义,则需? ?x-1≥0, ? ? 0 ≤ x ≤ 3 , ? 所以? 所以 1≤x≤3,故选 B. ?x≥1, ? |x-2|-1 2.(2016· 宣城一模)函数 f(x)= 的定义域是( ) lg(x-1) 1 ? A.[3,+∞) B.? ?-3,1? 1 - ,3? C.? D.(-∞,-3) ? 3 ? ?|x-2|-1≥0, ?x-2≥1或x-2≤-1, 解析:选 A.由?x-1>0,

)

?

? ?x-1≠1

得?x>1,

?

? ?x≠2,

所以 x≥3,即定义域为[3,+∞). 3.已知 a 为实数,则下列函数中,定义域和值域都有可能是 R 的是( ) A.f(x)=x2+a B.f(x)=ax2+1 C.f(x)=ax2+x+1 D.f(x)=x2+ax+1 解析:选 C.当 a=0 时,f(x)=ax2+x+1=x+1 为一次函数,其定义域和值域都是 R. 4.函数 y=2- -x2+4x的值域是( ) A.[-2,2] B.[1,2] C.[0,2] D.[- 2, 2] 解析:选 C.因为-x2+4x=-(x-2)2+4≤4, 所以 0≤ -x2+4x≤2, -2≤- -x2+4x≤0, 0≤2- -x2+4x≤2,所以 0≤y≤2. 5.(2016· 沈阳东北育才学校一模)规定 a?b= ab+2a+b,a,b>0,若 1?k=4,则函数 f(x)=k?x 的值域为( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) 7 7 ? ? ? C.?8,+∞? D.? ?4,+∞? 1? 解析: 选 A.由 1?k= k+2+k=4, 解得 k=1, 所以 f(x)=k?x=1?x=x+ x+2=? ? x+2? 2 7 + .因为 x>0,所以 f(x)>2.故选 A. 4 f(x+1) 6.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2 016],则函数 g(x)= 的定义域是( ) x-1

行胜于言

A.[-1,2 015] B.[-1,1)∪(1,2 015] C.[0,2 016] D.[-1,1)∪(1,2 016] 解析: 选 B.令 t=x+1, 则由已知函数 y=f(x)的定义域为[0, 2 016]可知 f(t)中 0≤t≤2 016, 故要使函数 f(x+1)有意义,则 0≤x+1≤2 016,解得-1≤x≤2 015,故函数 f(x+1)的定义 ?-1≤x≤2 015, ? 域为[-1,2 015].所以函数 g(x)有意义的条件是? 解得-1≤x<1 或 1<x≤2 ? ?x-1≠0 015.故函数 g(x)的定义域为[-1,1)∪(1,2 015]. 7.下表表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是________. x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 解析:函数值只有四个数 2,3,4,5,故值域为{2,3,4,5}. 答案:{2,3,4,5} 1 ? 1 8.若函数 f(x)= 在区间[a,b]上的值域为? ?3,1?,则 a+b=________. x-1 解析:由题意知 x-1>0,又 x∈[a,b], 1 所以 a>1.又 f(x)= 在[a,b]上为减函数, x-1 1 1 1 所以 f(a)= =1 且 f(b)= = , a-1 b-1 3 所以 a=2,b=4,a+b=6. 答案:6 9.已知函数 f(x)的定义域为[0,1],值域为[1,2],则函数 f(x+2)的定义域为________, 值域为________. 解析:由已知可得 x+2∈[0,1],故 x∈[-2,-1],所以函数 f(x+2)的定义域为[-2, -1].函数 f(x)的图象向左平移 2 个单位得到函数 f(x+2)的图象,所以值域不发生变化,所 以函数 f(x+2)的值域仍为[1,2]. 答案:[-2,-1] [1,2] 10.已知函数 f(x)= mx2+(m-3)x+1的值域是[0,+∞),则实数 m 的取值范围是 ____________. 解析:设 g(x)=mx2+(m-3)x+1,当 m=0 时,g(x)=-3x+1,显然满足值域为[0,+ ?m>0, ? ∞),所以 m=0 适合;当 m≠0 时,须? 解得 0<m≤1 或 m≥9. 2 ?Δ=(m-3) -4m≥0, ? 综上所述,0≤m≤1 或 m≥9. 答案: [0,1]∪[9,+∞) 1 11.若函数 f(x)= x2-x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 a,b 的值. 2 1 1 解:因为 f(x)= (x-1)2+a- , 2 2 所以其对称轴为 x=1. 即函数 f(x)在[1,b]上单调递增. 1 所以 f(x)min=f(1)=a- =1,① 2 1 2 f(x)max=f(b)= b -b+a=b.② 2 3 ? ?a=2, 又 b>1,由①②解得?

? ?b=3.

3 所以 a,b 的值分别为 ,3. 2

行胜于言

12.已知函数 y= ax+1(a<0 且 a 为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数 a 的取值 范围. 1 1 -∞,- ?. 解:由题意知 ax+1≥0,a<0,所以 x≤- ,即函数的定义域为? a? ? a 因为函数在(-∞,1]上有意义, 1? 所以(-∞,1]?? ?-∞,-a?, 1 所以- ≥1,又 a<0,所以-1≤a<0,即 a 的取值范围是[-1,0). a

1. 已知 A, B 是非空数集, 定义 A⊕B={x|x∈A∪B, 且 x?A∩B}. 若 A={x|y= x2-3x}, B={y|y=3x},则 A⊕B=( ) A.[0,3) B.(-∞,3) C.(-∞,0)∪(3,+∞) D.[0,3] 解析:选 B.分析得到 A=(-∞,0]∪[3,+∞),B=(0,+∞),A∪B=R,A∩B=[3, +∞),所以 A⊕B=(-∞,3). [f(x)]2 2.若一次函数 f(x)满足 f(f(x))=x+1,则 g(x)= (x>0)的值域为____________. x 解析:设 f(x)=kx+b(k≠0), 所以 f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=k2x+(k+1)b,① 依题意 f(f(x))=x+1,② 比较①和②的系数可得: k=1, ? ?k2=1, ? ? ? 解得? 1 k=-1(舍去), ?(k+1)b=1, b= , ? ? ? 2 2 ?x+1? ? 2? 1 1 1 所以 f(x)=x+ ,则 g(x)= =x+ +1≥2 x· +1=2. 2 x 4x 4x [f(x)]2 1 当且仅当 x= 时取等号,所以 g(x)= (x>0)的值域为[2,+∞). 2 x 答案:[2,+∞) 3.已知函数 f(x)=x2+4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 g(a)=2-a|a+3|的值域. 解:(1)因为函数的值域为[0,+∞), 所以 Δ=16a2-4(2a+6)=0, 即 2a2-a-3=0, 3 解得 a=-1 或 a= . 2 (2)因为对一切 x∈R 函数值均为非负, 3 所以 Δ=8(2a2-a-3)≤0?-1≤a≤ . 2 所以 a+3>0. 所以 g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2 3 2 17 3 a+ ? + ?a∈?-1, ??. =-? 2?? ? 2? 4 ? ?

行胜于言

3? 因为二次函数 g(a)在? ?-1,2?上单调递减, 3? 所以 g? ?2?≤g(a)≤g(-1), 19 即- ≤g(a)≤4. 4 19 ? 所以 g(a)的值域为? ?- 4 ,4?. 4.设计一个水渠,其横截面为等腰梯形(如图),要求满足条件 AB+BC+CD=a(常数), ∠ABC=120° ,写出横截面的面积 y 关于腰长 x 的函数,并求它的定义域和值域.

解:如图,因为 AB+BC+CD=a, 所以 BC=EF=a-2x>0, a 即 0<x< ,因为∠ABC=120° , 2 所以∠A=60° , x x x 3 1 3x? 2(a-2x)+ + ? 所以 AE=DF= ,BE= x,y= (BC+AD)· BE= 2 2? 2 2 2 4 ? 3 3 = (2a-3x)x=- (3x2-2ax) 4 4 3 3? a?2 3 x- + a2, =- 4 ? 3? 12 a? a 3 3 2? ? 故当 x= 时,y 有最大值 a2,它的定义域为? ?0,2?,值域为?0, 12 a ?. 3 12


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