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2016-2017年《金版学案》数学·必修5(苏教版)练习:第1章1.3正弦定理、余弦定理的应用 Word版含解析


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第1章 1.3

解三角形

正弦定理、余弦定理的应用

A级 一、选择题

基础巩固

1.在某测量中,设点 A 在点 B 的南偏东 34°27′,则点 B 在 点 A 的( ) B.北偏东 55°33′ D.南偏西 55°33′

A.北偏西 34°27′ C.北偏西 55°33′ 答案:A

2.如图所示,为了测量某湖泊两侧 A,B 的距离,绘出下列数据, 其中不能唯一确定 A,B 两点间的距离的是( )

A.角 A,B 和边 b B.角 A,B 和边 a C.边 a,b 和角 C D.边 a,b 和角 A 解析: 根据正弦定理和余弦定理可知, 当知道两边和其中一边的 对角解三角形时,得出的结果不一定唯一,故选 D. 答案:D
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3.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏 西 75°距塔 68 n mile 的 M 处, 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( 17 6 A. n mile 2 17 2 C. n mile 2 ) B.34 6 n mile D.34 2 n mile PM MN = , sin 45° sin 120°

解析:如图所示,在△PMN 中,

所以 MN= 所以 v= 答案:A

68× 3 =34 6. 2

MN 17 = 6( n mile/h). 4 2

4.某人向正东方向走 x km 后,他向右转 150°,然后朝新方向 走 3 km,结果他离出发点恰好 3 km,那么 x 的值为( A. 3 B.2 3 C.2 3或 3 D.3 解析:依题意可得,32+x2-2×3· xcos 30°=( 3)2. 解得 x=2 3或 x= 3. 答案:C 5.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯 角分别为 45°和 30°,而且两条船与炮台底部连线成 30°角,则两 条船相距( ) B.100 3 m D.30 m )

A.10 3 m C.20 30 m
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解析:设炮台顶部为 A,两条船分别为 B、C,炮台底部为 D, 可知∠BAD=45°, ∠CAD=60°,∠BDC=30°, AD=30. 分别在 Rt△ADB,Rt△ADC 中, 求得 DB=30,DC=30 3. 在△DBC 中,由余弦定理得 BC2=DB2+DC2-2DB· DCcos 30°, 解得 BC=30. 答案:D 6.有一长为 10 m 的斜坡,倾斜角为 75°,在不改变坡高和坡 顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30°,则坡底 要延长的长度(单位:m)是( )

A.5 B.10 C.10 2 D.10 3 解析:如图所示,设将坡底加长到 B′时,倾斜角为 30°,

在△ABB′中,利用正弦定理可求得 BB′的长度. 在△ABB′中,∠B′=30°, ∠BAB′=75°-30°=45°,AB=10 m, 由正弦定理,得 ABsin 45° = sin 30° 10× 1 2 2 2

BB′=

=10 2 (m).

所以斜坡的倾斜角变为 30°时,坡底延伸 10 2 m.
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答案:C 二、填空题 7.某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 m 后,望见 塔在正北,若路途测得塔的最大仰角为 30°,则塔高为________m. 解析: 设塔高为 AB, 某人由 C 前进到 D, 依题意可得 CD=40 m, ∠ACD=90°-60°=30°,作 AE⊥CD 于点 E,则∠AEB=30°, 则 AD=CDsin 30°=20,

AE=ADsin 60°=10 3, 所以 AB=AEtan 30°=10 3× 答案:10 8.一树干被台风吹断,折断部分与残存树干成 30°角,树干底 部与树尖着地处相距 5 m,则树干原来的高度为________. 解析:如图所示,AB=AC· 3 =10 m. 3

tan 60°=5 3,BC=

AC =10, sin 30°

所以 AB+BC=(5 3+10)m. 答案:(10+5 3)m
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三、解答题 9.如图所示, 一船以每小时 15 km 的速度向东航行, 船在 A 处看 到一个灯塔 B 在北偏东 60°,行驶 4 h 后,船到达 C 处,看到这个 灯塔在北偏东 15°,求此时船与灯塔的距离.

解:如题图所示,由正弦定理得, 15×4 BC = , sin(90°-60°) sin 45° 所以 BC=30 2 km. 所以此时船与灯塔的距离为 30 2 km. 10.如下图所示,在塔底 D 的正西方 A 处测得塔顶的仰角为 45°,在它的南偏东 60°的 B 处测得塔顶的仰角为 30°,AB 的距 离是 84 m,求塔高.

解:设塔高 CD=x m,则 AD=x m,DB= 3x m.
? ? ? ? x x 在△ABD 中,利用余弦定理得 84 =?tan 45°? +?tan 30°? - ? ? ? ?
2 2 2

2 3·x2cos(90°+60°), 解得 x=±12 7(负值舍去),故塔高为 12 7 m. B级 一、选择题 11.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相
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能力提升

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等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( )

A.北偏东 10° C.南偏东 10°

B.北偏西 10° D.南偏西 10°

解析:如题图所示,结合题意得∠ACB=180°-60°-40°= 80°. 因为 AC=BC,所以∠ABC=50°,α=60°-50°=10°. 答案:B 12.若水平面上,点 B 在点 A 南偏东 30°方向上,则在点 A 处 测得点 B 的方位角是( A.60° B.120° ) C.150° D.210°

解析:根据方位角的意义,可得点 B 的方位角是 180°-30°= 150°. 答案:C 13.当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处 有一艘渔船遇险等待营救, 甲船立即前往营救, 同时把消息告知在甲 船的南偏西 30°相距 10 海里 C 处的乙船,乙船立即朝北偏东 θ+ 30°角的方向沿直线前往 B 处营救,则 sin θ 的值为( A. 21 2 3 B. C. 7 2 2 D. 5 7 14 )

解析:连接 BC.在△ABC 中,AC=10,AB=20,
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∠BAC=120°,由余弦定理,得 BC2=AC2+AB2-2AB· AC· cos120°=700, 所以 BC=10 7,再由正弦定理, 得 BC AB = , sin∠BAC sin θ 21 . 7

所以 sin θ= 答案:A 二、填空题

14.(2014· 课标全国Ⅰ卷)如图所示,为测量山高 MN,选择 A 和 另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN =60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C 点测得 ∠MCA=60°.已知山高 BC=100 m,测山高 MN=________m.

解析:根据图示,AC=100 2 m. 在△MAC 中,∠CMA=180°-75°-60°=45°. 由正弦定理得 AC AM = ?AM=100 3 m. sin 45° sin 60° MN =sin 60°, AM 3 =150(m). 2

在△AMN 中,

所以 MN=100 3× 答案:150
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15.甲船在岛 B 的正南 A 处,AB=10 千米,甲船以每小时 4 千 米的速度向正北航行,同时,乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度 向北偏东 60°的方向驶去.当甲、乙两船相距最近时,它们所航行 的时间是________小时. 解析: 设行驶 x h 后甲到点 C, 乙到点 D, 两船相距 y km, 则∠DBC =180°-60°=120°. 所以 y2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)· 6xcos 120°=28x2-20x
? 5 ? 25 +100=28?x-14? - +100. 7 ? ?
2

5 所以当 x= 时,y2 有最小值,即两船相距最近. 14 答案: 5 14

三、解答题 16.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b =2 7,B=60°,a+c=10.

(1)求 sin(A+30°); (2)若 D 为△ABC 外接圆中弦 AC 所对劣弧上的一点且 2AD= DC,求四边形 ABCD 的面积. 4 7 a c b 解:(1)由正弦定理得 = = = , sin A sin C sin B 3 5 3 因为 a+c=10,所以 sin A+sin C= . 2 7 因为 B=60°,所以 C=120°-A,
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所以 sin A+sin(120°-A)=sin A+sin 120°cos A-cos 120° sin A= 5 3 , 2 7 5 7 . 14

于是得 sin(A+30°)=

(2)因为 A,B,C,D 共圆,B=60°, 所以 D=120°. 在△ADC 中,由余弦定理可得 AD2+DC2-b2 1 cos D= =- , 2 2AD·DC 解之得 AD=2, 1 所以 S△ACD= AD·CD·sin 120°=2 3, 2 a2+c2-b2 在 △ ABC 中 , 由 余 弦 定 理 得 cos B = = 2ac (a+c)2-2ac-b2 1 = . 2ac 2 1 解之得 ac=24.所以 S△ADC= acsin 60°=6 3, 2 所以 S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD=8 3.

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