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2014届高三数学一轮复习巩固与练习:古典概型、几何概型


巩固 1.袋中有红色、黄色、绿色球各一个,每次任取一个球,有放回地抽取三次,所取球 的颜色全相同的概率是( ) 1 1 A. B. 9 8 1 1 C. D. 3 6 解析:选 A.记“所取球的颜色全相同”为事件 A,有放回地抽取三次共有 27 个等可能 3 1 事件,事件 A 包含其中的 3 个基本事件,∴P(A)= = .故选 A. 27 9 2.(2010 年北京海淀区高中质检)如图,四边形 ABCD 是一 个边长为 1 的正方形,△MPN 是正方形的一个内接正三角形,且 MN∥AB,若向正方形内部随机投入一个质点,则质点恰好落在 △MPN 的概率为( ) 1 3 A. B. 2 2 C. 3 3 D. 3 4

3 S△MNP 4 3 解析:选 D.易知质点落在三角形 MNP 内的概率 P= = = . SABCD 1 4 πx 1 3.(2009 年高考山东卷)在区间[-1,1]上随机取一个数 x,cos 的值介于 0 到 之间 2 2 的概率为( ) 1 2 A. B. 3 π 1 2 C. D. 2 3 πx πx 解析: A.在区间[-1,1]上随机取一个实数 x, 选 cos 的值位于[0,1]区间, 若使 cos 2 2 1 2 2 的值位于[0, ]区间,取到的实数 x 应在区间[-1,- ]∪[ ,1]内,根据几何概型的计算 2 3 3 1 2× 3 1 公式可知 P= = . 2 3 4.在 5 个数字 1、2、3、4、5 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概 率是________(结果用数值表示). 3 答案: 10 2 5.已知函数 f(x)=-x +ax-b.若 a、b 都是从区间[0,4]内任取的一个数,则 f(1)>0 成立的概率是________. 解析:f(1)=-1+a-b>0,即 a-b>1,如图,A( 1,0), 9 2 9 S△ABC 9 B(4,0),C(4,3),S△ABC= ,P= = = . 2 S正方形 4×4 32 9 答案: 32 6.(2009 年高考福建卷)袋中有大小、形状相同的红球、黑
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球各一个,现依次有放回 地随机摸取 3 次,每次摸取一个球. (1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (2)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所 得总分为 5 的概率. 解:(1)一共有 8 种不同的结果,列举如下,(红,红,红)、(红、红,黑)、(红,黑, 红)、(红,黑,黑)、(黑,红,红)、(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑). (2)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A. 事件 A 包含的基本事件为:(红,红,黑)、(红,黑,红)、(黑,红,红),事件 A 包含 的基本事件数为 3. 3 由(1)可知,基本事件总数为 8,所以事件 A 的概率为 P(A)= . 8 练习

1.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁 钉的概率是( ) 1 1 A. B. 5 4 4 1 C. D. 5 10 解析:选 C.从盒中的 10 个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事件 总数为 10,其中抽到 8 4 合格铁钉(记为事件 A )包含 8 个基本事件,所以所求的概率为 P(A)= = .故选 C. 10 5 2.如图,有一圆盘,其中阴影部分的圆心角为 45°,向圆盘内投 镖,如果某人每次都投入圆盘内,那么他投中阴影部分的概率为( ) 1 1 A. B. 8 4 1 3 C. D. 2 4 45 1 解析:选 A.P= = . 360 8 3.如图,三行三列的方阵中有 9 个数 aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则 至少有两个数位于同行或同列的概率是( )

?a ?a ?a

11 21 31

a12 a13 a22 a23 a32 a33

? ? ?

3 4 A. B. 7 7 1 13 C. D. 14 14 3 解析:选 D.从 9 个数中任取 3 个数共有 C9 =84 种取法,三个数分别位于三行或三列的 情况有 6 种 . 84-6 13 ∴所求的概率为 = . 84 14

5.在平面直角坐标系 xOy 中,设 M 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 4 的点构成的 区域,N 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 M 中随机投一点,则落入 N 中的概率 为( ) π π A. B. 64 32 π π C. D. 16 4 解析 :选 A.根据题意可得点 M(x,y)满足|x|≤4 且|y|≤4,其构成的区域是以原点为 中心,边长为 8 的正方形,面积为 S1=64,N 点所表示的平面区域是以原点为圆心,以 1 为 S2 π 半径的圆及其内部,面积为 S2=π ,故向 M 中投一点,落入 N 中的概率为 P= = . S1 64 6.一个坛子里有编号为 1,2,?,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是红球, 其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码是偶数的概 率为( ) 1 1 A. B. 22 11 3 2 C. D. 22 11

7.两根相距 9 m 的电线杆扯一根电线,并在电线上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于 3 m 的概 率为________. 解析:灯挂在电线上的每一个位置都是一个基本事件,即整个区域的 几何度量为 μ Ω =9 m,记“灯与两端距离都大于 3 m”为事件 A,则把电线三等分,当灯挂在中间一段上时, 事件 A 发生,即 μ A=3 m,

μ A 3 1 ∴P(A)= = = . μ Ω 9 3 1 答案: 3 8.任取一个三位正整数 n,则对数 lo g2n 是一个正整数的概率是________. 6 7 8 9 10 解析:∵2 =64,2 =128,2 =256,2 =512,2 =1024, 7 8 9 ∴满足条件的正整数只有 2 ,2 ,2 三个, 3 1 ∴所求的概率 P= = . 900 300 1 答案: 300 2 9.已知函数 f(x)=2ax -bx+1,若 a 是从区间[0,2] 上任取的一个数, 是从区间[0,2]上任取的一个数, b 则此函 数在[1,+∞)上递增的概率为________. 2 解析: t=ax -bx+1, 令 函数 f(x)在[1, +∞)上递增, 2 根据复合函数单调性的判断方法, t=ax -bx+1 须在[1, 则 +∞)上递增, -b ∴- ≤1,即 2a≥b. 2a

?0≤a≤2 ? 由题意得?0≤b≤2 ?2a≥b ?

,画出图示得阴影部分面积.

1 2×2- ×2×1 2 3 ∴概率为 P= = . 2×2 4 3 答案: 4

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10.将一颗骰子先后抛掷两次,得到的点数分别记为 a,b.

?x≥0 ? (1)求点 P(a,b)落在区域?y≥0 ?x+y-5≤0 ?
2 2

内的概率;

(2)求直线 ax+by+5=0 与圆 x +y =1 不相切的概率. 解:(1)先后两次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记 a, b,则事件总数为 6×6=36.

?x≥0 ? ∵?y≥0 ?x+y-5≤0 ?

表示的平面区域如图所示:

当 a=1 时,b=1,2,3,4; a=2 时,b=1,2,3 a=3 时,b=1,2; a=4 时,b=1 共有(1,1)(1,2)?(4,1)10 种情况.

10 5 ∴P= = . 36 18 (2)∵直线 ax+by+5=0 与圆 x +y =1 相切的充要条件是
2 2

5

a +b2

2

=1,即 a +b =25,

2

2

∵a、b∈{1,2,3,4,5,6} 满足条件的情况只有:a=3,b=4 或 a=4,b=3 两种情况, 2 1 ∴直线与圆相切的概率 P= = . 36 18 1 17 2 2 ∴直线 ax+by+5=0 与圆 x +y =1 不相切的概率为 P=1- = . 18 18 2 2 11.设有关于 x 的一元二次方程 x +2ax+b =0. (1)若 a 是从 0,1, 2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有 实根的概率. 2 2 2 2 解:设事件 A 为“方程 x +2ax+b =0 有实根”,当 a≥0,b≥0 时,方程 x +2ax+b =0 有实根的充 要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1), (2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 9 3 P(A)= = . 12 4 (2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件 A 的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}, 1 2 3×2- ×2 2 2 所以所求的概率为 P(A)= = . 3×2 3 12.有赤玉 2 块,青玉 3 块,白玉 5 块,将这 10 块玉装在一个袋内,从中取出 4 块.取 出的玉中同色的 2 块作为一组.赤色一组得 5 点,青色一组得 3 点,白色一组得 1 点,得点 合计数用 x 表示. (1)x 共有多少种值?其中最大值是什么,最小值是什么? (2)x 取最大值的概率是多少? (3)x 取最小值的概率是多少?x 取最小值时,取出 3 种不同颜色的玉的概率是多少?
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解:(1)满足条件的同色组有两组的情况为: {赤,赤,青,青}?8 点,{赤,赤,白,白}?6 点,{青,青,白,白}?4 点,{白, 白,白,白}?2 点. 同色组只有一组的情况为: {赤,赤,△,○}?5 点(△,○为异色的玉,下同),{青,青,△,○}?3 点,{白, 白,△,○}?1 点. 由上可知,x 共有 7 种值,最大值为 8,最小值为 1. 4 (2)取出的不同方法总数为 C10 =210.x 取最大值时,即赤玉 2 块,青玉 2 块的取法种数 2 2 为 C2 C3 =3, 3 1 故其概率为 = . 210 70 (3)x 取最小值有两种情形:{白,白,白,△}(△为白色以外的玉),{白,白,赤,青}, 3 1 2 1 1 这两种情形的取法数分别为 C5 C5 =50 和 C5 C2 C3 =60, 50+60 11 所以 x 取最小值的概率为 = . 210 21

x 取最小值时, 3 种不同颜色的玉的取法只有 C52C21C31=60 种, 取 故所求概率为
6 . 11

60 = 60+50


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