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2013年全国数学竞赛试题详细参考答案


中国教育学会中学数学教学专业委员会 “ 《数学周报》杯”2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案
题 得 号 分 一 1~5 二 6~10 11 12 三 13 14 总 分

评卷人 复查人 答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交. 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分. 以下每道小题均给出了代号为 A,B, C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号 里. 不填、多填或错填都得 0 分) 4 2 4 1.已知实数 x,y 满足 4 ? 2 ? 3,y 4 ? y 2 ? 3 ,则 4 ? y 4 的值为( x x x (A)7 【答】 (A) 解:因为 x 2 ? 0 , y 2 ≥0,由已知条件得
1 2 ? 4 ? 4 ? 4 ? 3 1 ? 13 ?1 ? 1 ? 4 ? 3 ?1 ? 13 ? ? ? , y2 ? , 2 x 8 4 2 2

) .

(B)

1 ? 13 2

(C)

7 ? 13 2

(D)5

所以

4 2 2 ? y 4 ? 2 ? 3 ? 3 ? y 2 ? 2 ? y 2 ? 6 ? 7. 4 x x x

2 ? 2 2 2 2 ?( ? 2 ) ? ( ? 2 ) ? 3 ? 0 另解:由已知得: ? x ,显然 ? 2 ? y 2 ,以 ? 2 , y 2 为根的一元二次方 x x x ?( y 2 ) ? y 2 ? 3 ? 0 ?

程为 t 2 ? t ? 3 ? 0 ,所以

2 2 ) ? y 2 ? ?1,    (? 2 ) ? y 2 ? ?3 2 x x 4 2 2 故 4 ? y 4 = [(? 2 ) ? y 2 ]2 ? 2 ?   (? 2 ) ? y 2 ? (?1)2 ? 2 ? (?3) ? 7 x x x (?

2.把一枚六个面编号分别为 1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先 后投掷 2 次,若两个正面朝上的编号分别为 m,n,则二次函数 y ? x 2 ? mx ? n 的图象与 x 轴 有两个不同交点的概率是( ) .
1

(A)

5 12

(B)

4 9

(C)

17 36

(D)

1 2

【答】 (C) 解:基本事件总数有 6× 6=36,即可以得到 36 个二次函数. 由题意知

? = m2 ? 4n >0,即 m2 >4 n .
通过枚举知,满足条件的 m,n 有 17 对. 故 P ?
17 . 36 3.有两个同心圆,大圆周上有 4 个不同的点,小圆周上有 2 个不同的点,则这 6 个点

可以确定的不同直线最少有( (A)6 条 【答】 (B)

). (C)10 条 (D)12 条

(B) 8 条

解:如图,大圆周上有 4 个不同的点 A,B,C,D,两两连线 可以确定 6 条不同的直线;小圆周上的两个点 E,F 中,至少有一 个不是四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点,则它与 A,B,C, D 的连线中,至少有两条不同于 A,B,C,D 的两两连线.从而这 6 个点可以确定的直线不少于 8 条. 当这 6 个点如图所示放置时,恰好可以确定 8 条直线. 所以,满足条件的 6 个点可以确定的直线最少有 8 条. 4.已知 AB 是半径为 1 的圆 O 的一条弦,且 AB ? a ? 1 .以 AB 为一边在圆 O 内作正△
ABC ,点 D 为圆 O 上不同于点 A 的一点,且 DB ? AB ? a , DC 的延长线交圆 O 于点 E ,则
(第 3 题)

AE 的长为(
(A)
5 a 2

) . (B)1 (C)
3 2

(D)a

【答】 (B) 解:如图,连接 OE,OA,OB. 设 ?D ? ? ,则 ?ECA ? 120? ? ? ? ?EAC . 1 1 又因为 ?ABO ? ?ABD ? ? 60? ? 180? ? 2? ? ? 120? ? ? , 2 2 所以 △ACE ≌ △ABO ,于是 AE ? OA ? 1 . 另解:如图,作直径 EF,连结 AF,以点 B 为圆心,AB 为半径 作⊙B,因为 AB=BC=BD,则点 A,C,D 都在⊙B 上,
O E C D F

(第 4 题)

1 1 由 ?F ? ?EDA ? ?CBA ? ? 60? ? 30? 2 2
所以 AE ? EF ? sim?F ? 2 ? sim30? ? 1
2

A

B

5.将 1,2,3,4,5 这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续 三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( (A)2 种 【答】 (D) 解:设 a1,a2,a3,a4,a5 是 1,2,3,4,5 的一个满足要求的排列. 首先,对于 a1,a2,a3,a4 ,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数, 与已知条件矛盾. 又如果 ai (1≤i≤3)是偶数, ai ?1 是奇数,则 ai ? 2 是奇数,这说明一个偶数后面一定要 接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数. 所以 a1,a2,a3,a4,a5 只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下 5 种情形满足条件: 2,1,3,4,5; 4,3,1,2,5; 2,3,5,4,1; 4,5,3,2,1.
1 4

) .

(B)3 种

(C)4 种

(D)5 种

2,5,1,4,3;

二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6.对于实数 u,v,定义一种运算“*”为:u ? v ? uv ? v .若关于 x 的方程 x ? (a ? x) ? ? 有两个不同的实数根,则满足条件的实数 a 的取值范围是 【答】 a ? 0 ,或 a ? ?1 .
1 1 解:由 x ? (a ? x) ? ? ,得 (a ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? ? 0 , 4 4



依题意有

?a ? 1 ? 0, ? 2 ?? ? (a ? 1) ? (a ? 1) ? 0,

解得, a ? 0 ,或 a ? ?1 . 7.小王沿街匀速行走,发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车,每隔 3 分钟从迎 面驶来一辆 18 路公交车.假设每辆 18 路公交车行驶速度相同,而且 18 路公交车总站每隔 固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 【答】4. 解:设 18 路公交车的速度是 x 米/分,小王行走的速度是 y 米/分,同向行驶的相邻两车 的间距为 s 米. 每隔 6 分钟从背后开过一辆 18 路公交车,则 6 x ? 6 y ? s . 每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车,则 3x ? 3 y ? s .
3

分钟.

① ②

由①,②可得 s ? 4x ,所以

s ? 4. x 即 18 路公交车总站发车间隔的时间是 4 分钟.

8.如图,在△ ABC 中,AB=7,AC=11,点 M 是 BC 的中点, AD 是∠BAC 的平分线,MF∥AD,则 FC 的长为 【答】9. 解:如图,设点 N 是 AC 的中点,连接 MN,则 MN∥AB. 又 MF // AD ,所以 ?FMN ? ?BAD ? ?DAC ? ?MFN ,
1 AB . 2 1 1 因此 FC ? FN ? NC ? AB ? AC ? 9. 2 2
. (第 8 题 5

数,段成比 例,所以

所以 FN ? MN ?

(第 8 题答案 5

数,段成比例, E 所 以 另解:如图,过点 C 作 AD 的平行线交 BA 的延长线为 E,延长 MF 交 AE 于点 N. 则 ?E ? ?BAD ? ?DAC ? ?ACE
所以 AE ? AC ? 11. 即 CF ? EN ? 又 FN // CE ,所以四边形 CENF 是等腰梯形,
B D M C A N F

1 1 BE ? ? (7 ? 11) ? 9 2 2

9.△ABC 中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC 的内切圆圆心 I 作 DE∥BC,分别与 AB,AC 相交于点 D,E,则 DE 的长为 【答】
16 . 3


) )

解:如图,设△ABC 的三边长为 a,b,c,内切圆 I 的半径为 r, BC 边上的高为 ha ,则
1 1 aha ? S△ABC ? (a ? b ? c)r , 2 2

所以

r a ? . ha a ? b ? c

(第 9 题答案 5

数,段成比例, 所 以
ha ? r DE ? , ha BC

因为△ADE∽△ABC,所以它们对应线段成比例,因此

所以 故

DE ?

ha ? r r a a (b ? c) ? a ? ( 1? a )? ( ?1 a) , ? ha ha a?b?c a?b?c

DE ?

8? ( 7? ) 9 16 ? . 8 ? 7? 9 3
4

另解: ? S ?ABC ? rp ?
(这里

p ( p ? a )( p ? b)( p ? c ) = 12 ? 4 ? 3 ? 5 ? 12 5
所以 r

p?

a?b?c ) 2

?

12 5 2S 2 ? 12 5 ? 5 , ha ? △ABC ? ?3 5 a 8 12

由△ADE∽△ABC,得 即 DE ??
2 16 BC ? 3 3

DE ha ? r 3 5 ? 5 2 ? ? ? , BC ha 3 3 5

10.关于 x,y 的方程 x 2 ? y 2 ? 208( x ? y ) 的所有正整数解为
? x ? 48,? x ? 160, 【答】 ? ? ? y ? 32,? y ? 32.



解:因为 208 是 4 的倍数,偶数的平方数除以 4 所得的余数为 0,奇数的平方数除以 4 所得的余数为 1,所以 x,y 都是偶数. 设 x ? 2a, y ? 2b ,则
a 2 ? b 2 ? 104(a ? b) ,

同上可知,a,b 都是偶数.设 a ? 2c, b ? 2d ,则
c 2 ? d 2 ? 52(c ? d ) ,

所以,c,d 都是偶数.设 c ? 2s, d ? 2t ,则
s 2 ? t 2 ? 26( s ? t ) ,

于是

( s ? 13)2 ? (t ? 13) 2 = 2 ?132 ,

其中 s,t 都是偶数.所以
( s ? 13)2 ? 2 ?132 ? (t ? 13)2 ≤ 2 ?132 ? 152 ? 112 .

所以 s ? 13 可能为 1,3,5,7,9,进而 (t ? 13) 2 为 337,329,313,289,257,故只能
? s ? 6, ? s ? 20, 是 (t ? 13) 2 =289,从而 s ? 13 =7.于是 ? ? ?t ? 4; ?t ? 4,

因此

,? x ? 1 6 , 0 ?x ? 4 8 ? ? ,? y ? 3 2 . ?y ? 3 2

5

另解:因为 ( x ? 104)2 ? ( y ? 104)2 ? 2 ? 1042 ? 21632 又 y 正整数,所以 1 ? y ? 43 令 a ?| x ? 104 |, b ?| y ? 104 |,  则a 2 ? b 2 ? 21632 因为任何完全平方数的个位数为:1,4,5,6,9

则有 ( y ? 104)2 ? 21632,

由 a2 ? b2 ? 21632 知 a 2 , b 2 的个位数只能是 1 和 1 或 6 和 6; 当 a 2 , b 2 的个位数是 1 和 1 时,则 a, b 的个位数字可以为 1 或 9 但个位数为 1 和 9 的数的平方数的十位数字为偶数,与 a2 ? b2 的十位数字为 3 矛盾。 当 a 2 , b 2 的个位数是 6 和 6 时,则 a, b 的个位数字可以为 4 或 6。 由 105 ? b ? 147 , 取 b =106, 114, 116, 124, 126, 134, 136, 144, 146 代入 a2 ? b2 ? 21632
?| x ? 104 |? 56 得,只有当 b =136 时, a =56,即 ? ?| y ? 104 |? 136 ? x ? 48 ? x ? 160 ,? 解得 ? ? y ? 32 ? y ? 32

三、解答题(共 4 题,每题 15 分,满分 60 分) 11.在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 的图象与 x 轴、 y 轴的正半轴分别 交于 A,B 两点,且使得△OAB 的面积值等于 OA ? OB ? 3 . (1) 用 b 表示 k; (2) 求△OAB 面积的最小值. 解: (1)令 x ? 0 ,得 y ? b ,b ? 0 ;令 y ? 0 ,得 x ? ?
b ? 0,k ? 0 . k

b 所以 A,B 两点的坐标分别为 A (? , 0), B(0, b) ,于是,△OAB 的面积为 k 1 b S ? b ? (? ) . 2 k 1 b b 由题意,有 b ? (? ) ? ? ? b ? 3 , 2 k k

解得

2b ? b 2 k? , b ? 2 .?????? 5 分 2(b ? 3)

(2)由(1)知

1 b b(b ? 3) (b ? 2) 2 ? 7(b ? 2) ? 10 S ? b ? (? ) ? ? 2 k b?2 b?2
10 10 2 ?7 ? ( b?2 ? ) ? 7 ? 2 10 ≥ 7 ? 2 10 , b?2 b?2
6

? b?2?

当且仅当 b ? 2 ?

10 时,有 S ? 7+2 10 ,即当 b ? 2 ? 10 ,k ? ?1时,不等式中的等号成立. b?2

所以,△ABC 面积的最小值为 7 ? 2 10 .

?????? 15 分

12.是否存在质数 p,q,使得关于 x 的一元二次方程 px 2 ? qx ? p ? 0 有有理数根? 解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令 ? ? q 2 ? 4 p 2 ? n 2 , 其中 n 是一个非负整数.则 (q ? n)(q ? n) ? 4 p 2 . ?????? 5 分

由于 1≤ q ? n ≤q+n,且 q ? n 与 q ? n 同奇偶,故同为偶数.因此,有如下几种可能情形:
p p ? q ? n ? p 2, ?q ? n ? 2, ? q ? n ? 4, ?q ? n? , ?q ? n? 2 , ? ? ? ? ? 2 2 p ?q ? n? 2 , p ? q ? n ? 4. ?q ? n ? 2 p , ? q ? n ? p , ?q ? n? 4 ,

消去 n,解得 q ? p 2 ? 1, q ? 2 ?

p2 5p p2 .?????? 10 分 , q ? , q ? 2 p, q ? 2 ? 2 2 2

对于第 1,3 种情形, p ? 2 ,从而 q=5;对于第 2,5 种情形, p ? 2 ,从而 q=4(不 合题意,舍去) ;对于第 4 种情形,q 是合数(不合题意,舍去) .
1 又当 p ? 2 , q=5 时, 方程为 2 x2 ? 5x ? 2 ? 0 , 它的根为 x1 ? ,x2 ? 2 , 它们都是有理数. 2

综上所述,存在满足题设的质数?????? 15 分 ★12、已知 a, b 为正整数,关于 x 的方程 x ? 2ax ? b ? 0 的两个实数根为 x1,x2 ,
2

关于 y 的方程 y ? 2ay ? b ? 0 的两个实数根为 y1,y 2 ,且满足 x1 ?y1 ? x2 ?y2 ? 2008 .
2

求 b 的最小值. 另解:由韦达定理,得 即?

x1 ? x2 ? 2a,  x1 ?x2 ? b ; y1 ? y2 ? ?2a,  y1 ?y2 ? b

? y1 ? y2 ? ?2a ? ?( x1 ? x2 ) ? (? x1 ) ? (? x2 ) ,  y ? y ? b ? ( ? x ) ? ( ? x ) ? 1 2 1 2 ? y1 ? ? x1 ? y1 ? ? x2 或? y ? ? x ? 2 2 ? y2 ? ? x1
(? x1 ) ? x2 ? (? x2 ) ? 2008 得 x1 ?

解得: ?

把 y1 , y2 的值分别代入 x1 ?y1 ? x2 ?y2 ? 2008

(? x2 ) ? x2 ? (? x1 ) ? 2008 (不成立) 或 x1 ?
即 x2 ? x1 ? 2008 , ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ? 2008
2 2

因为 x1 ? x2 ? 2a ? 0,  x1 ?x2 ? b ? 0

所以 x1 ? 0,  x2 ? 0
7

于是有

2a ? 4a 2 ? 4b ? 2008 即 a ? a 2 ? b ? 502 ? 1 ? 502 ? 2 ? 251

?a ? 505 ?a ? 2 ?a ? 251 或 或 或 ? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 ?a ? b ? 502 ?a ? b ? 1 ?a ? b ? 251 ?a ? b ? 4 ?a ? 1 ?a ? 502 ?a ? 2 ?a ? 251 分别解得: ? 或 或 或 ? ? ? 2 2 2 2 ?b ? 1 ? 502 ?b ? 502 ? 1 ?b ? 2 ? 251 ?b ? 251 ? 4 ?a ? 502 ?a ? 251 经检验只有: ? 符合题意. ,  ? 2 2 ?b ? 502 ? 1 ?b ? 251 ? 4
因为 a,b 都是正整数, 所以 ? 所以 b 的最小值为: b最小值 ? 251 ? 4=62997
2

?a ? 1

13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角 2 倍的 △ABC?证明你的结论. 解:存在满足条件的三角形. 当△ABC 的三边长分别为 a ? 6 , b ? 4 , c ? 5 时, ?A ? 2?B .?????? 5 分 如图,当 ?A ? 2?B 时,延长 BA 至点 D,使 AD ? AC ? b .连接 CD,则△ ACD 为等腰三角 形.因为 ?BAC 为△ ACD 的一个外角,所以 ?BAC ? 2?D .由已知, ?BAC ? 2?B ,所以
?B ? ?D .所以△ CBD 为等腰三角形.

又 ?D 为△ ACD 与△ CBD 的一个公共角,有△ ACD ∽△ CBD ,于是 AD CD b a , 即 , ? ? CD BD a b?c 所以
a 2 ? b?b ? c ? .
(第 13(A)题答案 5

而 62 ? 4 ? (4 ? 5) ,所以此三角形满足题设条件, 故存在满足条件的三角形. ?????? 15 分 说明:满足条件的三角形是唯一的. 若 ?A ? 2?B ,可得 a 2 ? b?b ? c ? .有如下三种情形:

数,段成比例,所以

(i)当 a ? c ? b 时,设 a ? n ? 1, c ? n , b ? n ? 1( n 为大于 1 的正整数) , 代入 a 2 ? b?b ? c ? ,得 ? n ? 1? ? ? n ? 1?? 2n ? 1? ,解得 n ? 5 ,有 a ? 6 , b ? 4 , c ? 5 ;
2

(ⅱ)当 c ? a ? b 时,设 c ? n ? 1, a ? n , b ? n ? 1( n 为大于 1 的正整数) , 代入 a 2 ? b?b ? c ? ,得 n 2 ? ?n ? 1? ? 2n ,解得 n ? 2 ,有 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 ,此时不能构成 三角形; (ⅲ)当 a ? b ? c 时,设 a ? n ? 1, b ? n , c ? n ? 1 ( n 为大于 1 的正整数) , 代入 a 2 ? b?b ? c ? ,得 ?n ? 1? ? n?2n ? 1? ,即 n 2 ? 3n ? 1 ? 0 ,此方程无整数解.
2



所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的 2 倍的三角形 存在,而且只有三边长分别为 4,5,6 构成的三角形满足条件.
8

★13、如图,△ABC 的三边长 BC ? a,  AC ? b,  AB ? c,  a, b, c 都是整数,且 a, b 的最大公约数是 2。点 G 和点 I 分别为△ABC 的重心和内心,且 ?GIC ? 90? ,求△ABC 的周长. 另解:如图,连结 GA,GB,过 G,I 作直线交 BC、AC 于点 E、F,作△ABC 的内切圆 I, 切 BC 边于点 D。记△ABC 的半周长为 P,内切圆半径为 r,BC,AC 边上的高线长为 ha , hb

? S ?ABC ? rp ?

p ( p ? a )( p ? b)( p ? c )

A F c b G B I r a E D C

( p ? a)( p ? b)( p ? c) ?r ? p
易知: CD ? p ? c ,在 Rt ?CIE 中, DE ? 即 DE ?

r2 p?c

( p ? a )( p ? b) p ( p ? a )( p ? b) ab ? p p

∴ CE ? CD ? DE ? ( p ? c ) ?

又∵ CI ? EF , CI 平分?ACB ,所以 CE=CF 由 S?ABC ? S?ABG ? S?BEG ? S?AFG ? S?FEC   得: S ?ABC= 即 S ?ABC= 整理得

S?ABC 1 ab h 1 ab h 1 ab ? ? (a ? ) ? a ? ? (b ? ) ? b ? 2 ? ? ?r 3 2 p 3 2 p 3 2 p

S?ABC 1 p?b 1 p ? a ab ? ( ? a ? ha ) ? ? ( ? b ? hb ) ? ? 2 ? rp 3 2 3p 2 3p p

2 p 2 ? cp ? 3ab ,即 3ab ? 2 p 2 ? cp ? p(2 p ? c) ? P(a ? b)

设△ABC 的周长为 m ,则 m ? 2 p ?

6ab 为整数。 a?b 12 st s?t

由已知 (a, b) ? 2 ,设 a ? 2s, b ? 2t , 且( s, t ) ? 1, s, t都是正整数 ,代入上式,得 m ?

∵ ( s, s ? t ) ? 1,(t , s ? t ) ? 1 ,∴ s ? t 是 12 的约数,即 s ? t =1,2,3,4,6,12

? s ? 1 ? s ? 2 ? s ? 3 ? s ? 5 ? s ? 11 ? s ? 7 ? ? ? ? ? ? (s,t)= 1 ,得 ?t ? 1 , ?t ? 1 , ?t ? 1 , ?t ? 1 , ?t ? 1 , ?t ? 5 不妨设 s ? t ,则 ?m ? 6 ?m ? 8 ?m ? 9 ?m ? 10 ?m ? 11 ?m ? 35 ? ? ? ? ? ?
9

?s ? 7 ? 经检验,只有 ?t ? 5 符合题意, ?m ? 35 ?
所以: a ? 14, b ? 10, c ? 11 或 a ? 10, b ? 14, c ? 11 ,即所求△ABC 的周长为 35。 14.从 1,2,?,9 中任取 n 个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是 全部) ,它们的和能被 10 整除,求 n 的最小值. 解:当 n=4 时,数 1,3,5,8 中没有若干个数的和能被 10 整除.????? 5 分
?,a5 是 1,2,?,9 中的 5 个不同的数.若其中任意若干个数, 当 n=5 时,设 a1,a2,

?,a5 中不可能同时出现 1 和 9; 它们的和都不能被 10 整除, 则 a1,a2, 2 和 8; 3 和 7; 4 和 6. 于 ?,a5 中必定有一个数是 5. 是 a1,a2,
?,a5 中含 1,则不含 9.于是不含 4(4+1+5=10) 若 a1,a2, ,故含 6;于是不含 3(3

+6+1=10) ,故含 7;于是不含 2(2+1+7=10) ,故含 8.但是 5+7+8=20 是 10 的倍数, 矛盾.
?,a5 中含 9,则不含 1.于是不含 6(6+9+5=20) 若 a1,a2, ,故含 4;于是不含 7(7

+4+9=20) ,故含 3;于是不含 8(8+9+3=10) ,故含 2.但是 5+3+2=10 是 10 的倍数, 矛盾. 综上所述,n 的最小值为 5.?????? 15 分 ★★ 14、已知有 6 个互不相同的正整数 a1,a2 ,?, a6 ,且 a1 ? a2 ? ? ? a6 ,从这 6 个数中任 意取出 3 个数,分别设为 ai,a j ,  ak ,其中 i ? j ? k 。记 f (i, j , k ) ?
1 2 3 ? ? ai a j ak

证明:一定存在 3 个不同的数组 (i, j, k ) ,其中 1 ? i ? j ? k ? 6 ,使得对应着的 3 个 f (i, j, k ) 两 两之差的绝对值都小于 0.5.(征求答案)

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