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福建省龙岩市2013届高三1月教学质量检查数学理试题 Word版含答案


龙岩市 2012~2013 学年第一学期高三教学质量检查数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题) , 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
注意事项: 1. 考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卷上. 2. 答题要求见答题卷上的“填涂样例”和“注意事项”. 参考公式: 锥体体积公式 球的表面积、体积公式 1 4 V ? Sh S ? 4? R 2 ,V ? ? R3 3 3 其中 S 为底面面积,h 为高 其中 R 为球的半径 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一. 选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是 A. a ? b ? 2 ab B.

a? b

C. log 1 a ? log 1 b
x

D. 0.2 ? 0.2
a

b

2. 已知 R 是实数集, M ?? x 1? x?3?, N ? x 4?2 ?16 ,则 M ? N ? A. (0,3) B.

?

?

2

2

? 2,3?

C. (1,3)

D. (1, 4)

3. “ a ? ?1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 ax ? y ? 1 ? 0 互相垂直”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条 件 4. 已知函数 f ( x) ? sin(ax ? 则 a 的值是 A.

?

3

)(a ? 0) 图象相邻两对称轴间的距离为 4 ,
C.

? 2

B.

? 3

? 4

D.

? 6

5. 如右图,一个由两个圆锥组合而成的空间几何体的正视图和侧视图都是 边长为 1、一个内角为 60? 的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么这个几何 体的体积为 (第 5 题图) ? ? 3? 3? B. C. D. ? 12 6 12 6 3 6. 已知函数 y ? 3x ? x 在 x ? a 处的极小值为 b ,则 a ? b 等于 A. ?3 B. 0 C. ?3 D. 3 7. 已知正 ?ABC 的顶点 A(1,1), B(1,3) , 顶点 C 在第一象限, 若点 P( x, y) 是 ?ABC 内部及 y 其边界上一点,则 的最大值为 x?1 2 1 3 3 3 ?3 A. B. C. D. 2 2 3 2 8. 对于不重合的直线 m, n 和平面 ? , ? ,下列命题错误的是 .. A. A. 若 m // n, n ? ? , m ? ? ,则 m // ? C. 若 m ? n, m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? B. 若 m // n, m // ? ,则 n // ? 或 n ? ? D. 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m // ?

9. 设 F 、F2 是离心率为 2 的双曲线 1

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右两个焦点.若在双 a 2 b2 曲线左支上存在点 P ,使 | OP |?| OF2 | ( O 为坐标原点)且 PF2 ? ? PF ,则 ? 的值为 1

A. 2 ? 3 B. 4 C. 2 ? 5 D. 2 ? 6 10. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数, 且对于任意的 x 都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? 0 恒成立. 如 果 实 数 m , n 满 足 不 等 式 ?

?n ? 4
2 2 ? f (m ? 6m ? 25) ? f (n ? 8n) ? 0

, 那 么

m2 ? n2 ? 2m ? 2n 的取值范围是 A. [11, 47] B. [11,39]

C. [7, 47] 共 100 分)

D. [7,11]

第Ⅱ卷(非选择题
11.

二. 填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卷的相应位置上)

(1 ? x )dx ? . ?? ? ?? ? 1 12. 已知向量 m ? (1,cos ? ? ) , n ? (sin ? ,1) ,且 m ? n ,则 sin 2 ? 等于
0

?

3

. 2 * 13. 已 知 数 列 ?an ? 的 首 项 为 2 , 数 列 ?bn ? 为 等 差 数 列 且 bn ? an?1 ? an ( n ? N ) .若

b2 ? ?2 , b7 ? 8 ,则 a8 ?

.

14. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 5) ? f ( x) ,

??( x ? 3)2 , ? 2 ? x ? 0 且 f ( x) ? ? , ? x, 0 ? x ? 3
则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2013) ? . 15. 如图放置的长方形 ABCD , AB ? 2 , AD ? 1 , A 、 D 分别 在 x 轴、 y 轴的正半轴 (含原点)上滑动,则 OC ?OB 的最大值是

??? ??? ? ?

.

三. 解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,把答案填在答题卷的相应位置上) 16.(本小题满分 13 分) 4 ? 在 ?ABC 中,a 、b 、c 分别是三个内角 A 、 B 、C 的对边,sin A ? , A ? ( , ? ) , 2 5

a ? 41 ,且 ?ABC 的面积为 4 . ? (I)求 cos( A ? ) 的值;
4 (Ⅱ)求 b ? c 的值.

17.(本小题满分 13 分) 在多面体 ABCDEF 中,ABCD 为正方形, AD ? DE ? 2 BF ? 2 ,

FB ? 平面 ABCD , ED ? 平面 ABCD .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDEF ; (Ⅱ)若点 G 为 AE 的中点,求证: FG // 平面 ABCD ; (Ⅲ)求二面角 C ? EF ? D 的大小.

18.(本小题满分 13 分) 某化工厂计划投入一条新的生产线, 但需要经环保部门批准方可投入生产, 经测算这条 新生产线前 n 个月的生产累计产量为 f (n) ? n(n ? 1)(3n ? 1) 吨,但如果月产量超过 124 吨, .. 将会给环境造成危害. (Ⅰ)如果该厂不采取环保措施,试问这条新生产线最多只能生产多少个月,才不会对 环境造成危害; (Ⅱ)为了使这条新生产线既能持续生产,同时又不污染环境,每月需要缴纳 a(a ? 0) 4 万元的环保费用于治理环境, 已知每吨产品售价为 万元, n 个月这条生产线的生产成本 第 3 23 2 11 31 (环保费除外)为 g (n) ? n ? n ? 万元,要使每月都有盈利,试求 a 的取值范围. 2 3 6

19.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

1 ,它的一个顶点恰好是抛物线 2

x2 ? ?12 y 的焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M (m, 0) 的直线 l 与椭圆 C 相切 (m ? ?2 3) ,直线 l 与 y 轴交于点 N ,当 m 为何值时 ?OMN 的面积有最小值?并求出最小值.
20.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x3 ? cx ? d ,其图象记为曲线 C . 曲线 C 在点 A(0, d ) 处的切 线 l 的方程为: x ? y ? 1 ? 0 . (ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (ⅱ)给出命题 P:若对于任意非零实数 x1 ,曲线 C 与其在点 P ( x1 , f ( x1 )) 处的切线 l1 1 交于另一点 P ( x2 , f ( x2 )) ,且 l1 交 l 于点 M ;曲线 C 在点 P ( x2 , f ( x2 )) 处的切线 l2 交 l 于 2 2

???? ? AM 点 N ,则 ???? 为定值. 请证明命题 P 是真命题. AN
3 2

(Ⅱ)对于一般的三次函数 g ( x) ? ax ? bx ? cx ? d ?a ? 0? ,请给出类似于(Ⅰ) 中 (ⅱ)的正确命题,并予以证明. 21. (本小题满分 14 分)本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 、 、 题作答,满分 14 分.如果多做,则按照所做的前两题记分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换
? ?2 ? 已知矩阵 A ? ? 3 ? ? 2

1? 1? ? ? 2?
?

(Ⅰ)求矩阵 A 的逆矩阵 B ; (Ⅱ)若直线 l 经过矩阵 B 变换后的直线方程为 7 x ? 3 y ? 0 ,求直线 l 的方程. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴
? 1 t, ? x ?1? 5 l 的参数方程为 ? 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 ( t 为参数).若直线 l 与 ? ? y ?a ? 2 t ? 5 ?

圆 C 相交于 P , Q 两点,且 | PQ |?

4 5 . 5

(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程,并求出圆心坐标和半径; (Ⅱ)求实数 a 的值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | , g ( x) ? ? | x ? 4 | ?m (Ⅰ)已知常数 a ? 2 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 2 ? 0 ; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,求实数 m 的取值范围.

龙岩市 2012~2013 学年第一学期高三教学质量检查

数学(理)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 C 5 A 6 C 7 B 8 D 9 A 15. 6 ?2 10 A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 15 11. ; 12. ? 3 ; 13. 16 ; 14. ?802 ; 2 4 16. 解: (Ⅰ)? sin A ? 分

4 3 4 ? , A ? , ? ,?cos A ? ? 1 ? sin 2 A ? ? 1 ? ( )2 ? ? 5 2 5 5

? ?
2

? cos( A ? ) ? (cos A ? sin A) ? (? ? ) ? 2 2 5 5 10 4 ?? ? 2 即 cos ? A ? ? 的值是 ???????????????????6 10 4? ?


?

2

3

4

2

(Ⅱ)由已知得 分

1 8 8 bc sin A ? 4 ? bc ? ? 4 ? 10 2 sin A
5
2 2 2

???????????8

由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 3 3 ? a ? 41, bc ? 10,cos A ? ? ? 41 ? b2 ? c 2 ? 2 ?10 ? (? ) 5 5 ? b2 ? c 2 ? 29 ??????????????????????11 分

?(b ? c)2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? 29 ? 20 ? 49 ? b ? c ? 7 ,即 b ? c 的值是 7.?13
分 17.解: (Ⅰ)? ED ? 平面 ABCD , FB ? 平面 ABCD ? DE // BF , D 、 E 、 B 、 F 在同一平面内

? ABCD 为正方形,? AC ? BD , 又? AC ? DE , BD ? DE ? D ???????4 分 ? AC ? 平面 BDEF (Ⅱ)过 G 作 GH ? AD 于 H ,
1 ED ? 1, GH // ED 2 又 FB ? 1, FB // ED , GH //FB
则 GH ?

? FGHB 为平行四边形 ? GF // HB ,又 GF ? 平面 ABCD,HB ? 平面 ABCD ? GF // 平面 ABCD


???????8

,, 2 (Ⅲ) 如图所示, 建立空间直角坐标系 D ? xyz , C0) 则 (0

E F , (0,0, 2) , (2, 2,1) , ??? ? ??? ? CE ? (0, ?2, 2) , CF ? (2,0,1) ? 设 n ? ( x, y, z) 是平面 EFC 的一个法向量,则 ??2 y ? 2 z ? 0 ,令 x ? 1 ,则 y ? z ? ?2 ? ?2 x ? z ? 0 ? ∴ n ? (1, ?2, ?2) ?? ??? ? 又 m ? AC ? (?2, 2,0) 是平面 BDEF 的一个法向量, ????????11
设二面角 C ? EF ? D 的大小为 ? ( ? 为锐角) ,则 ?? ? ? ? ?? ? |m?n| 6 2 ? cos ? ?| cos ? m, n ?|? ?? ?? ? ? ,∴ ? ? 45? 2 |m||n| 2 2?3 即二面角 C ? EF ? D 的大小为 45? . ???????????????13



分 18. 解: (Ⅰ)设这条新生产线第 n 个月的产量为 an 吨,则 a1 ? f (1) ? 4 当 n ? 2 时, an ? f (n) ? f (n ?1) ? 9n2 ? 5n ,∴ an ? 9n2 ? 5n (n ? N *) ??3 分 令 an ? 124 ,则 9n ? 5n ? 124 ,即 (9n ? 31)(n ? 4) ? 0 ,解得 n ? 4
2

即这条新生产线最多只能生产 4 个月,才不会造成环境污染. 分 (Ⅱ)由

??????7

4 a ? g (n) ? a ? 0 得 3 n

?????????8



a ? an ? g (n) 对 n ? N * 恒成立
∵ 4 an ? g (n) ? 12n2 ? 20 n ? ( 23 n2 ? 11 n ? 31) ? 1 n2 ? 3n ? 31 ?
3 3 2 3 6 2 6

4 3

1 2 (n ? 3)2 ? 2 3

当 n ? 3 时, ? an ? g (n)?

?3 ?

4

? min ?

?

2 3
???????????????13

∴所求 a 的取值范围为 0 ? a ? 分 19. 解: (Ⅰ)设 C 方程为 则b ? 3. 双曲线

2 . 3

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,抛物线 x2 ? ?12 y 的焦点为 (0, ?3) , 2 a b

c 1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率 e ? 2 所以 ? , a 2 ? c 2 ? b 2 ,得 a ? 2 3 a 2 9 27 2 2 x y ? ? 1 . ?????????????????4 ∴椭圆 C 的方程为 12 9
分 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? m) ,由对称性不妨设 k ? 0

? x2 y 2 ?1 ? ? 由 ?12 9 消 y 得: (3 ? 4k 2 )x2 ? 8k 2 mx ? 4k2 m2 ? 36 ? 0 ? y ? k ( x ? m) ?
分 依题意 ? ? 64k 4 m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4 2 m2 ? 36)? 0 ,得: m ? k
2

??6

9 ? 12 ?8 k2

分 由 y ? k ( x ? m) ,令 x ? 0 ,得 y ? ?km ,即 N (0, ?km)

? S?OMN ? (?m)?(?km) ? km 2 ? k (
分)

1 2

1 2

1 2

9 ? 12) ?10 分(用 m 表示一样给 k2

9 ? k ?6 3 12 k 9 3 当且仅当 ? 12k 即 k ? 时取等号. k 2

? S?OMN ? ( ? 12k ) ?

1 9 2 k

????????12 ????????13

分 因为 m ? 0, 故 m ? ?2 6 时,S?OMN 有最小值 6 3 . 分 20. 解: (Ⅰ)由题意得: ?

?d ? 1 ? 0 ?c ? ?1 , ,解得 ? . ? f '(0) ? ?1 ?d ? 1
????????????3

3 故函数 f ( x ) 的解析式是 f ( x) ? x ? x ? 1

分 ( Ⅱ ) 由 已 知 切 线 l1 的 方 程 为 y ? ( f
1

x? )

f 1 ( x )? ( x, 即) ' x 1

y ? f (1 x ) ?x 1 ' (

x) ?

1

f( x)
2 x 3 1

代入 x ? y ? 1 ? 0 ,解得 xM ?

联立方程组 ?

? y ? f ( x1 ) ? f '( x1 )( x ? x1 )



② ? y ? f ( x) 2 2 由②代入①整理得 x ? x1 x ? 2 x1 ? 0 根据一元二次方程根式与系数得 x1 ? x2 ? ? x1 ,∴ x2 ? ?2x1 ???????7
分 同理可得 xN ?
????? ?

2 4 x2 ; ∴ xN ? ? x1 ,∴ xN ? ?2 xM 3 3
????? ?

AM 1 | x ?0| 1 ? ,即 ????? 为定值且定值为 . ∴ ????? ? M AN AN 2 | xN ? 0 | 2

AM

????????9



(Ⅲ) 类似的正确命题: 已知函数 g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ?a ? 0? , 其图象记为曲线 C ' . b b 曲 线 C ' 在 点 A(? , g (? )) 处 的 切 线 方 程 为 l . 若 对 于 的 任 意 实 数 3a 3a b x1 ( x1 ? ? ) , 曲 线 C ' 与 其 在 点 P ( x1 , g ( x ) 处 的 切 线 l1 交 于 另 一 点 1 1 ) 3a 曲线 P ( x2 , g ( x ),l1 交 l 于点 M ; C ' 在点 P (x2 , g (x2 )) 处的切线 l2 交 l 于点 N , 2 2 ) 2

AM 1 b b 则 ????? 为定值且 定值为 . ( 说明:切线 l 需过点 A(? , g (? )) ,且 3a 3a AN 2

????? ?

b ,方能得分) ????11 分 3a 事实如下: g '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,切线 l1 的方程为 y ? g ( x1 ) ? g '( x1 )( x ? x1 ) ,

x1 ? ?

即 y ? g '( x1 )( x ? x1 ) ? g ( x1 ) 整理得 ax2 ? (ax1 ? b) x ? 2ax12 ? bx1 ? 0(a ? 0) 由一元二次方程根式与系数得 x1 ? x2 ? ? 切线 l 的方程为 y ? g (?

ax1 ? b b ,∴ x2 ? ?2 x1 ? a a

b b b ) ? g '(? )( x ? ) 3a 3a 3a b b b 即 y ? g '(? )( x ? ) ? g (? ) 代入切线 l1 的方程 y ? g ( x1 ) ? g '( x1 )( x ? x1 ) 3a 3a 3a
解得 xM ?

18a 2 x12 ? 3abx1 ? 2b2 18a 2 x22 ? 3abx2 ? 2b2 ,同理可得 xN ? 9a(3ax1 ? b) 9a(3ax2 ? b)
b a

∵ x2 ? ?2 x1 ? ∴

b b 18a 2 (?2 x1 ? )2 ? 3ab(?2 x1 ? ) ? 2b2 a 18a 2 x12 ? 3abx1 ? 2b2 b a xN ? 2 xM ? ? 2? ?? b 9a(3ax1 ? b) a 9a[3a(?2 x1 ? ) ? b]
a b b ∴ xN ? (? ) ? ?2[ xM ? (? )] 3a 3a ???? ? ???? ? b AM | xM ? (? ) | 1 AM 1 3a ? ,即 ∴ ???? ? ???? 为定值且定值为 . b 2 AN AN | xN ? ( ? ) | 2 3a

???14

分 注:本题第(Ⅱ)问可以把三次函数图象对称中心移至原点,按相应步聚给分.

?2 1 1 3 1 ? 21(1)解: (Ⅰ) ? ? 3 1 ? (?2)(? ) ? 1? ? ? ? 0 ? B 2 2 2 ? 2 2

? 1 ?? ? 2 ? ?? ? ? ?3 ? 2 ? ? ?

? ? ?2 ? ? ??

?1 ? ? ??

?

?1 2? ?? ? ?3 4?

(Ⅱ)设直线 l 上任意一点 P( x, y) 经过矩阵 B 变换后变为 P '( x ', y ') ,则

? 1 2 ?? x ? ? x ' ? ?x ' ? x ? 2 y ? ?? ? ? ? ? ,即 ? ? 3 4 ?? y ? ? y ' ? ? y ' ? 3x ? 4 y


???????????5

又 7 x '? 3 y ' ? 0 ,则 7( x ? 2 y ) ? 3(3x ? 4 y ) ? 0 ,即直线 l 的方程为 y ? x ???7 分 (2)解: (Ⅰ)由 ? ? 2cos ? 得 x 2 ? y 2 ? 2 x ,即 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , 所以圆 C 的圆心坐标为 (1, 0) ,半径 r ? 1 ???????????????3 分 ? 1 t, ? x ?1? 5 ? (Ⅱ)由 ? 得直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? a ? 2 ? 0 ???????5 ? y ?a ? 2 t ? 5 ? 分 由 | PQ |?

1 |a| 4 5 ,半径 r ? 1 可得圆心到直线 l 的距离为 , ? 5 5 5
??????????????7

解得 a ? 1 或 a ? ?1 分

(3)解: (Ⅰ)由 f ( x) ? a ? 2 ? 0 得 | x ? 3 |? 2 ? a ,? x ? 3 ? 2 ? a 或 x ? 3 ? a ? 2

? x ? 5 ? a 或 x ? a ?1


故不等式的解集为 (??, a ? 1) ? (5 ? a, ??) ????3

(Ⅱ)∵函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方 ∴ f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 m ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | 恒成立 分 ∵ | x ? 3| ? | x ? 4 | ? | ( x ? 3) ? ( x ? 4) |? 7 , ∴ m 的取值范围为 m ? 7 . 7分 ???????????????? ??????5


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