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高三数学第一轮复习测试及详细解答(2)——《数列》


高三数学第一轮复习单元测试(2)— 《数列》

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列, c 、 a 、 b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 , 则a= ( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 2.已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则其公差是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于 ( ) ) ) A.40 B.42 C.43 D.45 4.在等差数列{an}中,若 aa+ab=12,SN 是数列{an}的前 n 项和,则 SN 的值为 ( A.48 B.54 C.60 D.66 S3 1 S6 5.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = ( S6 3 S12 3 1 1 1 A. B. C. D. 10 3 8 9 ( A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 ( C.200 D.201 )

6.设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ?a 1 2 ?a 1 3 ? )

7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 OB ? a1 OA ? a200 OC ,且 A、B、C 三点共线 8.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 ? 也是等比数列,则 Sn 等于 ( ) ) (该直线不过原点 O) ,则 S200= A.100 B.101

?2 B. 3n C. 2 n D. 3 ? 1 4 7 10 3n?10 9.设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ( (n ? N ) ,则 f (n) 等于 2 n 2 n ?1 2 n ?3 2 n?4 A. (8 ? 1) B. (8 ? 1) C. (8 ? 1) D. (8 ? 1) 7 7 7 7
A. 2
n

n ?1

10.弹子跳棋共有 60 棵大小相同的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体球垛,使剩下 的弹子尽可能的少,那么剩下的弹子有 ( ) A.3 B.4 C.8 D.9 11.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,令 Tn ?

S1 ? S 2 ? ? ? S n ,称 Tn 为数列 a1 , a2 ,??, n

,已知数列 a1 ,a2 ,??,a500 的“理想数”为 2004,那么数列 2, a1 , an 的“理想数”

a2 ,??, a500 的“理想数”为
-1-





A.2002

B.2004

C.2006

D.2008

12.一给定函数 y ? f ( x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? (0,1) ,由关系式 an?1 ? f (an ) 得到的数列 {an } 满足 an?1 ? an (n ? N * ) ,则该函数的图象是

A B C D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. 13.数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1) ,则该数列的通项 an= x 4 1 2 3 ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 14. 设f ( x) ? . , 则f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? ? x 4 ?2 ? 11? ? 11? ? 11? ? 11? 15.在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间,某 商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正 三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层, 就一个乒乓球;第 2、3、4、…堆最底层(第 一层)分别按图 4 所示方式固定摆放.从第一 层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上, 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f ( n) 表示第 n 堆的乒乓球总数,则

.

f (3) ?

; f ( n) ?

(答案用 n 表示).

16. 已知整数对排列如下 ?1,1?, ?1,2?, ?2,1?, ?1,3??2,2?, ?3,1?, ?1,4?, ?2,3?, ?3,2?, ?4,1?, ?1,5?, ?2,4?,? , 则第 60 个整数对是_______________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和记为 Sn, a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1? (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b 2 ,a 3 ?b 3 成等
-2-

比数列,求 Tn

18. (本小题满分 12 分) 设数列 {a n } 、{bn } 、{c n } 满足:bn ? a n ? a n? 2 ,c n ? a n ? 2a n?1 ? 3a n? 2(n=1, 2, 3, ?) , 证明:{a n } 为等差数列的充分必要条件是 {c n } 为等差数列且 bn ? bn?1 (n=1,2,3,?)

-3-

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 a1 , a 2 , ? , a30 ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列;

a10 , a11 , ? , a 20 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ; a 20 , a 21 , ? , a30 是 公 差 为 d 2 的 等 差 数 列 ( d ? 0 ). (1)若 a 20 ? 40 ,求 d ; (2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a 30 的取值范围;
(3)续写已知数列,使得 a30 , a31 , ? , a 40 是公差为 d 3 的等差数列,??,依次类推,把 已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题( (2)应当作为特例) ,并进行 研究,你能得到什么样的结论?
-4-

20. (本小题满分 12 分) 某市去年 11 份曾发生流感,据统计,11 月 1 日该市新的流感病毒感染者有 20 人, 此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加 50 人,由于该市医疗部门采取措 施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者 减少 30 人,到 11 月 30 日止,该市在这 30 日内感染该病毒的患者总共 8670 人,问 11 月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求这一天的新患者人数.

-5-

21. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中, a1 ? 2 ,公差 d 是自然数,等比数列 {bn } 中, b1 ? a1 , b2 ? a2 . (Ⅰ) 试找出一个 d 的值, 使 {bn } 的所有项都是 {an } 中的项; 再找出一个 d 的值, 使 {bn } 的项不都是 {an } 中的项(不必证明) ; (Ⅱ)判断 d ? 4 时,是否 {bn } 所有的项都是 {an } 中的项, 并证明你的结论; (Ⅲ)探索当且仅当 d 取怎样的自然数时,{bn } 的所有项都是 {an } 中的项,并说明理由.

-6-

22. (本小题满分 14 分) 已知数列{ an }中, an ? 2 ? 1 (n≥2, n ? N ? ) , an ?1 (1)若 a1 ? (2)若 a1 ?

3 ,数列 {bn } 满足 bn ? 1 ( n ? N ? ) ,求证数列{ bn }是等差数列; 5 an ? 1 3 ,求数列{ an }中的最大项与最小项,并说明理由; 5

(3) (理做文不做)若 1 ? a1 ? 2 ,试证明: 1 ? an?1 ? an ? 2 .

-7-

参考答案(2)
? a ? c ? 2b, ? a ? ?4, 1.D.依题意有 ?bc ? a 2 , ? ? ?b ? 2, ? a ? 3b ? c ? 10. ?c ? 8. ? ?
2.C.

?5a1 ? 20d ? 15 ? d ? 3 ,故选 C. ? ?5a1 ? 25d ? 30

3.B. ∵等差数列 ∴ a4

?an ? 中 a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 13

∴公差 d

? 3.

? a5 ? a6 ? 3a1 ? 3d ? 4d ? 5d = 3a1 ? 12d =42.
-8-

4.B.

因为 a4 ? a6 ? a1 ? a9 ? 12 ,所以 S9 ?

9(a1 ? a9 ) =54,故选 B. 2

5.A.

由等差数列的求和公式可得

S3 3a1 ? 3d 1 ? ? , 可得a1 ? 2d 且 d ? 0 S6 6a1 ? 15d 3

所以

S6 6a ? 15d 27d 3 ? 1 ? ? ,故选 A. S12 12a1 ? 66d 90d 10
? 80 ? ? a2 ? d ? a2 ? a2 ? d ? ? 80 , ? a13 ? 3a12 ? 3? a2 ? 10d ? ? 3 ? ?5 ? 30? ? 105 .选 B.

6.B. a1 ? a2 ? a3 ? 15 ? 3a2 ? 15 ? a2 ? 5 , a1a2 a3 将 a2 ? 5 代入,得 d ? 3 ,从而 a11 ? a12 7.A. 依题意,a1+a200=1,故选 A. 8.C.因数列

?an ? 为等比,则 an ? 2qn?1 ,因数列 ?an ?1? 也是等比数列,则

(an?1 ? 1)2 ? (an ? 1)(an?2 ? 1) ? an?12 ? 2an?1 ? an an?2 ? an ? an?2 ? an ? an?2 ? 2an?1 ? an (1 ? q 2 ? 2q) ? 0 ? q ? 1
即 an 9.D. 10.B.

? 2 ,所以 Sn ? 2n ,故选择答案 C.
f(n)=

2[1 ? 23( n?1) ] 2 n? 4 ? (8 ? 1) ,选 D. 1 ? 23 7
k
2 层 正 四 面 体 为 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? k ?k ? 1? ? k ? k , 则 前

正四面体的特征和题设构造过程,第 k 层为 k 个连续自然数的和,化简通项再裂项用公式求和. k 层 共 有
2 2

依 题 设 第

1 2 1 k ?k ? 1??k ? 2 ? 1 ? 2 2 ? L ? k 2 ? ?1 ? 2 ? ? k ? ? ? 60 2 2 6 ,k 最大为 6,剩 4,选 B.

?

?

11.A.认识信息,理解理想数的意义有,

2004 ?

500a1 ? 499a 2 ? 498a3 ? ? ? a500 501? 2 ? 500a1 ? 499a 2 ? 498a3 ? ? ? a500 ,? ? 2002,选 A. 500 501

12.A.函数认识数列

an?1 ? f ?an ? ? an (n ? N * ), y ? x ,则函数在 (0,1) 上为凸函数,选 A.
a n ?1 ? 3 =2,所以数列{ a n +3}是以( a1 +3)为首项, an ? 3
n ?1

13.由 an ?1 ? 2an ? 3 ? an ?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,即

以 2 为公比的等比数列,故 a n +3=( a1 +3) 2 14.由

, an = 2

n ?1

-3.

f ?1 ? x? ? f ?x? ? 1 ,整体求和所求值为 5.
n(n ? 1) 2

15. a n ?1 ? a n ? n ? 1 ? a n ? a1 ? (a 2 ? a1 ) ? ? ? (a n ? a n ?1 ) ? ? ?

f (n) 的规律由 f (n) ? f (n ? 1) ? a n ? n(n ? 1) (n ? 2) ,所以
2

-9-

f (1) ? 1 22 ? 2 2 32 ? 2 f (3) ? f (2) ? 2 ? f (2) ? f (1) ? f (n) ? f (n ? 1) ? n2 ? 2 2

所以

1 f (n) ? [(1 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)] 2
1 n(n ? 1)( 2n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)( n ? 2) ? [ ? ]? 2 6 2 6

16.观察整数对的特点,整数对和为 2 的 1 个,和为 3 的 2 个,和为 4 的 3 个,和为 5 的 4 个,和 n 为的 n-1 个,于是,借助 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

n?n ? 1? 估算,取 n=10,则第 55 个整数对为 ?11,1? ,注意横 2

坐标递增,纵坐标递减的特点,第 60 个整数对为 ?5,7 ? 17. (1)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn ?1 ? 1? n ? 2 ? ,两式相减得 an ?1 ? an ? 2an , an ?1 ? 3an ? n ? 2? 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 故{an}是首项为 1,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n ?1 .

(2)设{bn}的公差为 d,由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 , 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ?5 ? d ? 1??5 ? d ? 9? ? ?5 ? 3? 解得 d1 ? 2, d 2 ? 10
2

∵等差数列{bn}的各项为正,∴ d ? 0 ,∴ d
?

?2

∴ Tn ? 3n ?

n ? n ? 1? 2

? 2 ? n2 ? 2n

18. 1 必要性:设数列 {a n } 是公差为 d1 的等差数列,则:

bn?1 ? bn ? (an?1 ? an?3 ) ? (an ? an?2 ) = (an?1 ? an ) ? (an?3 ? an?2 ) = d1 - d1 =0, ∴ bn ? bn ?1 (n=1,2,3,?)成立; 又 cn?1 ? cn ? (an?1 ? an ) ? 2 (an ? 2 ? an?1 ) ? 3(an?3 ? an? 2 ) =6 d1 (常数) (n=1,2,3,?)
∴数列 {c n } 为等差数列.

2 ? 充分性:设数列 {cn } 是公差为 d 2 的等差数列,且 bn ? bn?1 (n=1,2,3,?) ,

? an?2 ? 2an?3 ? 3an?4 ??② ①-②得: cn ? cn?2 ? (an ? an?2 ) ? 2(an?1 ? an?3 ) ? 3(an? 2 ? an?4 ) = bn ? 2bn?1 ? 3bn?2 ∵ cn ? cn?2 ? (cn ? cn?1 ) ? (cn?1 ? cn? 2 ) ? ?2d 2 ∴ bn ? 2bn?1 ? 3bn? 2 ? ?2d 2 ??③ 从而有 bn?1 ? 2bn?2 ? 3bn?3 ? ?2d 2 ??④ ④-③得: (bn?1 ? bn ) ? 2(bn?2 ? bn?1 ) ? 3(bn?3 ? bn?2 ) ? 0 ??⑤ ∵ (bn?1 ? bn ) ? 0 , bn? 2 ? bn?1 ? 0 , bn ?3 ? bn? 2 ? 0 ,
∵ c n ? a n ? 2a n ?1 ? 3a n ? 2 ??① ∴ cn ? 2 - 10 -

, ? bn ? 0 (n=1,2,3,?) 由此,不妨设 bn ? d 3 (n=1,2,3,?) ,则 a n ? a n ? 2 ? d 3 (常数) 故 cn ? an ? 2an?1 ? 3an?2 ? 4an ? 2an?1 ? 3d 3 ??⑥ 从而 cn?1 ? 4an?1 ? 2an?2 ? 3d 3 ? 4an?1 ? 2an ? 5d 3 ??⑦ ⑦-⑥得: cn?1 ? cn ? 2(an?1 ? an ) ? 2d 3 , 1 1 故 a n ?1 ? a n ? (c n ?1 ? c n ) ? d 3 ? d 2 ? d 3 (常数) (n=1,2,3,?) , 2 2 ∴由⑤得: bn?1 ∴数列 {a n } 为等差数列. 综上所述: {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {c n } 为等差数列且 bn ? bn ?1 (n=1,2,3,?). 19. (1) a10 (2) a30

? 10. a 20 ? 10 ? 10d ? 40, ? d ? 3 .

? a20 ? 10d 2 ? 10 1 ? d ? d 2

?

?

1? 3 (d ? 0) , a 30 ? 10? ? ?d ? ? ? ? , ? ?? 2? 4? ?

?

2

?

当 d ? ( ? ?,

0 ) ? ( 0, ? ? ) 时, a30 ?? 7.5, ? ? ? .
n

(3) 所给数列可推广为无穷数列

? an ?, 其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1, 公差为 1 的等差数列, 当n ?1

时,数列 a10 n , a10 n?1 , ?, a10 ( n?1) 是公差为 d 的等差数列. 研究的问题可以是:试写出 a10 ( n ?1) 关于 d 的关系式,并求 a10 ( n ?1) 的取值范围. 研究的结论可以是:由 a40 依次类推可得

? a30 ? 10d 3 ? 10 1 ? d ? d 2 ? d 3 ,

?

?

a10( n?1) ? 10 1 ? d ? ? ? d

?

n

?

? 1 ? d n?1 ?10 ? , d ? 1, ?? 1? d ? d ? 1. ?10(n ? 1),

当 d ? 0 时, a10 ( n?1) 的取值范围为 ( 10,

? ? ) 等.

20. 设第 n 天新患者人数最多, 则从 n+1 天起该市医疗部门采取措施, 于是, 前 n 天流感病毒感染者总人数,
n?n ? 1? 构成一个首项为 20, 公差为 50 的等差数列的 n 项和, S n ? 20 n ? ? 50 ? 25n 2 ? 5n?1 ? n ? 30 , n ? N ? , 2

而后 30-n 天的流感病毒感染者总人数,构成一个首项为 20 ?

?n ? 1?? 50 ? 30 ? 50n ? 60 ,公差
2

?30 ? n ??50 n ? 60 ? ? ?? 30 ? ? ?65n 2 ? 2445 n ? 14850 , 为 30, 项数为 30-n 的等差数列的和, Tn ? ?30 ? n ??50 n ? 60 ? ?
依 题 设 构 建 方 程 有 , Sn ? Tn ? 8670 ,? 25n2 ? 5n ? ? 65n2 ? 2445 n ?14850 ? 8670 , 化简, ,第 12 天的新的患者人数为 20+(12-1)· 50=570 人.故 n 2 ? 61n ? 588 ? 0,? n ? 12或 n ? 49 (舍) 11 月 12 日,该市感染此病毒的新患者人数最多,新患者人数为 570 人. 21. (1) d

?

?

? 0 时, {an } 的项都是 {bn } 中的项; (任一非负偶数均可);

d ? 1 时, {an } 的项不都是 {bn } 中的项. (任一正奇数均可);

- 11 -

(2)

d ? 4 时, an ? 4n ? 2 ? 2(2n ?1),
bn ? 2 ? 3n?1
? 2(2 ? 3n?1 ? 1 3n?1 ? 1 {bn } 的项一定都是 {an } 中的项 ? 1) ? am (m ? 为正整数), 2 2

(3)当且仅当 d 取 2k (k ? N*) (即非负偶数)时, {bn } 的项都是 {an } 中的项. 理由是:①当 d

? 2k (k ? N*) 时, an ? 2 ? (n ?1) ? 2k ? 2[1 ? (n ?1) ? k ], n ? 2 时,

n ?2 ?2 n?1 n ?2 ?2 bn ? 2 ? (k ?1)n?1 ? 2(k n?1 ? C1 ???? ? Cn ? C1 ???? ? Cn n?1k n?1 k ? 1) ,其中 k n?1k n?1 k

是 k 的非负整数倍, 设为

Ak ( A ? N * ) , 只要取 m ? A ? 1 即 ( m 为正整数) 即可得 bn ? am ,

即 {bn } 的项都是 {an } 中的项;②当 d 是 {an } 的项. 22. (1 )

? 2k ? 1,(k ? N) 时, b3 ? (2k ? 3)
2

2

不是整数,也不可能

bn ?

1 ? an ? 1

1 1 , ? , 而b ? ∴ b ? b ? an ?1 ? a 1 ? 1 .(n ? N ) n n ?1 n ?1 ? n ?1 an?1 ? 1 an?1 ? 1 an ?1 ? 1 1 an ?1 ? 1 2? ?1 an ?1

1 5 ? ? ,公差为 1 的等差数列. a1 ? 1 2 5 (2)依题意有 a ? 1 ? 1 ,而 bn ? ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? 3.5 , n 2 bn
∴{ bn }是首项为 b1 ? ∴ a ?1 ? n

1 ,在 x>3.5 时,y>0, 1 .对于函数 1 y? y' ? ? ? 0 ,在(3.5,? ? ) x ? 3.5 n ? 3.5 ( x ? 3.5) 2
故当 n=4 时, an ? 1 ?

上为减函数.

1 1 取最大值 3. 而函数 在 x<3.5 时,y<0, y? x ? 3.5 n ? 3.5

y' ? ?

1 ? 0 ,在( ? ? ,3.5)上也为减函数.故当 n=3 时,取最小值, a3 =-1. ( x ? 3.5) 2

(3)先用数学归纳法证明 1 ? ②假设当 n

an ? 2 ,再证明 an?1 ? an .

①当 n

? 1 时, 1 ? a1 ? 2 成立;

? k 时命题成立,即 1 ? ak ? 2 ,当 n ? k ? 1 时,

1 1 1 3 ? ? 1 ? ak ?1 ? 2 ? ? (1, ) 2 ak ak 2

? 1 ? ak ?1 ? 2

故当 n

? k ? 1 时也成立,

综合①②有,命题对任意 n ? N ? 时成立,即 1 ? (也可设

an ? 2 .
1 ? 0, x2

f ( x) ? 2 ?

1 x

(1≤ x ≤2) ,则

f ' ( x) ?

- 12 -

故1 ? 下证:

f (1) ? a k ?1 ? f (a k ) ? f (2) ?

3 ? 2 ). 2

an?1 ? an
1 1 ) ? 2 ? 2 ak ? ? 0 ? a n?1 ? a n . ak ak

an?1 ? a n ? 2 ? (ak ?

- 13 -


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