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高中数学数列专题练习(精编版)


高中数学数列专题练习(精编版)
1. 已知数列 ?an ? ? n ? N ? ? 是等比数列,且 an ? 0, a1 ? 2, a3 ? 8. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:

1 1 1 1 ? ? ??? ? 1; a1 a 2 a3 an

(3)设 bn ? 2 log2 an ? 1 ,求数列 ?bn ? 的前 100 项和.

2.数列{an}中, a1 ? 8 , a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? an?1 ? 常数 C (1)求常数 C 和数列的通项公式; (2)设 T20 ?| a1 | ? | a2 | ??? | a20 | , (3) Tn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | , n ? N ?

? 2n , n为奇数; 3. 已知数列 a n = ? , ?2n-1, n为偶数;

求 S2n

1

4 . 已知数列 ?an ? 的相邻两项 a n , a n?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0 (n ? N * ) 的 两根,且

a1 ? 1 .
1 ? ? (1) 求证: 数列 ?a n ? ? 2 n ? 是等比数列; 3 ? ?

(2) 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

5.某种汽车购车费用 10 万元,每年应交保险费、养路费及汽油费合计 9 千元, 汽车的维修费平均为第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,…,各年的 维修费平均数组成等差数列, 问这种汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年 时,年平均费用最少)?

6. 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展 旅游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 ,本 年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计 今后的旅游业收入每年会比上年增加 . (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元, 写出 an,bn 的表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
1 4 1 5

2

7. 在等比数列{an}(n∈N*)中,已知 a1>1,q>0.设 bn=log2an,且 b1+b3+b5=6, b1b3b5=0. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式 an、bn; (2)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,试比较 Sn 与 an 的大小.

8. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 an 是 Sn 与 2 的等差中项, 数列{bn}中, b1=1, 点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上。 (1)求 a1 和 a2 的值; (2)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn; (3)设 cn=an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn。

9. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ?
b1 ? ?

1 1 且 Sn ? Sn ?1 ? an ?1 ? ,数列 ?bn ? 满足 4 2

119 且 3bn ? bn?1 ? n (n ? 2且n ? N ? ) . 4

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? an ? 为等比数列; (3)求 ?bn ? 前 n 项和的最小值.

3

10. 已知等差数列 ?an ? 的前 9 项和为 153. (1)求 a5 ; (2)若 a 2 ? 8, ,从数列 ?an ? 中,依次取出第二项、第四项、第八项,……, 第 2 n 项,按原来的顺序组成一个新的数列 ?cn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .

11.已知曲线 C : y ? ex (其中 e 为自然对数的底数)在点 P ?1, e ? 处的切线与 x 轴 交于点 Q1 ,过点 Q1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 P1 ,曲线 C 在点 P1 处的切线与 x 轴 交于点 Q2 ,过点 Q2 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 P2 ,……,依次下去得到一系列 点 P1 、 P2 、……、 Pn ,设点 Pn 的坐标为 ? xn , yn ? ( n ? N* ) . (Ⅰ)分别求 xn 与 yn 的表达式; (Ⅱ)求 ? xi yi .
i ?1 n

12. 在数列 ?an ? 中,a 1 ? 2, an?1 ? ?an ? ?n?1 ? (2 ? ?)2n (n ? N ? , ? ? 0) (1) 求证:数列 {

?n

an

2 ? ( ) n } 是等差数列;

?

(2) 求数列 ?an ?的前 n 项和 S n ;

4

13. 在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 , (1)求 a4 ? a6 的值. (2) 当 a3 ? 3 时, 在数列 ?an ? 中是否存在一项 am( m 正整数) , 使得 a3 , a5 ,

am 成等比数列,若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由.
(3)若自然数 n1 , n2 , n3 , ??? , nt ,??? , ( t 为正整数)满足 5 < n1 < n2 < ??? <

nt < ??? , 使得 a3 , a5 ,an1 ,??? ,ant , ??? 成等比数列,当 a3 ? 2 时, 用 t 表示 nt

14. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 满足条件:① f (0) ? f (1) ; 1 ? . 8 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;
f (n)

② f ( x) 的最小值为

?4? (Ⅱ)设数列 {an } 的前 n 项积为 Tn , 且 Tn ? ? ? , 求数列 {an } 的通项公式; ?5? (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下, 若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的等差中项, 试问数列 {bn } 中第几
项的 值最小? 求出这个最小值.

15. 已知函数 f(x)=x2-4,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn) )处的切线与 x + 轴的交点为(xn+1, 0) (n ? N ) , (Ⅰ)用 xn 表示 xn+1;
5

(Ⅱ)若 x1=4,记 an=lg

xn ? 2 ,证明数列{ an }成等比数列,并求数列{ xn } xn ? 2

的通项公式; (Ⅲ)若 x1=4,bn=xn-2,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,证明 Tn<3.

数列专题练习参考答案 1. 解:(1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q . 则由等比数列的通项公式 an ? a1q n?1 得 a3 ? a1q3?1 ,? q 2 ? 又 an ? 0,?q ? 2L L ? 2分?
? 数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n L L ?3分? .
8 ? 4, 2

? 2?

1 1 1 1 ? ? ?L ? a1 a2 a3 an

1 1 1 ? ? 1 1 1 1 2 2n 2 ? ? 2 ? 3 ?L ? n ? 1 2 2 2 2 1? 2 1 ? 1 ? n L L ? 6分 ? , 2
Q n ? 1,?1 ? 1 ? 1L L ? 7分 ? , 2n

?

1 1 1 1 ? ? ? L ? ? 1L L ?8分? . a1 a2 a3 an

? 3?由bn ? 2log 2 2n ? 1 ? 2n ? 1L L ?9分? , 又 Q bn ? bn?1 ? 2n ? 1 ? ? ? 2 ? n ? 1? ? 1? ? ? 2 ?常数? , ? 数列?bn ? 是首项为3,公差为2的等差数列L L ?11分? ,
? 数列 ?bn ? 的前 100 项和是 S100 ? 100 ? 3 ?
100 ? 99 ? 2 ? 10200 L L ?12分 ? 2

2.解: (1) C=-2,an ? 10-2n

6

(2)Tn ?| a1 | ? | a2 | ? ? ? | a5 | ? |a6 | ? ? | an | =a1 ? a2 ? ? ? a5-(a6 +a 7 ? ? an ) =2(a1 ? a2 ? ? ? a5 )-(a1 ? a2 ? ? ? a5 +a6 +a 7 ? ? a20 ) =2S5-S20 =260
2 ? ?9n-n , n ? 5 (3) Tn ? ? 2 ? ?40-9n ? n , n ? 5

3.解:Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ???a2 n ? (a1 ? a3 ? a5 ? ???a2 n-1 ) ? (a2 ? a4 ? a6 ? ???a2 n ) ? (21+23+25+??? 22 n-1 ) ? (3 ? 7 ? 11 ? ???) ? ? 2(4n-1) ? n ? 2n 2 3 2(1-4n ) n(n -1 ) ? 3n ? ?4 1-4 2

4 .解:证法 1: ∵ a n , a n?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0 (n ? N * ) 的两根,

?a ? a n ?1 ? 2 n , ∴? n ? bn ? a n a n ?1 .
1 1 ? ? 由 an ? an?1 ? 2 n ,得 a n?1 ? ? 2 n ?1 ? ?? a n ? ? 2 n ? , 3 3 ? ?
2 1 1 ? ? 故数列 ?a n ? ? 2 n ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ? 1 的等比数列. 3 3 3 ? ?

证法 2: ∵ a n , a n?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0 (n ? N * ) 的两根,

?a ? a n ?1 ? 2 n , ∴? n ? bn ? a n a n ?1 .
1 ? n ? 1 1 a n?1 ? ? 2 n?1 2 n ? a n ? ? 2 n?1 ? ? a n ? ? 2 ? 3 ? ? ?1 3 3 ? ? ∵ , ? 1 1 n 1 n n an ? ? 2 an ? ? 2 an ? ? 2 3 3 3
2 1 1 ? ? 故数列 ?a n ? ? 2 n ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ? 1 的等比数列. 3 3 3 ? ? 1 1 1 n ?1 n (2)解: 由(1)得 a n ? ? 2 n ? ? ?? 1? , 即 a n ? 2 n ? ?? 1? . 3 3 3 1 n n n ? 1 ∴ bn ? a n a n ?1 ? 2 ? ?? 1? ? 2 n ?1 ? ?? 1? 9

?

?

?

??

?

7

?

1 2 n ?1 n 2 ? ?? 2 ? ? 1 . 9

?

?

∴ S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
? 1 2 n 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? ?? 1? ? ?? 1? ? ? ? ?? 1? 3

??

? ?

??

?

?? 1?n ? 1? . 1 ? n ?1 2 ? 2 ? ? ? 3? 2 ?

5.解:维修费=0.2 ? 0.4 ? 0.6 ? ?????? ?0.2n

(n ? 1)n ? 0.1n 2 ? 0.1n...................4分 2 总费用= 10+0.9n ? 0.1n 2 ? 0.1n ? 0.2 ? ? 10 ? 0.1n 2 ? n.........................................6分
平均费用=

10 ? 0.1n 2 ? n 10 ? 0.1n ? ? 1 n n ? 2 ? 1 ? 3............................................9分

当n ? 10时,汽车报废最合算.............................10分

6. 解:(1)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1- )万元,… 第 n 年投入为 800×(1- )n-1 万元,所以,n 年内的总投入为
1 5

1 5

an=800+800×(1- )+…+800×(1- )n-1= ? 800×(1- )k-1
k ?1

1 5

1 5

n

1 5

=4000×[1-( )n] 第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1+ ),…,第
1 4

4 5

n 年旅游业收入 400×(1+ )n-1 万元.所以,n 年内的旅游业总收入为 bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k-1= ? 400×( )k-1.
k ?1

1 4

1 4

1 4

n

5 4

=1600×[( )n-1] (2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0,即: 1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0,令 x=( )n,
5 4 4 5 4 5

5 4

8

代入上式得:5x -7x+2>0.解此不等式,得 x< ,或 x>1(舍去).即( ) < , 由此得 n≥5. ∴至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入.
2 5

2

2 5

4 5

n

7.
7.解 ∶(1)由题设, 有an ? a1q n ?1 ,? a1 ? 1, q ? 0,? 数列{an }是单调数列, 又 bn ? log 2 an , b1b3b5 ? 0及a1 ? 1知, 必有a5 ? 1,即b5 ? 0. 由b1 ? b3 ? b5 ? 6及b5 ? 0, 得b1 ? b3 ? 6,即log 2 a1a3 ? 6,? a1a3 ? 26 ? 64, 1 2 即a2 ? 64,? a2 ? 8.? a5 ? a2 q 3 ? 8q 3 ? 1,? q ? . 由a2 ? a1q得a1 ? 16. 2 1 ? an ? a1q n ?1 ? 16( ) n ?1 ? 25? n ;bn ? log 2 an ? 5 ? n. (6分) 2 n(b1 ? bn ) n(9 ? n) (2)由(1)知, bn ? 5 ? n, S n ? ? . 2 2 当n ≥ 9时, S n ≤ 0, an ? 0,? an ? S n ; 当n ? 1或2时, S4 ? 4或7; an ? 16或8,? an ? S n ; 1 1 1 当n ? 3、、 4 5、、、 6 7 8时, S n ? 9、 10、 10、、、 9 7 4, an ? 4、、 2 1、 、 、 ,? an ? S n . 2 4 8 综上所述,当n ? 1或2或n ≥ 9时, 有an ? S n ; 当n ? 3、、 4 5、、、 6 7 8时, 有an ? S n .(13分)

8. 解: (1)∵an 是 Sn 与 2 的等差中项 ∴Sn=2an-2 ∴a1=S1=2a1-2,解得 a1=2 a1+a2=S2=2a2-2,解得 a2=4 分 (2)∵Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2, 又 Sn—Sn-1=an, (n ? 2, n ? N *) ∴an=2an-2an-1, ∵an≠0, ∴

· · ·3

an n ? 2(n ? 2, n ? N *),即数列{an}是等比树立∵a1=2,∴an=2 a n ?1

∵点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上,∴bn-bn+1+2=0, ∴bn+1-bn=2,即数列{bn}是等差数列,又 b1=1,∴bn=2n-1, · · ·8 分 (3)∵cn=(2n-1)2n ∴Tn=a1b1+ a2b2+· · · ·anbn=1×2+3×22+5×23+· · · ·+(2n-1)2n, ∴2Tn=1×22+3×23+· · · ·+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1 因此:-Tn=1×2+(2×22+2×23+· · ·+2×2n)-(2n-1)2n+1,
9

即:-Tn=1×2+(23+24+· · · ·+2n+1)-(2n-1)2n+1, ∴Tn=(2n-3)2n+1+6 分 9. 解: (1)由 2Sn ? 2Sn?1 ? 2an?1 ? 1 得 2an ? 2an?1 ? 1, an ? an ?1 ? ∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ?

·· 14
1 ……2 分 2

1 1 n? ……………………………………4 分 2 4 1 1 (2)∵ 3bn ? bn?1 ? n ,∴ bn ? bn ?1 ? n , 3 3

∴ bn ? an ? 1 bn ?1 ? 1 n ? 1 n ? 1 ? 1 bn ?1 ? 1 n ? 1 ? 1 (bn ?1 ? 1 n ? 3 ) ;
3 3 2 4 3 6 4 3 2 4

∴由上面两式得 bn ? an ? 1 ,又 b1 ? a1 ? ? 119 ? 1 ? ?30
bn ?1 ? an ?1 3
4 4

1 1 1 3 bn ?1 ? an ?1 ? bn ?1 ? (n ? 1) ? ? bn ?1 ? n ? 2 4 2 4

1 ∴数列 ?bn ? an ? 是以-30 为首项, 为公比的等比数列.…………………8 分 3 1 1 1 1 1 (3)由(2)得 bn ? an ? ?30 ? ( ) n ?1 ,∴ bn ? an ? 30 ? ( ) n ?1 ? n ? ? 30 ? ( ) n ?1 3 3 2 4 3
bn ? bn ?1 ? 1 1 1 1 1 1 n ? ? 30 ? ( ) n ?1 ? (n ? 1) ? ? 30 ? ( ) n ? 2 2 4 3 2 4 3

= 1 ? 30 ? ( 1 )n ?2 (1 ? 1 ) ? 1 ? 20 ? ( 1 ) n ?2 ? 0 ,∴ ?bn ? 是递增数列 ………11 分
2 3 3 2 3

119 3 5 10 <0; 当 n=2 时, b2 ? ? 10 <0; 当 n=3 时, b3 ? ? <0; 4 4 4 3 7 10 当 n=4 时, b4 ? ? >0,所以,从第 4 项起的各项均大于 0,故前 3 项之和 4 9 最小.

当 n=1 时, b1 ? ?

且 S3 ? 1 (1 ? 3 ? 5) ? 30 ? 10 ? 10 ? ?41 1 …………………………13 分
4 3 12

? S9 ? 10. 解: (1)
分 (2)设数列

9(a1 ? a9 ) 9 ? 2a5 ? ? 9a5 ? 153 ? a5 ? 17 2 2

………5

?an ? 的公差为 d,则 ?

?a2 ? a1 ? d ? 8 ?a5 ? a1 ? 4d ? 17

?a ? 5 ?? 1 ?d ? 3

? an ? 3n ? 2 ………9 分
Sn ? a2 ? a4 ? a8 ? … ? a2n ? 3(2 ? 4 ? 8 ? … ? 2n ) ? 2n ? 3·2n?1 ? 2n ? 6

…12


10

11.解: (Ⅰ)∵ y? ? e x , ∴曲线 C : y ? ex 在点 P ?1, e ? 处的切线方程为 y ? e ? e ? x ?1? ,即 y ? ex . 此切线与 x 轴的交点 Q1 的坐标为 ? 0, 0 ? , ∴点 P1 的坐标为 ? 0,1? . 2分 ∵点 Pn 的坐标为 ? xn , yn ? ( n ? N* ) , ∴曲线 C : y ? ex 在点 Pn ? xn , yn ? 处的切线方程为 y ? exn ? exn ? x ? xn ? , 分 令 y ? 0 ,得点 Qn?1 的横坐标为 xn?1 ? xn ?1 . ∴ xn ? 1 ? n , yn ? e1?n . ( n ? N* ) 分 (Ⅱ)∴ ? xi yi ? x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 ? ......... ? xn yn
i ?1 n

……

……4

∴数列 ?xn ? 是以 0 为首项, ?1 为公差的等差数列. ……8

S ? -e-1-2e-2-3e-3-4e-4 -........-(1-n)e1-n eS ? -e -2e -3e -4e
-0 -1 -2 -3

(1) (2) -(1-n)e1-n

-........-(1-n)e
-2

2-n 2-n

? (1)-(2)得到:- (1 e) S ? 1 ? e ? e
-1

? ........ ? e

?S ?

e 1 (1-n)e1-n [ - 1] - (e-1) 2 en (1-e) ……14 分

12. 解: (1)由 an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ?)2n ,(n ? N * , ? ? 0) ,可得

?n?1

an?1

a 2 2 ? ( )n?1 ? n ? ( )n ? 1

?

?n

?

所以 {

?n

an

2 ? ( ) n } 是首项为 0,公差为 1 的等差数列.

?

(2)解:因为

?n

an

2 ? ( )n ? n ? 1 即 an ? (n ?1)? n ? 2n ,(n ? N * )

?

设 Tn ? ? 2 ? 2? 3 ???? ? (n ? 2)? n?1 ? (n ?1)? n ……①

?Tn ? ? 3 ? 2? 4 ???? ? (n ? 2)? n ? (n ?1)? n?1 ……②


? ?1







?





(1 ? ?)Tn ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ????? ? n ? (n ?1)? n?1
?

? 2 (1 ? ? n?1 ) ? (n ? 1)? n ?1 1? ?
11

Tn ?

? 2 ? ? n?1 (n ? 1)? n?1 (n ? 1)? n?2 ? n? n?1 ? ? 2 ? ? (1 ? ? )2 1? ? (1 ? ? )2

13. 解: (1)在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 , 则 2a5 ? a4 ? a6 ,? a4 ? a6 ? 12 …………………… 3分

(2)在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 , a3 ? 3
?a1 ? 2d ? 3 则? ?a1 ? 4d ? 6 ? d= 3 3 , a1 ? 0 ,? an ? ? n ? 1? 2 2

n? N?
,? m=9 ………

又 ? a52 ? a3 am 分



3 36 ? 3am , ? 12= ? m? 1? 2

7

(3)在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 , a3 ? 2
?a1 ? 2d ? 2 则? ?a1 ? 4d ? 6 ? d=2 , a1 ? ?2 ,? an ? 2n ? 4 ,n ? N ?

又因为公比 q ?

a5 6 ? ?3 , a3 2

首项 a3 ? 2 ,? ant ? 2 ? 3t ?1
n? N? …………

又 因 为 ant ? 2nt ? 4 , ? 2nt ? 4 ? 2 ? 3t ?1 , nt ? 3t ?1 ? 2 12 分

14. 解 :

(1)

由 题 知 :

? ?a ? b ? 0 ? ? ?a ? 0 ? b2 1 ?? ?? ? 8 ? 4a

,

1 ? a? ? ? 2 解 得 ? ?b ? ? 1 ? ? 2

,



f ( x) ?

1 2 1 x ? x . ………2 分 2 2
n2 ? n 2

?4? (2) Tn ? a1a2 ? an ? ? ? ?5?
?4? Tn?1 ? a1a2 ? an?1 ? ? ? ?5?

,

( n ?1)2 ?( n ?1) 2

(n ? 2) ,

? an ?

Tn ? 4 ? ?? ? Tn?1 ? 5 ?

n ?1

(n ? 2) ,

12

又 a1 ? T1 ? 1 满足上式.

?4? 所以 an ? ? ? ?5?

n ?1

(n ? N ? ) ……………7 分

(3) 若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的等差中项, 则 2 ? 5 f (an ) ? bn ? an ,
1 1 从而 10( an 2 ? an ) ? bn ? an , 2 2 3 9 得 bn ? 5an 2 ? 6an ? 5(an ? ) 2 ? . 5 5

?4? 因为 an ? ? ? ?5?
当 an ?

n ?1

(n ? N ? ) 是 n 的减函数, 所以

3 , 即 n ? 3(n ? N ? ) 时, bn 随 n 的增大而减小, 此时最小值为 b3 ; 5 3 当 an ? , 即 n ? 4(n ? N ? ) 时, bn 随 n 的增大而增大, 此时最小值为 b4 . 5

又 a3 ?

3 3 ? a4 ? , 所以 b3 ? b4 , 5 5
2

2 ?? 4 ? 2 ? 224 ?4? 即数列 {bn } 中 b3 最小, 且 b3 ? 5 ?? ? ? ? 6 ? ? ? ? . 125 ?5? ?? 5 ? ? ? ?

…………12 分

15. 解: (Ⅰ)由题可得 f '( x) ? 2 x . 所以曲线 y ? f ( x) 在点 ( xn , f ( xn )) 处的切线方程是: y ? f ( xn ) ? f '( xn )( x ? xn ) .
2 即 y ? ( xn ? 4) ? 2xn ( x ? xn ) . 2 令 y ? 0 ,得 ?( xn ? 4) ? 2xn ( xn?1 ? xn ) . 2 即 xn ? 4 ? 2xn xn?1 .

显然 xn ? 0 ,∴ xn ?1 ? (Ⅱ) 由 xn ?1 ?

xn 2 ? . 2 xn

xn 2 x (x ? 2 ) 2 ( x ? 2)2 2 知 xn?1 ? 2 ? n ? ? 2 ? n , 同理 xn?1 ? 2 ? n . ? , 2 xn 2 xn 2 xn 2 xn x ?2 x ?2 2 x ?2 x ?2 故 n ?1 ,即 an?1 ? 2an .所以, ?( n ) .从而 lg n?1 ? 2lg n xn ?1 ? 2 xn ? 2 xn?1 ? 2 xn ? 2 x ?2 x ?2 n ?1 数列 {an } 成等比数列. 故 an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 lg 1 即g . ? 2n?1 lg 3 . l n ? 2 g l3 x1 ? 2 xn ? 2
n?1 x ?2 2(32 ? 1) 从而 n ? 32 所以 xn ? 2n?1 xn ? 2 3 ?1

n?1

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 xn ?

, n?1 32 ? 1 n?1 4 bn?1 32 ? 1 1 1 1 1 ? 0∴ ∴ bn ? xn ? 2 ? 2n?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 21?1 ? bn 3 3 ?1 3 ?1 3 ? 1 3 3 1 1 1 当 n ? 1 时,显然 T1 ? b1 ? 2 ? 3 .当 n ? 1 时, bn ? bn ?1 ? ( ) 2 bn ? 2 ? ? ? ( ) n ?1 b1 3 3 3
13

2(32 ? 1)

n?1

1 b1[1 ? ( ) n ] 1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? ( )n ? 3 . ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? b1 ? b1 ? ? ? ( ) n ?1 b1 ? 1 3 3 3 1? 3 综上, Tn ? 3 (n ? N *) .

14


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