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高中数学数列专题练习(精编版)

高中数学数列专题练习(精编版)

? ? 1. 已知数列?an? n ? N? 是等比数列,且 an ? 0, a1 ? 2, a3 ? 8.

(1)求数列?an? 的通项公式;

(2)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1;

a1 a2 a3

an

(3)设 bn ? 2 log 2 an ? 1,求数列?bn? 的前 100 项和.

2.数列{an}中, a1 ? 8 , a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? an?1 ? 常数 C (1)求常数 C 和数列的通项公式; (2)设 T20 ?| a1 | ? | a2 | ? ? | a20 |, (3) Tn ?| a1 | ? | a2 | ? ? | an | , n ? N ?

3.

已知数列

a

n

=

?2n , ??2n-1,

n为奇数; , n为偶数;

求 S2n

1

4 .已知数列 ?an ?的相邻两项 an , an?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2n x ? bn ? 0 (n ?N * ) 的
两根,且 a1 ? 1 .

(1)

求证:

数列 ???an

?

1 3

?

2

n

? ? ?

是等比数列;

(2) 求数列?bn?的前 n 项和 S n .

5.某种汽车购车费用 10 万元,每年应交保险费、养路费及汽油费合计 9 千元, 汽车的维修费平均为第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,…,各年的 维修费平均数组成等差数列,问这种汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年 时,年平均费用最少)?

6. 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展 旅游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 1 ,本
5 年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计 今后的旅游业收入每年会比上年增加 1 .
4
(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元, 写出 an,bn 的表达式;
(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
2

7. 在等比数列{an}(n∈N*)中,已知 a1>1,q>0.设 bn=log2an,且 b1+b3+b5=6, b1b3b5=0.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式 an、bn; (2)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,试比较 Sn 与 an 的大小.
8. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,数列{bn}中,b1=1, 点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上。 (1)求 a1 和 a2 的值; (2)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn; (3)设 cn=an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn。

9.

已知数列 ?an ?的前

n

项和为

Sn , a1

?

1 4



Sn

?

Sn?1

?

an?1

?

1 2

,数列 ?bn?

满足

b1

?

?

119 4



3bn

? bn?1

?

n

(n ?

2且n ? N ?) .

(1)求?an ?的通项公式;

(2)求证:数列?bn ? an? 为等比数列;

(3)求?bn?前 n 项和的最小值.

3

10. 已知等差数列 ?an ? 的前 9 项和为 153.
(1)求 a5 ;
(2)若 a2 ? 8,,从数列 ?an ? 中,依次取出第二项、第四项、第八项,……, 第 2n 项,按原来的顺序组成一个新的数列 ?cn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .
11.已知曲线 C : y ? ex (其中 e 为自然对数的底数)在点 P?1, e? 处的切线与 x 轴
交于点 Q1 ,过点 Q1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 P1 ,曲线 C 在点 P1 处的切线与 x 轴 交于点 Q2 ,过点 Q2 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 P2 ,……,依次下去得到一系列
点 P1 、 P2 、……、 Pn ,设点 Pn 的坐标为 ? xn, yn ? ( n ? N* ).
(Ⅰ)分别求 xn 与 yn 的表达式;
n
? (Ⅱ)求 xi yi . i ?1
12. 在数列 ?an ?中,a 1 ? 2, an?1 ? ?an ? ?n?1 ? (2 ? ?)2n (n ? N ? , ? ? 0)
(1) 求证:数列{an ? ( 2 )n} 是等差数列; ?n ?
(2) 求数列?an?的前 n 项和 S n ;
4

13. 在等差数列?an? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 ,
(1)求 a4 ? a6 的值.
(2)当 a3 ? 3 时,在数列?an? 中是否存在一项 am( m 正整数),使得 a3 ,a5 ,
am 成等比数列,若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由. (3)若自然数 n1 , n2 , n3 , ??? , nt ,??? , ( t 为正整数)满足 5 < n1 < n2 < ??? <
nt < ??? , 使得 a3 , a5 ,an1 ,??? ,ant , ???成等比数列,当 a3 ? 2 时, 用 t 表示 nt

14. 已知二次函数 f (x) ? ax2 ? bx 满足条件:① f (0) ? f (1) ; ② f (x) 的最小值为

?1 . 8 (Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式;

(Ⅱ)设数列{an}的前 n 项积为Tn ,

且 Tn

?

? ??

4 5

? ??

f

(n

)

,

求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下, 若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的等差中项, 试问数列{bn}中第几

项的

值最小? 求出这个最小值.

15. 已知函数 f(x)=x2-4,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与 x 轴的交点为(xn+1, 0)(n? N +),
(Ⅰ)用 xn 表示 xn+1;
5

(Ⅱ)若

x1=4,记

an=lg

xn xn

? ?

2 2

,证明数列{

an

}成等比数列,并求数列{

xn



的通项公式;

(Ⅲ)若 x1=4,bn=xn-2,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,证明 Tn<3.

数列专题练习参考答案

1. 解:(1)设等比数列?an? 的公比为 q .

则由等比数列的通项公式 an

?

a1qn?1 得

a3

?

a1q 3?1 ,? q 2

?

8 2

?

4,

又 an ? 0,?q ? 2L L ?2分?

?数列?an? 的通项公式是 an ? 2?2n?1 ? 2n L L ?3分? .

?2? 1 ? 1 ? 1 ?L ? 1

a1 a2 a3

an

?1?

1

?

1

?L

?

1

?

1 2

?

1 2n

?

1 2

2 22 23

2n

1? 1

2

?1?

1 2n

L

L

? 6分? ,

Qn

? 1,?1?

1 2n

? 1L

L

?7分?,

? 1 ? 1 ? 1 ?L ? 1 ? 1L L ?8分?.

a1 a2 a3

an

?3?由bn ? 2 log2 2n ?1 ? 2n ?1L L ?9分?,

又 Q bn ? bn?1 ? 2n ?1? ??2?n ?1? ?1?? ? 2?常数?,

?数列?bn?是首项为3,公差为2的等差数列L L ?11分?,

? 数列 ?bn ? 的前

100

项和是 S100

? 100?3 ? 100?99 ? 2 2

? 10200L

L

?12分?

2.解:(1) C=-2,an ? 10-2n

6

(2)Tn ?| a1 | ? | a2 | ? ? | a5 | ?|a6 | ? | an | =a1 ? a2 ? ? a5-(a6 +a7 ? an ) =2(a1 ? a2 ? ? a5 )-(a1 ? a2 ? ? a5 +a6 +a7 =2S5-S20 =260

? a20 )

(3) Tn

?

??9n-n2 ???40-9n

, n?5 ? n2, n ? 5

3.解:Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ???a2n ? (a1 ? a3 ? a5 ? ???a2n-1) ? (a2 ? a4 ? a6 ? ???a2n )

?(21+23+25+??? 22n-1)

?

(3

?

7

?11? ???)

?

2(1-4n ) 1-4

?

3n

?

n(n -1)? 4 2

? 2(4n-1) ? n ? 2n2 3

4 .解:证法 1: ∵ an , an?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2n x ? bn ? 0 (n ?N * ) 的两根,



???anbn??ana?1n

? 2n an?1.

,

由 an

?

a n ?1

?

2n ,得 an?1

?

1 ? 2n?1 3

?

??? ?

an

?

1 ? 2n 3

?? , ?

故数列 ???an

?

1 3

?

2n

? ? ?

是首项为

a1

?

2 3

?

1 ,公比为 ?1的等比数列. 3

证法 2: ∵ an , an?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2n x ? bn ? 0 (n ?N * ) 的两根,

∴ ??an ? an?1 ? 2n , ? bn ? an an?1.



an?1

?

1 3

?

2 n ?1

?

2n

? an

? 1 ? 2n?1 3

?

?

?? ?

a

n

? 1 ? 2n ?? 3?

? ?1,

an

?

1 3

?

2n

an

?

1 3

? 2n

an

?

1 3

?

2n

故数列

??a ?

n

?

1 3

?

2n

? ? ?

是首项为

a1

?

2 3

?

1 ,公比为 ?1的等比数列. 3

? ? (2)解:

由(1)得 an

? 1 ? 2n 3

? 1 ? ?? ?1 n?1 ,
3

即 an

?1 3

2n

? ??1?n

.

? ? ? ? ? ? ? ? ∴bn

? an an?1

?1 9

2n ?

?1 n

?

2n?1 ?

? 1 n?1

7

? ? ? 1 22n?1 ? ?? 2?n ?1 . 9

∴ Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

? ? ?? ? ? ? 1 2 ? 22 ? 23 ??? 2n ? ??1? ? ??1?2 ??? ??1?n 3

?

1 3

? ?2

n?1

?

?

2

?

?? 1?n
2

? 1? ? ?

.

5.解:维修费=0.2 ? 0.4 ? 0.6 ? ?????? ?0.2n

? 0.2 ? (n ?1)n ? 0.1n2 ? 0.1n...................4分 2
总费用=10+0.9n ? 0.1n2 ? 0.1n

? 10 ? 0.1n2 ? n.........................................6分

平均费用= 10 ? 0.1n2 ? n ? 0.1n ? 10 ?1

n

n

? 2 ?1 ? 3............................................9分

当n ? 10时,汽车报废最合算.............................10分

6. 解:(1)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1- 1 )万元,… 5
第 n 年投入为 800×(1- 1 )n-1 万元,所以,n 年内的总投入为
5

? an=800+800×(1- 1 )+…+800×(1- 1 )n-1= n 800×(1- 1 )k-1

5

5

k ?1

5

=4000×[1-( 4 )n] 5
第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1+ 1 ),…,第 4
n 年旅游业收入 400×(1+ 1 )n-1 万元.所以,n 年内的旅游业总收入为
4

? bn=400+400×(1+ 1 )+…+400×(1+ 1 )k-1= n 400×( 5 )k-1.

4

4

k ?1

4

=1600×[( 5 )n-1] 4
(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0,即:

1600×[( 5 )n-1]-4000×[1-( 4 )n]>0,令 x=( 4 )n,

4

5

5

8

代入上式得:5x2-7x+2>0.解此不等式,得 x< 2 ,或 x>1(舍去).即( 4 )n

5

5

<2, 5 由此得 n≥5.

∴至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入.

7.

7.解∶(1)由题设,有an ? a1qn?1, a1 ? 1, q ? 0,?数列{an}是单调数列,又

bn ? log2 an , b1b3b5 ? 0及a1 ? 1知,必有a5 ? 1,即b5 ? 0.

由b1 ? b3 ? b5 ? 6及b5 ? 0,得b1 ? b3 ? 6,即log2 a1a3 ? 6,?a1a3 ? 26 ? 64,

即a22

?

64,? a2

?

8.? a5

?

a2q3

?

8q3

? 1,?q

?

1. 2

由a2

?

a1q得a1

? 16.

? an

?

a1qn?1

? 16( 1 )n?1 2

?

25?n;bn

? log2

an

? 5 ? n.

(6分)

(2)由(1)知, bn

?

5?

n, Sn

?

n(b1 ? 2

bn )

?

n(9 ? 2

n) .

当n ≥ 9时, Sn ≤ 0, an ? 0,?an ? Sn ;

当n ? 1或2时, S4 ? 4或7; an ? 16或8,?an ? Sn;

当n

?

3、4、5、6、7、8时, Sn

?

9、10、10、9、7、4, an

?

4、2、1、1 、1 、1 248

,? an

?

Sn.

综上所述,当n ? 1或2或n ≥ 9时,有an ? Sn;

当n ? 3、4、5、6、7、8时,有an ? Sn.(13分)

8. 解:(1)∵an 是 Sn 与 2 的等差中项

∴Sn=2an-2

∴a1=S1=2a1-2,解得 a1=2

a1+a2=S2=2a2-2,解得 a2=4



(2)∵Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,

又 Sn—Sn-1=an, (n ? 2, n ? N*)

∴an=2an-2an-1, ∵an≠0,

∴ an ? 2(n ? 2, n ? N*) ,即数列{an}是等比树立∵a1=2,∴an=2n a n ?1
∵点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上,∴bn-bn+1+2=0, ∴bn+1-bn=2,即数列{bn}是等差数列,又 b1=1,∴bn=2n-1, ···8 分 (3)∵cn=(2n-1)2n ∴Tn=a1b1+ a2b2+····anbn=1×2+3×22+5×23+····+(2n-1)2n, ∴2Tn=1×22+3×23+····+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1 因此:-Tn=1×2+(2×22+2×23+···+2×2n)-(2n-1)2n+1,

9

··· 3

即:-Tn=1×2+(23+24+····+2n+1)-(2n-1)2n+1, ∴Tn=(2n-3)2n+1+6 分

·· 14

9.

解:

(1)由 2Sn ? 2Sn?1 ? 2an?1 ?1 得 2an ? 2an?1 ?1,

an

?

an?1

?

1 2

……2





an

?

a1

?

(n

?1)d

?

1 2

n

?

1 4

……………………………………4 分

(2)∵ 3bn

?

bn?1

?

n

,∴ bn

?

1 3

bn?1

?

1 3

n

,

∴ bn

?

an

?

1 3

bn?1

?

1 3

n?

1 2

n

?

1 4

?

1 3

bn

?1

?

1 6

n?

1 4

?

1 3

(bn?1

?

1 2

n

?

3);
4

bn?1

?

an?1

?

bn?1

?

1 2

(n

?1)

?

1 4

?

bn?1

?

1 2

n

?

3 4

∴由上面两式得

bn bn?1

? an ? an?1

?

1 3

,又 b1

? a1

?

? 119 4

?

1 4

?

?30

∴数列 ?bn

?

an?

是以-30

为首项,

1 3

为公比的等比数列.…………………8



(3)由(2)得 bn

?

an

?

?30

?

(

1)n?1 3

,∴

bn

?

an

? 30? (1)n?1 3

?

1 2

n

?

1 4

? 30? (1)n?1 3

bn

?

bn?1

?

1 2

n

?

1 4

?

30 ?

( 1 ) n ?1 3

?

1 2

(n

?1)

?

1 4

?

30 ?

(1)n?2 3

= 1 ? 30? (1)n?2 (1? 1) ? 1 ? 20? (1)n?2 ? 0

2

3

32

3

,∴ ?bn ? 是递增数列

………11 分

当 n=1 时,

b1

?

?

119 4

<0;当

n=2

时,

b2

?

3 4

?10

<0;当

n=3

时,

b3

?

5 4

?

10 3

<0;

当 n=4 时,

b4

?

7 4

?

10 9

>0,所以,从第

4

项起的各项均大于

0,故前

3

项之和

最小.



S3

?

1 4

(1?

3

?

5)

?

30

?10

?

10 3

?

?41 1 12

…………………………13



10.

解:(1)? S9

? 9(a1 ? a9 ) 2

?

9 ? 2a5 2

? 9a5

? 153

? a5 ? 17

………5



(2)设数列

?an ? 的公差为

d,则 ???aa52

? ?

a1 a1

?d ?8 ? 4d ? 17

?

???da1

?5 ?3

? an ? 3n ? 2 ………9 分

Sn ? a2 ? a4 ? a8 ? … ? a2n ? 3(2 ? 4 ? 8 ? … ? 2n ) ? 2n ? 3·2n?1 ? 2n ? 6 分

…12

10

11.解:(Ⅰ)∵ y? ? ex ,

∴曲线 C : y ? ex 在点 P?1,e? 处的切线方程为 y ? e ? e? x ?1? ,即 y ? ex .

此切线与 x 轴的交点 Q1 的坐标为 ?0,0? ,

∴点 P1 的坐标为 ?0,1? .

……

2分

∵点 Pn 的坐标为 ? xn, yn ? ( n ? N* ), ∴曲线 C : y ? ex 在点 Pn ? xn, yn ? 处的切线方程为 y ? exn ? exn ? x ? xn ? ,


……4

令 y ? 0 ,得点 Qn?1 的横坐标为 xn?1 ? xn ?1.
∴数列?xn? 是以 0 为首项, ?1为公差的等差数列.
∴ xn ? 1? n , yn ? e1?n .( n ? N* ) 分

……8

n
? (Ⅱ)∴ xi yi ? x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 ? ......... ? xn yn i ?1
S ? -e-1-2e-2-3e-3-4e-4 -........-(1-n)e1-n (1)

eS ? -e-0-2e-1-3e-2-4e-3 -........-(1-n)e2-n (2)

?(1)-(2)得到:(1-e)S ? 1? e-1 ? e-2 ? ........ ? e2-n-(1-n)e1-n

?S

?

e (e-1)2

[

1 en

-1]-

(1-n)e1-n (1-e )

……14 分

12. 解:(1)由 an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ?)2n , (n ? N *, ? ? 0) ,可得

an?1 ? ( 2 )n?1 ? an ? ( 2 )n ?1

?n?1 ?

?n ?

所以{an ? ( 2 )n} 是首项为 0,公差为 1 的等差数列. ?n ?

(2)解:因为

an ?n

? ( 2 )n ?

?

n

?1即 an

?

(n ?1)? n

?

2n,(n ?

N*)

设 Tn ? ? 2 ? 2?3 ? ??? ? (n ? 2)? n?1 ? (n ?1)? n ……①

?Tn ? ?3 ? 2? 4 ? ??? ? (n ? 2)? n ? (n ?1)? n?1 ……②



? ?1







?





(1? ?)Tn ? ? 2 ? ?3 ? ? 4 ? ??? ? ? n ? (n ?1)? n?1

? ? 2 (1? ? n?1) ? (n ?1)? n?1 1? ?

11

Tn

?

? 2 ? ? n?1 (1? ?)2

?

(n ?1)? n?1 1? ?

?

(n

?1)? n?2 ? n? n?1 (1 ? ?)2

?

?2

13. 解:(1)在等差数列?an? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 ,
则 2a5 ? a4 ? a6 ,? a4 ? a6 ? 12 …………………… 3 分

(2)在等差数列?an? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 , a3 ? 3



??? aa11

? ?

2d 4d

? ?

3 6

? d= 3 2

,

a1

?0

,?an

?

3 ?n ?1?
2

n? N?



a52 ? a3 am



36 ? 3am

, ? 12=3 ? m?1?
2

, ? m=…9 ……

7



(3)在等差数列?an? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 , a3 ? 2



?a1 ?? a1

? ?

2d 4d

? ?

2 6

? d=2 , a1 ? ?2 ,?an ? 2n ? 4 ,n ? N ?

又因为公比 q ? a5 ? 6 ? 3 , a3 2

首项 a3 ? 2 ,? ant ? 2?3t?1

又 因 为 ant ? 2nt ? 4 , ? 2nt ? 4 ? 2?3t?1 , nt ? 3t?1 ? 2

n?N? …………

12 分

14. 解 : (1) 由 题 知 :

f (x) ? 1 x2 ? 1 x . ………2 分 22

(2) Tn ? a1a2

n2 ?n

an

?

? ??

4 5

? ??

2

,

?

?a ? b ? 0 ???a ? 0

? ??

b2

??1

?? 4a 8

,





???a

?

1 2

? ??? b

?

?

1 2

,故

Tn?1 ? a1a2

(n?1)2 ?(n?1)

an?1

?

? ??

4 5

? ??

2

(n ? 2) ,

? an

?

Tn Tn?1

?

? ??

4 5

?n?1 ??

(n

?

2) ,

12

又 a1 ? T1 ? 1 满足上式.

所以

an

?

? ??

4 5

?n?1 ??

(n ?

N?)

……………7



(3) 若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的等差中项, 则 2? 5 f (an ) ? bn ? an ,

从而10(

1 2

an2

?

1 2

an

)

?

bn

?

an

,

得 bn

?

5an2

? 6an

?

5(an

?

3)2 5

?

9 5

.

因为 an

?

? ??

4 5

?n?1 ??

(n

?

N

?

)



n

的减函数,

所以



an

?

3 5

,

即 n ? 3(n ? N ?) 时,

bn 随 n 的增大而减小,

此时最小值为 b3 ;



an

?

3 5

,

即 n ? 4(n ? N ?) 时,

bn 随 n 的增大而增大,

此时最小值为 b4 .



a3

?

3 5

?

3 a4 ? 5

,

所以 b3 ? b4 ,

即数列{bn}中 b3 最小,

且 b3

?

5

?? ?????

4 5

2
? ? ?

2
? ? ??

?

6

? ??

4 5

2
? ? ?

? ? 224 . 125

…………12 分

15. 解:(Ⅰ)由题可得 f '(x) ? 2x .

所以曲线 y ? f (x) 在点 (xn , f (xn )) 处的切线方程是: y ? f (xn ) ? f '(xn )(x ? xn ) .

即 y ? (xn2 ? 4) ? 2xn (x ? xn ) .

令 y ? 0 ,得 ?(xn2 ? 4) ? 2xn (xn?1 ? xn ) .

即 xn2 ? 4 ? 2xn xn?1 .

显然

xn

?

0 ,∴

xn?1

?

xn 2

?

2 xn



(Ⅱ)由

xn?1

?

xn 2

?

2 xn

,知

xn?1

?2

?

xn 2

?

2 xn

?

2

?

(xn ?2) 2xn

2

,同理

xn?1

?2

?

(xn ? 2)2 2xn





xn?1 xn?1

? ?

2 2

?

( xn xn

? ?

2)2 2

.从而 lg

xn?1 xn?1

? ?

2 2

?

2 lg

xn xn

? ?

2 2

,即 an?1

?

2an

.所以,

数列{an}成等比数列.故 an

?

2n?1 a1

?

2n?1

lg

x1 x1

? ?

2 2

?

2n?1

lg 3 .即gl

xn ? 2 ?2 xn ? 2

gnl3?1



从而

xn xn

?2 ?2

?

32n?1 所以

xn

?

2(32n?1 ? 1) 32n?1 ? 1

(Ⅲ)由(Ⅱ)知

xn

?

2(32n?1 ? 1) 32n?1 ? 1



∴ bn

?

xn

?

2

?

4 32n?1 ?1

?

0



bn?1 bn

?

32n?1 32n

?1 ?1

?

1 32n?1 ?1

?

1 32n?1

?

1 321?1

?1 3



n

? 1 时,显然 T1

?

b1

?

2

?

3 .当

n

? 1 时,

bn

?

1 3

bn?1

?

(1)2 3

bn?2

?

?

(

1)n?1 3

b1

13

∴ Tn ? b1 ? b2 ?

?

bn

?

b1

?

1 3

b1

?

综上,Tn ? 3 (n ? N*) .

? (13)n?1b1

?

b1[1

?

(

1)n 3

]

1? 1

? 3? 3?(1)n 3

?3.

3

14


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