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关于


入且 取 李苑





一一

关于



圆 曲 锥 线
北 京 市 宏 志 中学 北 京市第 一 中学
王 芝平





选择 题 和 填 空 题
张超 月




高考 中对 解 析 几 何 的考 查
择题或填 空 题
,

,

一般规律是

,



道选



的 轨 迹 方 程 由其 方 程 判 断 图 形 的 面 积 这 是 典 型

,

道 综合性 的 解答题 前 者 主 要 考 查 解

的解 析儿 何 问题

析 几 何 的 基 础 知 识 和 基 本 能 力 和 圆 锥 曲线 有 关 的 选 择 题 与填 空 题 主 要 涉 及 六 个 方 面 见 下 文
,



,

,

刃 则 几 何 条 件 转 化 为 代 数关 系 式


,

解好这些


题 的 关键 是 对 基 础 知 识 的记 忆 和 理 解 对 基 本 方法 的
理 解 和 使用 到位 在 思 维 活 动 中 逻辑 清 晰 能 够把 数 量 特 征 和 关 系与 图 形 的 几 何性 质统 一 起来
, , ,







,



二一





所 以 点 尸 的 轨 迹 是 半 径 等于

的 圆 故选
页例


,

在思 维 中
,

本题与教材 人教版 必修 同 解 题 的 关 键 是 将 几 何条 件 的方 程

,

几乎 完全相
转 化 为关于


做 到 自如 过 渡

圆 锥 曲线 方 程
解 析 几何 是 用 代数 方 法 研 究 儿何 问题 的 一 门数学

本题 的 背 景 是 阿 波 罗 尼 圆
的距 离 之 比 等于 非 负 常数 不 是 例
已知





,

即 平面 上 到两 定 点
的动点轨迹是 圆
,

,

学科

,

主 要 表 现 为 在 坐 标 系 的基础 上 由给 定 的 条 件求
,
,

出 曲线 方 程 根 据 方 程 研 究 曲 线 性 质 所 以 求 曲 线 的 方

卜生


是圆






尹二

程 是 解 析 几 何 的两 个 基 本 问题 之 一

为 圆心 上 一 动 点 线段 则 动 点 尸 的 轨迹 方 程 为

,

的 垂直平分线 交

于 ,

求 圆 锥 曲线 标 准 方 程 的 基 本 步 骤

①定 型 确 定 圆锥 曲线 类 型 ②定 位 判 断 它 的 中 心 在 原 点 焦 点 在 哪 条 坐 标 轴

,


分 析 若 用 求 轨 迹 的 一 般方 法 运 算 过 程 比 较烦琐
而 根 据 图 形 中 的 几 何 性 质不 难 发 现
,

,

,





由椭 圆 定 义 知 点

,

的轨迹 方 程 为 扩

③定 量 建 立 关 于 基 本 量 的方 程 或方 程 组 求 出 基
本量


的值
已知两定点
,











,

,

,

,

如 果动 点 尸 满

要 特 别 重 视 平 面 儿 何 与 圆 锥 曲线 的 定 义 在 求 轨 迹

则 尸 点 的 轨迹 所 包 围 的 图形 的 面 积 等 于
叮 竹 叮
,

时 的 作 用 只 要 动 点 满 足 已 知 曲线 定 义 时 就 可 直 接 得
出方 程 而 应 用 定 义 求 动 点 轨 迹 方 程 其优 势 在 于 避 免
,

,

,



分 析 欲求 点 尸 的 轨 迹 所 包 围 的 图 形 的 面 积 首先 应 该知道 点 尸 的轨迹是 什 么 图形
,

列 式 化 简 等烦 琐 的 代 数 处 理 过 程 给 人 以 简 捷 明 快 之感



,



这实际上 就是求动

麟 瑰 翼珊

巡蜓逊箭罗
二 对标 准方程 的理解 与应 用
圆 锥 曲线 的 标 准 方 程 是 研 究 曲 线 性 质 的 主 要 载


体 将 问题 中 的 方 程 转 化 为标 准 型 可 以 得 到其 中的
特 征 量 或 曲线 的 位 置 特 征
, ,

,

这是 快 速 解 题 的前 提


,



此 应 熟 练 掌 握 圆 锥 曲线 的 标 准 方 程 基 本 量 与 几 何
性质
,

用 通 俗 的语 言说

,

就是要



认识



圆锥 曲线 的 几
凡月



标准 方程







,



的值 理
,

双曲线

,







的 虚 轴 长 是 实轴 长 的



,

论 上 可行 实 际 上 运 算 量 之 大 与 复 杂 难 以 实现 不 可
取 注 意 到 圆锥 曲 线 上 的 点 到 其 焦 点 的 距 离 和 定 义 有 密

,


分析 显 然
, ,


而 双 曲线 方 程 并 不 是 标 准 形 式
,

切联 系 这 不 得 不 让 我 们 回 到 定 义 中 去 方法
义 得 只月
,

,





不妨设


,

是 椭 圆 的左 焦 点 由椭 圆 第 二 定

,

所 以 做 适 “ 的 变 形 得 到 、一

,








?

由标 准 方 程 ”

,

其中

是 椭 圆 的半 长 轴

,



是离心




,

是 只点 的横 坐 标 所以
只 几

,
、 , 、


,


显然
,


,



“ 曲 线 的 半 虚 轴 长 的平 方 等 于




半 实轴 长 的 平 方 等
,


,


,
,

是 首项
,

由题 意 知
,

,




,



所以

生 选

等于



,

公 差 为 兰二 二二竺
,



卜 、二

,

二 的等 差 数 列 的第
,

一一



项 到第



当 然 也 可 根 据 选 择 题 的 特 点 不 用 计算 将 唯 一 正 确
的答 案 挤 出来 因 为
“ ”
,

项 的和 故


,

,



立 即排除



两个选项

,




















再利 用 半 虚 轴 比半 实 轴 长 即 可 直 接 敲 定 答案 此题虽 难度 不 大 但 那些 眼 高手低 的人很 容易
在 这 些 小 问 题 上 失分 一 个 细 节 上 的疏 忽 都 可 能 对 整
, ,





如果 注 意 到 椭 圆 的对 称 性 可 知


,

‘二

二、 直 接得到

,





体的成功形 成 一票 否 决





,

即 细节决 定成 败





数学复

方法

不妨设
,

,

凡 分 别 是 椭 圆 的 左 右焦 点 由椭



,

习 和 考试 要 不放 过任何 一个 细节

圆 图形 的对 称性 得 只凡
,

月十 几
,



只 几月








三 圆 锥 曲线 的 定 义
圆 锥 曲线 定 义 不 仅 是 推 导 圆 锥 曲 线 方 程 的 依 据
,



根据椭 圆 第 一 定 义 得
?

尸, 月 十

只月
?

,


“ 二







?

。 。卜 …

,。 。 卜




?



也 是 解 题 的 常 用 方 法 对 某 些 圆 锥 曲线 问 题 如 果 采 取


,

回 归定 义
,



的策 略

,

则 往 往 能 获 得 题 设 信 息所 固 有 的
、 、

圆 锥 曲线 的 第 二 定 义

,

揭 示 了 曲线 上 动 点 到 焦 点

本 质 属 性 达 到准 确 判 断 合 理 运 算 灵 活 解 题 的 目的 例
如图

的距 离 和 动 点 到 对 应 准 线 的距 离 之 比 与 离 心 率

之间

把 椭 圆兰 十

广



的 长轴

分成

的 关 系 当条 件 中含 有 焦 半 径 圆 锥 曲线 上 的 点 到 焦 点

的 距 离 时 可 考 虑 运 用 圆 锥 曲线 的 第 二 定 义 如 方 法 等份 过 每 个 分 点 作
, , , , , , ,

,

,

轴 的 垂 线 交椭 圆的 上 半部分 于
,

方法
,

巧 妙 利 用 了椭 圆 的对 称性 和 第 一 定 义 整 体

,

几 几 只 凡 凡 只 七 个点 几

是椭 圆的一 个 焦点


,

突 破 可 谓 妙解
圆 锥 曲线 的定 义 是 圆 锥 曲 线 这 部 分 内容 的 知 识 源



几月





几月

凡月






,

泉 许 多 问题 不 管 怎 样 变 化 综 合 性 有 多 强 都 要 回 到
分 析 一 个 直接 的念头
,

,

,

,

几 只 凡 几 几 马 七点


,

,

,

,

,

这个 根 归到 这个 源 上 来 这 使得 某 些 问题 的解决 有 法 可 依 有 章可 循




,



的 坐 标 容 易 求得

,

再 由两 点 间 距 离 公 式 就 可 求 得



麟潮猫呻

箱碧 入全
四 离心 率 离 心 率 是 圆锥 曲线 的一 个 重 要 参数
的本 质 属 性 之 一
,



解 析 几 何 虽 然 是 用 代数方 法 研 究 几何 问题
它 研 究 的毕 竟是 几 何 图形 的 性 质
, ,

,

但是

因此 在 推 理 过 程 中

是 圆 锥 曲线

巧 妙 地 运 用 几何 性 质来 简化 计算

,

应该 成 为一 种 习 惯

,

它 的 变化 不 仅直 接 导 致 曲线 形 状 的
,

性 的思 维 方 法

变 化 而 且 还 能 影 响 曲线 的 类 型 是 圆 锥 曲线 统 一 定 义
中 的三 要 素 定 点 定 线 定 比 之一 所 以 多数 圆锥 曲


从 以上 几例可 以看到
,

,

不管 给 出怎 样 的 条 件 求 离
,
,



,

心 率 都需 要 灵 活 地 将 条 件 转 化 为 关 于 程 再 结 合 隐含 条 件 矿 护
,



的代数方
矿 双曲

线 问题 都 以 离心 率 为 交 汇 点 从 多角 度 多层 面 考 查 运
用 数 学 知 识 解 决 问题 的能 力

,



,

。“

椭圆 或







线 即 可 达 到 目 的 当然 有 时 亦 可 巧 借 定 义 求 解
,

,


,

已知双 曲

线

典共



、 。 。



,

的右 焦点

五 焦 点 准 线 渐近 线

若 双 曲 线 兰 一 尹二
,









若过点

且倾 斜 角为
,

的 直线与双曲 线的右 支

上 的 点到左 准线 的距 离

有且 只

有一 个 交 点 则 此 双 曲 线 离心 率 的 取 值 范 围 是
,



,

是到左 焦点 距 离的 生 则

,

,








。 一

。 一

分 析 把 题 设 条 件 倒 过 来 叙 述 就 是 双 曲线





,



上 的点 到 左 焦 点 的 距 离 是 到 左 准 线 距 离 的
,

这 实 际 上 就 是 说 双 曲线 的 离 心 率 等 于


即丫








直线
少二


与抛物 线


,

交于 ,

两点

,

过 ,
分 析 代 数方 法 联 立 直 线 和 已 知 双 曲线 的 方 程
, ,

两 点 向抛 物 线 的 准 线 作 垂 线 的 面积为
,

垂足分别 为 只

,

则梯形

消去
个 大于

,

得 到一个关于

的方 程 这 个 方 程 有 且 只 有一
,

的实数解 这 样 显 然 要 繁琐 如 图
,

考虑到双
与 双 曲线

分析 ,
,

直 接法 求出 人

两点 的坐标 则

,

,

曲线 与其 渐 近 线 的 关 系 原 命 题 等价 于 直 线
在一


的长 可 求 面 积 自然 也 就 求 出 了
分析
,
,

三象限的渐近 线

平 行 或 它 们 的交 点在 第 三 象



设而不求



,

整 体解 决 设
,

俩,
,

,



, ,

限 下 面有两种思路
、 、 月 ‘


,
,

,

由抛 物 线 定 义 知 以 月
?

,

方法








、 、
,
,

。二







,



“二






,? ,。 ,卜



,




? ?



” 丁恤



,、



代 人 尹二


,

消去


一 兰 分 。拼 所 以 八巧


, ,

,







,

即 此 双 曲线 离 心 率 的 取 值














范 围是
方法 限 的渐 近 线
,
,





代 人 尹二


,

消去
,





原命 题 等价 于 直线 在第一象限不 相 交
的倾 斜 角

与 双 曲线 在 一
,



三象

一 一 尹 勿


,

十为二
二 一

又 等价 于 渐近 线
,

的倾 斜 角不 小 于 直 线


所 以 立 〕 丫了

所以


,

少,



为二





,



,

十为



妙的













嘴锄娜嫌



巡 耀品


,

分析


、 十二

由 扩一
,



还可 得到


,

是线段


尸凡

与 圆 的 交 点 那 么 旧甘

,





就有最 大值



不砌


不 两动

犷二

、厄 石

了 丙力

且 这 个 最 大值是 定 值 这 体 现 了 事 物 运 动 变 化 的 对 立 统 一规律 蕴涵 了一种动态美
,





屯 丽蔺 压 丁
,





分析 并不 比 分析
,

对 于 本题来说 分析
,

更简


物线于

直线

过 抛 物 线 尹二 助
,

的 焦点


交抛

单 但 创 门却 是 解 决 这 类 问 题 的 通 用 方 法 值 得 借 鉴 熟 练 掌 握 圆 锚曲 线 标 准 方 程 中 的 基 本 特 征 量 与 几 何 特 性
是 正 确解 答 的前 提

,

,

,

殉两 点 则

,

为为 二

由 人 民 教 育 出 版 社 全 日 制 普 通 高 级 中 学数 学 第 二 册



必修

页 习题



题改编
,

分析

对 于填 空 题解 法 可 以 不 拘一 格 宜采取 特
垂直于
,

六 综 合 问题
高考命 题 强 调 知识 之 间 的渗 透 与综 合
, ,



殊 化 的方 法 处 理 令直线


轴 即知 填一


,










,

对数学 知
,

,



二 故
分析

,

,



识 的 考 查 要 求 全 面 但 不 刻 意 追 求 知 识 内容 的覆 盖 面
而 是 强 调 试 题 的综 合 性 的综 合 突出
, ,



,








,

注 重 学 科 的 内在 联 系 和 知 识

如果 能 用 一 般方 法再解 此 题 可 以 让 我 们

这 些 命 题 原 则 在 圆 锥 曲线 问 题 中 表 现 得 尤 为

掌 握解 决 这 一 类 问 题 一 般 思 维 规 律 由 于
两 点是直线
,

伪,

, 帆妇

和 抛 物 线 的 公 共 点 因 此 它 们 的坐 标 就 是
,



尸是双曲

线兰




,

的 右 支上 一 点 肛

,



对应方程组 的解
不 难得到结论

结合 一 元 二 次 方 程 根 与 系数 的关 系

分别是 圆

二 十



尹二









上的点 则

,

当直 线 不 垂 直 于



轴时 设直线
,

,

的方 程 为
整理得

,



那夕 一



的最 大 值 为



,

、,

二 代人抛 物线 方程 尹 助

,

“、 一 , 尸十 、 ,

静 系 数 的关 系得 一誓
, ,
,





各 项 系 数 都 含“

由根 “



卜、一 且
,




,

所以



矿 而
由 分析


与 知
,

异号 故


,



当直 线 垂 直 于

轴时

,



,

,

,


,

分析
分析
,

研究 解 析几 何 问题 一 般 离 不 开 代 数 运 算
,

,

,

分 别 是 双 曲线 和 圆 上 的 独 立 的 动
,

一 方 面 要 求 我 们要 有 一 定 的运 算 能 力 敢 于 硬 碰 硬
, ,





,

点 若 通 过 构 建 目 标 函 数 求其 最 值 是 绝 对 行 不 通 的
另辟新径 从 分 析 图形 开 始 如 图
,
, ,

另 一 方 面 我 们 应该 注 意 发 现 问 题 的 内在联 系 积 极 寻

双 曲线 的 两 个 焦 点
, ,

求 简捷 的解 法
反思 分析 的第 一 种情 况
,



,

与凡

,

,

恰 好是 两 圆 的 圆 心 以 静 制 动 暂 时
了一

,

消去

有 什么 特别 的
,

固定 点

欲使 即
,



的 值 最 大 当 且 仅 当 巴材 最 大
,

,

理 由吗

习 质是 这 样 的 但 习 惯 并 非 都 是 最 好 的 如 果



且 巴丫 最 小 由 平 面 几 何 性 质 知 点

在 线 段 外 的延
,

注 意到在两个方程 中

都是一 次 的

,

消去

应该是更

长线上 点
此时 尸



,

是线段
巴丫


尸石 飞与 圆 的 交 点 时 所 求 的 值 最 大


明智 的





尸石 卜 飞



夕 卜 丹飞 尸

由抛 物 线 方 程 尹 较为
,




,






,

代人直线






此 题 将 双 曲线 的 定 义 与 圆 的 性 质 有 机 整 合

,

方程

,




,

整理得

尹一 脚



, 二

一 次项

新颖



,

,

分 别 是 双 曲线 和 两 个 圆 上 独 立 的 动 点 但
,

在 运 动 变 化 中却 有 某 些 不 变 的 规 律

即无论点

尸在双
,

系数 不 含 有


由根 与 系 数 的关 系 得
,

,





’,

又 式二

曲线 上 什 么 位 置 只 要 点

,

在线 段



的延 长 线 上 点



所以洽



,



,



?


下转第 页



旦 丛 恻 鲤 吵丝 鱼



〔 旦 丛

鱼坐 幽

又科 缘吕

③认 识 过 程 是 实 践 认 识 再 实 践 再 认 识 循 环
往 复 以 至 无 穷 的 过 程 人 们 对 历 史 的认 识 过 程 也 是 如
,

,

,

,

,

悠 久 的 奥 林 匹 克 精神 增 添 丰 富 多彩 的 中 华 文 化 内 涵



运 用 辩 证 唯 物论

,

说 明如 何通 过 北 京 奥运 会 充 分展





所 以 我们 对 阿房 宫的认 识还 需要 继 续深化
,

,





现 中华 文 化



明 若 考 生 另 有 答 案 只 要 符 合 题 意 言 之 有理 可 酌

,

,

参考 答 案
,

①物 质 决 定 意 识 一 切 从 实 际 出 发



,



要立

情 给分



足 国情 了 解 奥 运 了 解 文 化 了 解 历 史
,



此题答 案涉及辩 证 唯 物主 义认识论 的三 个哲 学
观点 分 别与 材 料 中 的 现 象 一 一 对 应
,

②意 识 具 有 能 动 作 用 意 识 能 够 正 确 反 映 客 观 事 物
意 识 能够反 作用 于 客 观 事 物
, ,

,





阿房宫考古




要发挥 主观能动性
,

,

一方

队 … …时 阿 房 宫 遗 址 开 展 了 多 学 科 考 古 调 查 勘 探 和

面 在 展 现 内容 上 对 传统 文 化 要 进 行 选 择 挖 掘 传 统 文

发掘 发现

,

?





说 明 实践 是 认 识 的 基 础





发现 当年
,

化 的精髓 另 一 方 面 在展现 方式 上 大胆 创 意 精 心 策 划 形 成科 学 合 理 的 展 示 方 案 并 以 此 为 指 导 周 密 组 织
,
,
,

,

,



阿 房 宫 工 程 只 完成 了前殿 建筑 基础 和部 分 宫 墙 建设
,

,

由 于 宫殿 建 筑 基 址 以 上 部 分 并 未 营 建 也 就 不 存 在被
大 火烧 毁 的

科学 实施



联 系 实 际 言 之 有理 酌 情 给 分
,

,

,

事实





说 明有 些 史 籍 和 历 史 教 科 书 的记
,

此 题 要 求 运 用 辩 证 唯 物论

说 明 如何通 过 北 京 奥 运

载 是 不 符 合 历 史事 实 的 准


实践是检验真理 的唯 一标
,

会 充 分 展 现 中华 文 化
方面




答案 从 辩 证 唯 物论方法 论 的 两个
” “ ”
,

阿房 宫 考古 队 的 全部 活 动及 效果 说 明认 识要 不

一 切 从 实 际 出发 和 正 确 发 挥 主 观 能 动 性 作 答
,


断深化

为 通 过 北 京 奥 运 会 充 分 展 现 中华 文 化 提 出 了 具 体 的 可
,

运 用某一 哲学 观 点 提 出解决某 一 间题 的具体方 法
要求 熟 练掌握 每一个 析学观点 和 与之 相 对 应 的

行 的方 法



综上 所述

,

哲 学 主 观性试 题审 题 与 解 题 的思 维 过 程

方 法 论 并 能够 把 方 法 论 的具 体 内容 准 确 再现


,



但是

应 该 分 为 以 下 五 个 阶段

哲 学 方 法 论 是 普 遍 的 一 般 的 而 问题 和 现 象是 个别 的 具体 的
,


一 审 设 问 明确 试 题 考 查 的 知 识 要 求 属 于 哪 一 学 科

,

,



因此 还 要 在 普 遍 性 指 导 下 针 对 具 体 问


,

,

具 体 要 求 哪 些 知 识 点 答题 指 向 是 什 么
二 读 材 料 将 材 料 分层 分 段 归 纳 材 料 的 中心 思 想 和
, ,

,

题 和 现 象 提 出具 体 方 法

,

年北 京 卷 第

题 奥运 会是跨越 国

每层 的 段 落 大 意
三 联 理论
,

界 的 全 球 盛 事 是 主 办 国 向 整 个 世 界 展 现 自身风 貌 的

找 出材 料 的 中心 思 想 和 每 层 段 落 大 意所

机会



对应 的学科知 识理论






四 填 思 考 检查 中 心 思 想 每 层 材 料 和 所 联 系 的 理 论 天
,

,



世界给我

我给世界





年 奥 运 会 的 熊 熊 圣 火要 在北 京 燃 烧 将 向 世 界 展 现 中华 民 族
上 接第
刃 年的灿烂 文化
,

天 北京

,



之 间 是 否 相 互 印证
五 慎 作 答 恰 当 运 用 哲 学 学 科 术语 分 层 分 段 准 确
, ,

,

为历 史

表述 理论联 系 实 际

,






由于 垂 直于 轴 的直线 斜 率不 存 在 因 此
,

分析

在 解 决 圆 锥 曲线 问 题 时 怎 样 简 化 数 式 的 推 演
上 述 各种 解 法 值 得 细 细 品 味 方 法
,

,



,

上 述 解 法 就 必 须分 类 讨论

若注 意到 直线
的焦 点
,

不 能是
的所有直

是一般方法 运算
,

轴 所 以 过 抛 物 线 尹 二 助二 线 可 以 统一表示 为
出现 了
二 一

,

过程相对 复杂些 方法 去一 次项
,

是 从 两 个 方程 的特点人手 消

卫 那 么 一 个 优 化 的解 法 又



,

改进 了方法

方法
,

考 虑 到 直 线 方 程 的统
,

一 性 一 改 直线 方程 的 习 惯设 法 既 避 免 了分类讨论

设直线

的方 程 为
,

二 二

二 答




,

代 人 方 程 尹二 知二
,

又 使运 算过 程 变 得 简单 耐 人 寻 味


,

学 习 数学不能没有

切网 消 去
则为

,
,

,

得 尹 助二 声 二

,

仅 一 次项 系 数 含有

求 简 优 化 意 识 从 可 持 续 性 发 展 的 角 度 来看 这 比 学 到
一 些具体的知识还重要 圈

,

甲 所以





仓对 彻

嘿豹擞潍


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