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2018版高中数学人教版A版必修一第一单元 1.3.1 第1课时 函数的单调性课件

§1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 学习目标 1.理解单调区间、单调性等概念,会用定义证明函 数的单调性(重点、难点).2.会求函数的单调区间,判断单调性 (重点). 预习教材 P27-P28,完成下面问题: 知识点 1 增函数与减函数 设函数f?x?的定义域为I, D?I,对任意x1,x2∈D 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) 1 (1) 已知 f(x) = x ,因为 f( - 1)<f(2) ,所以函数 f(x) 是增函 数.( ) (2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值 x1, x2”可以改 为“存在两个自变量的值 x1,x2”.( ) (3)若函数 f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数 f(x) 在区间(1,3)上为增函数.( ) 提示 (1)× 由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是增 函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大,函数 值也越大,而不是个别的自变量. (2)× (3)× 不能改为“存在两个自变量的值 x1、x2”. ? ?x,x∈?1,2], 反例:f(x)=? ? ?x-4,x∈?2,3?. 知识点2 函数的单调区间 增函数或减函数 如果函数 y = f(x) 在区间 D 上是 _____________________ ,那 (严格的)单调性 么就说函数 y = f(x) 在这一区间具有 __________________ , 区间D叫做y=f(x)的单调区间. 【预习评价】 (1)函数f(x)=x2+2x-3的单调减区间是________. (2)函数y=|x|在区间[-2,-1]上( ) A.递减 C.先减后增 解析 B.递增 D.先增后减 (1)二次函数f(x)的图象开口向上,对称轴为x=-1, 故其单调减区间是(-∞,-1). (2)函数y=|x|的单减区间是(-∞,0),又[-2,-1]? (-∞,0),所以函数y=|x|在区间[-2,-1]上递减. 答案 (1)(-∞,-1) (2)A 题型一 求函数的单调区间 【例 1】 (1) 如图所示的是定义在区间 [ - 5,5] 上的函数 y = f(x) 的图象,则函数的单调递减区间是 ________ 、 ________ , 在区间________、________上是增函数. (2) 画出函数 y =- x2 + 2|x| + 1 的 图 象 并 写 出 函 数的 单 调 区 间. (1)解析 观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [ -2,1] ,[1,3] ,[3,5] .其中y =f(x) 在区间[ -5 ,-2] ,[1,3]上 是增函数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数. 答案 [-2,1] [3,5] [-5,-2] [1,3] (2)解 2 ? - x +2x+1,x≥0, ? y=? 2 ? ?-x -2x+1,x<0, 即 2 ? ?-?x-1? +2,x≥0, y=? 2 ? - ? x + 1 ? +2,x<0. ? 函数的大致图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1],[0,1] , 单调减区间为[ -1,0] ,[1,+∞). 规律方法 根据函数的图象求函数单调区间的方法 (1)作出函数图象; (2)把函数图象向x轴作正投影; (3)图象上升对应增区间,图象下降对应减区间. 1 【训练 1】 函数 y= 的单调减区间是________. x-1 解析 1 1 y= 的图象可由函数 y= x x-1 的图象向右平移一个单位得到,如图 所示,其单调递减区间是(-∞,1)和 (1,+∞). 答案 (-∞,1),(1,+∞) 题型二 证明函数的单调性 4 【例 2】 证明函数 f(x)=x+x 在区间(2,+∞)上是增函数. 证明 任取 x1,x2∈(2,+∞),且 x1<x2, 4?x2-x1? 4 4 则 f(x1)-f(x2)=x1+x -x2-x =(x1-x2)+ x x 1 2 1 2 x1x2-4 =(x1-x2) x x . 1 2 因为 2<x1<x2,所以 x1-x2<0,x1x2>4,x1x2-4>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 4 所以函数 f(x)=x+x 在(2,+∞)上是增函数. 规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤 【训练 2】 1 证明函数 f(x)=x2在(-∞,0)上是增函数. 证明 设 x1,x2 是区间(-∞,0)上任意两个实数,且 x1<x2, 2 2 1 1 x2-x1 ?x2-x1??x2+x1? 则 f(x1)-f(x2)=x2-x2= x2x2 = . 2 2 x x 1 2 1 2 1 2 2 因为 x1<x2<0,所以 x2-x1>0,x1+x2<0,x2 x 1 2>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 1 所以函数 f(x)=x2在(-∞,0)上是增函数. 题型三 用单调性解不等式 【例3】 已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a)<f(2a-1),求实数a的取值范围. ?-1<1-a<1, ? 由题知?-1<2a-1<1, ?1-a>2a-1, ? 2 解得 0<a<3, 即所求 a 的取值 解 ? 2? 范围是?0,3?. ? ? 规律方法 利用函数的单调性解不等式的方法 当函数f(x)的解析式未知时,欲求解不等式,可以依据函数 单调性的定义和性质,将符号 “ f” 脱掉,列出关于未知量 的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域. 【训练 3】 已知函数 f(x)为定义在区间[ -1,1] 上的增函数,则 满足 ?1? f(x)<f?2?的实数 ? ? x 的取值范围是_

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