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正弦定理、余弦定理对比表


人教 A 版必修五

第一章 解三角形

2012.5.18

第一章
一、正弦定理、余弦定理对比表 正弦定理 表 达 式 ⑴

解三角形
余弦定理 备注

a b c ? ? ? 2R 2 2 2 ⑴ a ? b ? c ? 2bc cos A ; sin A sin B sin C ⑵ a sin B = b sin A ;a sin C = c sin A ; ⑵ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ; 2 2 2 b sin C = c sin B ⑶ c ? a ? b ? 2ab cosC 。 ⑶ sin A : sin B : sin C = a : b : c
指出了任意三角形中三边与对角的正弦 之间的关系,即边与对角正弦的比值是定 值(外接圆的直径) 。 指出了任意三角形中三边与其中一角的具体关 系。即三角形中任何一边的平方等于其他两边的 平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两 倍。

内涵 关系

公 式 变 形 适用 范围 证明 方法 边 角 关 系 已知 三边 已知 两边 夹角 已知 两边 对角 已知 两角 一边 判断 三角 形的 形状

sin A sin A b? c = 2R sin A ; sin B sin C sin B sin B a? c = 2R sin B ; b= sin A sin C sin C sin C b? a = 2R sin C c= sin B sin A a?
⑴两角一边;⑵两边及一对角。 (至少一 边) ⑴利用三角函数证明; ⑵利用向量证明。 若 A > B ,则 a > b ;反之,若 a > b ,则 A>B 。 (大边对大角,或小边对小角)

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 ; cos B ? ; 2bc 2ac

a2 ? b2 ? c2 cos C ? 2ab
⑴三边;⑵两边及一角。 (至少两边) ⑴利用向量的数量积证明;⑵利用坐标法证明; ⑶利用几何法证明。 ⑴ a ? b ? c ,A =90 ; 三角形是直角三角形;
2
2

2

2

?

⑵ a > b ? c , A >90 ? ;三角形是钝角三角形
2 2

⑶ a < b ? c , A <90 ;三角形是锐角三角形
2 2 2
?

⑴用余弦定理连续求出二个角,再用内角和定理求出第三角。 ⑵先用余弦定理求出第一角,再用正弦定理求出第二角,再用内角和定理求出第三角。 (注意 求角的顺序,即用正弦定理先求小边的对角,用余弦定理先求大边的对角) ⑶利用海伦公式求出面积,再利用其他面积公式求出正弦。 先用余弦定理求第三边,再用余弦定理或用正弦定理求出第二角。应用正弦定理求角可以使 计算简便,为避免讨论,应先求小边的对角,因为它必是锐角。 ⑴先用正弦定理求第二角,再求用正弦定理或余弦定理求出第三边; ⑵先余弦定理求出第三边,再求用正弦定理或余弦定理第二角。 (注意此类问题的三角形不能唯一确定,可能出现一解、两解或无解的情况) 先用内角和定理求出第三角,再正弦定理求第二边和第三边,或用正弦定理求第二边、余弦 定理求出第三边。 余弦定理和正弦定理都是围绕着三角形进行边角互化的, 所以在解有关三角形的题目时, 要有意识地考虑用哪个定理更合适,或者两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息。 一般地,如果遇到的式子中含角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子 中含角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理 都有可能用到。在判断三角形的形状时,采用边化角的运算较为简单。
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