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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数教师用书理


第二章 函数概念与基本初等函数 I 2.4 二次函数与幂函数教师用书 理 苏教版

1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax +bx+c(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m) +n(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式
2 2

f(x)=ax2+bx+c(a>0)

f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图象

定义域 值域

(-∞,+∞)

(-∞,+∞)

?4ac-b ,+∞? ? 4a ? ? ?
在 x∈?-∞,- ?上单调递减; 2a? ? 在 x∈?- ,+∞?上单调递增 ? 2a ?

2

?-∞,4ac-b ? ? 4a ? ? ?
在 x∈?-∞,- ?上单调递增; 2a? ? 在 x∈?- ,+∞?上单调递减 ? 2a ?

2

?

b?

?

b?

单调性

?

b

?

?

b

?

对称性 2.幂函数

函数的图象关于 x=- 对称 2a

b

(1)定义:一般地,形如 y=x 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. (2)幂函数的图象比较

α

1

(3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②幂函数的图象过定点(1,1); ③当 α >0 时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ④当 α <0 时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 【知识拓展】
?a>0, ? 2 1.若 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 则当? ?Δ <0 ? ?a<0, ? 时恒有 f(x)>0, 当? ?Δ <0 ?

时, 恒有 f(x)<0.

2.幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内, 一定不会出现在第四象限, 至于是否出现在第二、 三象限内,要看函数的奇偶性. (2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数 y=ax +bx+c,x∈[a,b]的最值一定是 (2)二次函数 y=ax +bx+c,x∈R 不可能是偶函数.(
2 2 2

4ac-b .( × ) 4a × )

2

(3)在 y=ax +bx+c(a≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大 小.( √ ) (4)函数 y ? 2 x 2 是幂函数.( × ) (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ ) (6)当 n<0 时,幂函数 y=x 是定义域上的减函数.( × )
n

1

1.(教材改编)若幂函数 f(x)的图象经过点(2,2 2),则 f(9)=________. 答案 27 解析 设 f(x)=x ,则 2 =2 2, 3 ∴α = ,∴f(x)= x 2 . 2
2
3
α α

∴f(9)= 9 =27. 1 α 2.(教材改编)设 α ∈{-1,1, ,3},则使函数 y=x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 2 值和为__________. 答案 4 1 α 解析 当 α =1,3 时,函数 y=x 的定义域为 R,且为奇函数;当 α =-1 时,y= 的定义

3 2

x

1 域是{x|x≠0,x∈R};当 α = 时,y= x 2 = x的定义域是{x|x≥0}. 2 ∴满足题意的 a 值为 1 和 3,其和为 4. 3.(教材改编)函数 f(x)=2x -mx+3,当 x∈[2,+∞)时是增函数,当 x∈(-∞,2]时是 减函数,则 f(1)=______. 答案 -3 解析 f(x)=2(x- ) +3- ,由题意 =2, 4 8 4 ∴m=8,∴f(1)=2×1 -8×1+3=-3. 4.已知函数 y=x -2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围为 ________. 答案 [1,2] 解析 如图,由图象可知 m 的取值范围是[1,2].
2 2 2

1

m

2

m2

m

5.(教材改编)已知幂函数 y=f(x)的图象过点?2, 间________上单调递减. 答案 y= x
? 1 2

? ?

2? ?,则此函数的解析式为________;在区 2?

(0,+∞)
a a

解析 设 f(x)=x ,则 2 =

2 , 2
1

? 1 ∴a=- ,即幂函数的解析式为 y= x 2 ,单调减区间为(0,+∞). 2

3

题型一 求二次函数的解析式 例 1 (1)(2016·南京模拟)已知二次函数 f(x)与 x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0) 且有最小值-1,则 f(x)=________. 答案 x +2x 解析 设函数的解析式为 f(x)=ax(x+2), 4a×0-4a 2 所以 f(x)=ax +2ax,由 =-1, 4a 得 a=1,所以 f(x)=x +2x. (2)已知二次函数 f(x)的图象经过点(4, 3), 它在 x 轴上截得的线段长为 2, 并且对任意 x∈R, 都有 f(2-x)=f(2+x),求 f(x)的解析式. 解 ∵f(2+x)=f(2-x)对任意 x∈R 恒成立, ∴f(x)的对称轴为 x=2. 又∵f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2. ∴f(x)=0 的两根为 1 和 3. 设 f(x)的解析式为 f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0), 又 f(x)的图象过点(4,3), ∴3a=3,a=1, ∴所求 f(x)的解析式为 f(x)=(x-1)(x-3), 即 f(x)=x -4x+3. 思维升华 求二次函数解析式的方法
2 2 2 2

(1)已知二次函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数 f(x)的最小值为

2

f(-1)=0,则 f(x)=________.
(2)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该 函数的解析式 f(x)=________. 答案 (1)x +2x+1 (2)-2x +4 解析 (1)设函数 f(x)的解析式为 f(x)=a(x+1) =ax +2ax+a,
2 2 2 2

4

由已知 f(x)=ax +bx+1,∴a=1, 故 f(x)=x +2x+1. (2)由 f(x)是偶函数知 f(x)图象关于 y 轴对称, 2a 2 2 ∴-a=-(- ),即 b=-2,∴f(x)=-2x +2a ,
2

2

b

又 f(x)的值域为(-∞,4], ∴2a =4,故 f(x)=-2x +4. 题型二 二次函数的图象和性质 命题点 1 二次函数的单调性 例 2 函数 f(x)=ax +(a-3)x+1 在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数 a 的取值范围是 __________. 答案 [-3,0] 解析 当 a=0 时,f(x)=-3x+1 在[-1,+∞)上递减,满足条件. 3-a 当 a≠0 时,f(x)的对称轴为 x= , 2a
2 2 2

a<0, ? ? 由 f(x)在[-1,+∞)上递减知?3-a ≤-1, ? ? 2a
解得-3≤a<0.综上,a 的取值范围为[-3,0]. 引申探究 若函数 f(x)=ax +(a-3)x+1 的单调减区间是[-1,+∞),则 a=________. 答案 -3 解析 由题意知 a<0, 又 3-a =-1,∴a=-3. 2a
2

命题点 2 二次函数的最值 例 3 已知函数 f(x)=ax -2x(0≤x≤1),求函数 f(x)的最小值. 解 (1)当 a=0 时,f(x)=-2x 在[0,1]上单调递减, ∴f(x)min=f(1)=-2. (2)当 a>0 时,f(x)=ax -2x 的图象开口向上 1 且对称轴为 x= .
2 2

a

1 ①当 0< ≤1,即 a≥1 时,

a

f(x)=ax2-2x 的对称轴在[0,1]内,

5

1 1 ∴f(x)在[0, ]上单调递减,在[ ,1]上单调递增.

a

a

1 1 2 1 ∴f(x)min=f( )= - =- .

a

a a

a

1 2 ②当 >1,即 0<a<1 时,f(x)=ax -2x 的对称轴在[0,1]的右侧,

a

∴f(x)在[0,1]上单调递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2. (3)当 a<0 时,f(x)=ax -2x 的图象开口向下 1 且对称轴 x= <0,在 y 轴的左侧,
2

a

∴f(x)=ax -2x 在[0,1]上单调递减, ∴f(x)min=f(1)=a-2.

2

a-2,a<1, ? ? 综上所述,f(x)min=? 1 - ,a≥1. ? ? a
命题点 3 二次函数中的恒成立问题 例4 (1)已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax +2x-3 在 x∈[-1,1]上恒小于零,则实数 a 的
2

取值范围为________. 1? ? 答案 ?-∞, ? 2

?

?

解析 2ax +2x-3<0 在[-1,1]上恒成立. 当 x=0 时,-3<0,成立; 3?1 1?2 1 1 1 当 x≠0 时,a< ? - ? - ,因为 ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当 x=1 时,右边取最小值 , 2?x 3? 6 x 2 1 所以 a< . 2 1? ? 综上,实数 a 的取值范围是 ?-∞, ?. 2? ? 1 2 (2)(2016·江苏徐州一中质检改编)若 t -kt-1≤0 在 t∈[-1,1]上恒成立,求实数 k 的 4 取值范围. 1 2 解 求二次函数 f(t)= t -kt-1 在给定区间[-1,1]上的最大值 M,二次函数 f(t)的图象 4 的对称轴为直线 t=2k. 1 1 ①当 2k∈[-1, 1], 即 k∈[- , ]时, M=f(-1)或 f(1), 由 M≤0, 得 f(-1)≤0 且 f(1)≤0, 2 2

2

6

3 3 1 1 1 1 解得- ≤k≤ ,又 k∈[- , ],故- ≤k≤ ; 4 4 2 2 2 2 1 1 ②当 2k<-1, 即 k<- 时, 函数 f(t)在[-1, 1]上单调递增, 故 M=f(1)= -k-1, 由 M≤0, 2 4 3 1 3 1 得 k≥- ,又 k<- ,故- ≤k<- ; 4 2 4 2 1 1 ③当 2k>1,即 k> 时,函数 f(t)在[-1,1]上单调递减,故 M=f(-1)= +k-1,由 M≤0, 2 4 3 得 k≤ , 4 1 1 3 又 k> ,故 <k≤ . 2 2 4 3 3 综上知,实数 k 的取值范围为[- , ]. 4 4 思维升华 (1)二次函数最值问题的解法: 抓住“三点一轴”数形结合, 三点是指区间两个端 点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ①一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数. ②两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离 . 这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min. (1)设函数 f(x)=ax -2x+2, 对于满足 1<x<4 的一切 x 值都有 f(x)>0, 则实数
2

a 的取值范围为________.

?1 ? 答案 ? ,+∞? ?2 ?
2 2 解析 由题意得 a> - 2对 1<x<4 恒成立,

x x

2 2 ?1 1?2 1 1 1 又 - 2=-2? - ? + , < <1, x x ?x 2? 2 4 x 1 1 ?2 2 ? ∴? - 2?max= ,∴a> . 2 2 ?x x ? (2)已知函数 f(x)=x -2x,若 x∈[-2,a],求 f(x)的最小值. 解 ∵函数 y=x -2x=(x-1) -1, ∴对称轴为直线 x=1, ∵x=1 不一定在区间[-2,a]内,∴应进行讨论,当-2<a≤1 时,函数在[-2,a]上单调递 减,则当 x=a 时,y 取得最小值,即 ymin=a -2a;当 a>1 时,函数在[-2,1]上单调递减, 在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,y 取得最小值,即 ymin=-1. 综上,当-2<a≤1 时,ymin=a -2a,
7
2 2 2 2 2

当 a>1 时,ymin=-1. 题型三 幂函数的图象和性质 例 5 (1)若 (2m ? 1) 2 > (m2 ? m ? 1) 2 ,则实数 m 的取值范围是__________. 答案 ?
1 1

? 5-1 ? ,2? ? 2 ?
1

解析 因为函数 y= x 2 的定义域为[0,+∞) 且在定义域内为增函数, 2m+1≥0, ? ? 2 所以不等式等价于?m +m-1≥0, ? ?2m+1>m2+m-1, 1 解 2m+1≥0,得 m≥- ; 2 - 5-1 5-1 2 解 m +m-1≥0,得 m≤ 或 m≥ ; 2 2 解 2m+1>m +m-1,得-1<m<2. 综上所述,m 的取值范围是 (2)已知函数 f(x)=x 析式. 解 由 f(3)<f(5),得 3 3 -m+3 3 0 所以( ) <1=( ) . 5 5 3 x 因为 y=( ) 是减函数, 5 所以-m+3>0.解得 m<3. 又因为 m∈N ,所以 m=1 或 2; 当 m=2 时,f(x)=x 所以 m=2 舍去. 当 m=1 时,f(x)=x
-m+3 -m+3 * -m+3 -m+3 2

5-1 ≤m<2. 2
*

(m∈N )是偶函数,且 f(3)<f(5),求 m 的值,并确定 f(x)的函数解

<5

-m+3



=x 为奇函数,

=x 为偶函数,
2

2

所以 m=1,此时 f(x)=x . 思维升华 (1)幂函数的形式是 y=x (α ∈R),其中只有一个参数 α ,因此只需一个条件即 可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”),在区 间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离 x 轴.
α

8

(2016·盐城模拟)幂函数的图象经过点(4,2),若 0<a<b<1,则下列各式正确的 是________. 1 1 ①f(a)<f(b)<f( )<f( )

a

b

1 1 ②f( )<f( )<f(b)<f(a)

a

b

1 1 ③f(a)<f(b)<f( )<f( )

b b

a

1 1 ④f( )<f(a)<f( )<f(b)

a

答案 ③ 1 α 解析 设幂函数为 f(x)=x ,将(4,2)代入得 α = , 2 所以 f(x)= x ,该函数在(0,+∞)上为增函数, 1 1 又 0<a<b<1,所以 > >1,
1 2

a b

1 1 即 a<b< < ,

b a

1 1 所以 f(a)<f(b)<f( )<f( ).

b

a

3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用

典例 (14 分)已知函数 f(x)=ax +2ax+1 在区间[-1,2]上有最大值 4,求实数 a 的值. 思想方法指导 已知函数 f(x)的最值,而 f(x)图象的对称轴确定,要讨论 a 的符号. 规范解答 解 f(x)=a(x+1) +1-a. 分] (1)当 a=0 时,函数 f(x)在区间[-1,2]上的值为常数 1,不符合题意,舍去; 分] 3 (2)当 a>0 时,函数 f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为 f(2)=8a+1=4,解得 a= ; 8 [9 分] (3)当 a<0 时,函数 f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为 f(-1)=1-a=4,解得 a= -3.
9
2

2

[2

[4

[12 分] 3 综上可知,a 的值为 或-3. 8 [14 分]

1.( 教材改编 ) 幂函数 f(x) = x 的图象过点 (2 , 4) ,那么函数 f(x) 的单调递增区间是 __________. 答案 [0,+∞) 解析 把点(2,4)代入函数解析式得 4=2 ,所以 α =2,故 f(x)=x ,所以函数的单调递 增区间为[0,+∞). 2.(教材改编)如果函数 f(x)=x +bx+c 对任意的实数 x, 都有 f(1+x)=f(-x), 那么 f(- 2),f(0),f(2)大小关系为____________. 答案 f(0)<f(2)<f(-2) 解析 函数 f(x)=x +bx+c 对任意的实数 x 都有 f(1+x)=f(-x).可知函数 f(x)图象的对 1 称轴为 x= ,又函数图象开口向上,自变量离对称轴越远函数值越大. 2 3.已知二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x),且 f(x)在[0,2]上是增函数,若 f(a)≥f(0), 则实数 a 的取值范围是____________. 答案 [0,4]
2 2 α 2

α

解析 由题意可知函数 f(x)的图象开口向下,对称轴为 x=2(如图), 若 f(a)≥f(0),从图象观察可知 0≤a≤4. 4. 若函数 y = x - 3x - 4 的定义域为 [0 , m] ,值域为 [ - ____________. 3 答案 [ ,3] 2 3 解析 二次函数图象的对称轴为 x= 2 3 25 且 f( )=- ,f(3)=f(0)=-4, 2 4
2

25 ,- 4] ,则 m 的取值范围是 4

10

3 由图得 m∈[ ,3]. 2 1 a a a 5.若 a<0,( ) 、(0.2) 、2 大小关系为__________. 2 1 a a a 答案 (0.2) >( ) >2 2 1 1 a a a a 解析 若 a<0, 则幂函数 y=x 在(0, +∞)上是单调减函数, 又∵0.2< <2, ∴(0.2) >( ) >2 . 2 2 6.已知函数 y= x -2x+a的定义域为 R, 值域为[0, +∞), 则实数 a 的取值集合为________. 答案 {1} 解析 由定义域为 R,则 x -2x+a≥0 恒成立.又值域为[0,+∞),则函数 y=x -2x+a 的 图象只能与 x 轴有 1 个交点,所以 Δ =4-4a=0,则 a=1,所以实数 a 的取值集合为{1}. 7.(2016·连云港模拟)已知幂函数 f(x)= x ________. 答案 (3,5) 解析 ∵幂函数 f(x)= x 定义域为(0,+∞),
? 1 2 ? 1 2
2 2 2

,若 f(a+1)<f(10-2a),则 a 的取值范围为

单调递减,

a+1>0, ? ? ∴由 f(a+1)<f(10-2a),得?10-2a>0, ? ?a+1>10-2a,
解得 3<a<5. 8.(2016·无锡模拟)已知函数 y=x -2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围为________________. 答案 [1,2] 解析 作出已知函数的图象如图所示,
2

当 x=1 时,y 最小,最小值为 2; 当 x=2 时,y=3;当 x=0 时,y=3. 由图象知 m 的取值范围是[1,2]. *9.若函数 f(x)=x -a|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是________. 答案 [0,2]
11
2

解析

?x -ax+a,x∈[1,+∞?, ? f(x)=? 2 ?x +ax-a,x∈?-∞,1?, ?
2

2

x∈[1,+∞)时,f(x)=x -ax+a=(x- ) +a- ,
2 2 4 4

a

2

a2

a a2 x∈(-∞,1)时,f(x)=x2+ax-a=(x+ )2-a- .
①当 >1,即 a>2 时,f(x)在[1, )上单调递减, 2 2 在( ,+∞)上单调递增,不合题意; 2 ②当 0≤ ≤1,即 0≤a≤2 时,符合题意; 2 ③当 <0,即 a<0 时,不符合题意. 2 综上,a 的取值范围是[0,2]. 1 2 10.若函数 f(x)= x -x+a 的定义域和值域均为[1,b] (b>1),则 a+b=________. 2 答案 9 2

a

a

a

a

a

1 1 2 解析 ∵f(x)= (x-1) +a- , 2 2 ∴其对称轴为 x=1,即函数 f(x)在[1,b]上单调递增. 1 ∴f(x)min=f(1)=a- =1, 2 ① ②

f(x)max=f(b)= b2-b+a=b,
3 ? ?a= , 又 b>1,由①②解得? 2 ? ?b=3, 3 ∴a,b 的值分别为 ,3. 2 9 ∴a+b= . 2

1 2

11.(2016·江苏赣榆高级中学质检)设函数 f(x)=x -3x+a.若函数 f(x)在区间(1,3)内有 零点,则实数 a 的取值范围为________. 9 答案 (0, ] 4 解析 方法一 由 f(x)=0,
12

2

3 2 9 2 得 a=-x +3x=-(x- ) + . 2 4 3 2 9 9 因为 x∈(1,3),所以-(x- ) + ∈(0, ], 2 4 4 9 所以 a∈(0, ]. 4 3 2 9 2 方法二 因为 f(x)=x -3x+a=(x- ) - +a, 2 4 3 9 所以要使函数 f(x)在区间(1,3)内有零点,则需 f( )≤0 且 f(3)>0,解得 0<a≤ . 2 4 12.(2016·江苏淮阴中学期中)已知关于 x 的一元二次方程 x -2ax+a+2=0 的两个实数根 是 α ,β ,且有 1<α <2<β <3,则实数 a 的取值范围是__________. 11 答案 (2, ) 5 解析 设 f(x)=x -2ax+a+2,结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得
2 2

f?1?>0, ? ? ?f?2?<0, ? ?f?3?>0,
11 解得 2<a< , 5

1-2a+a+2>0, ? ? 即?4-4a+a+2<0, ? ?9-6a+a+2>0,

11 所以实数 a 的取值范围为(2, ). 5 13.(2016·江苏泰州中学质检)已知 a, t 为正实数, 函数 f(x)=x -2x+a, 且对任意的 x∈[0,
2

t],都有 f(x)∈[-a,a].若对每一个正实数 a,记 t 的最大值为 g(a),则函数 g(a)的值域
为__________. 答案 (0,1)∪{2} 解析 因为 f(x)=(x-1) +a-1,且 f(0)=f(2)=a, 1 当 a-1≥-a,即 a≥ 时,此时恒有[a-1,a]? [-a,a],故 t∈(0,2],从而它的最大值 2 为 2; 1 1 2 当 a-1<-a, 即 0<a< , 此时 t∈(0, 1)且 t -2t+a≥-a 在 0<a< 上恒成立, 即 t≥1+ 1-2a 2 2 1 (不成立,舍去)或 t≤1- 1-2a,由于 0<a< ,故 t∈(0,1). 2 综上,g(a)的值域为(0,1)∪{2}. 14.已知幂函数 f(x)= xm (1)求函数 f(x);
13
2

2

?2 m?3

(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调减函数.

(2)讨论 F(x)=a f?x?-

b
2

xf?x?

的奇偶性.

解 (1)∵f(x)是偶函数,∴m -2m-3 应为偶数. 又∵f(x)在(0,+∞)上是单调减函数, ∴m -2m-3<0,-1<m<3. 又 m∈Z,∴m=0,1,2. 当 m=0 或 2 时,m -2m-3=-3 不是偶数,舍去; 当 m=1 时,m -2m-3=-4,∴m=1, 即 f(x)=x . (2)F(x)= 2-bx ,∴F(-x)= 2+bx . ①当 a≠0 且 b≠0 时,函数 F(x)为非奇非偶函数; ②当 a≠0 且 b=0 时,函数 F(x)为偶函数; ③当 a=0 且 b≠0 时,函数 F(x)为奇函数; ④当 a=0 且 b=0 时,函数 F(x)既是奇函数,又是偶函数.
-4 2 2 2

a x

3

a x

3

14


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