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1.1.1集合的含义与表示


第一章





1.1.1 集合的含义与表示
一、选择题 1.下列各组对象 ①接近于 0 的数的全体; ②比较小的正整数全体; ③平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体;④正三角形的全体; ⑤ 2 的近似值的全体. 其中能构成集合的组数有( ) A.2 组 B .3 组 C.4 组 D.5 组 2.设集合 M={大于 0 小于 1 的有理数}, N={小于 1050 的正整数}, P={定圆 C 的内接三角形}, Q={所有能被 7 整除的数}, 其中无限集是( ) A.M、N、P B.M、P、Q C.N、P、Q D.M、N、Q 3.下列命题中正确的是( ) 2 A.{x|x +2=0}在实数范围内无意义 B.{(1,2)}与{(2,1)}表示同一个集合 C.{4,5}与{5,4}表示相同的集合 D.{4,5}与{5,4}表示不同的集合 4.直角坐标平面内,集合 M={(x,y)|xy≥0,x∈R,y∈R}的元素所对应的点是( ) A.第一象限内的点 B.第三象限内的点 C.第一或第三象限内的点 D.非第二、第四象限内的点 5.已知 M={m|m=2k,k∈Z},X={x|x=2k+1,k∈Z},Y={y|y=4k+1,k∈Z},则( A.x+y∈M B.x+y∈X C.x+y∈Y D.x+y ? M 6.下列各选项中的 M 与 P 表示同一个集合的是( ) 2 2 A.M={x∈R|x +0.01=0},P={x|x =0} B.M={(x,y)|y=x2+1,x∈R},P={(x,y)|x=y2+1,x∈R} C.M={y|y=t2+1,t∈R},P={t|t=(y-1)2+1,y∈R} D.M={x|x=2k,k∈Z},P={x|x=4k+2,k∈Z} 二、填空题 7.由实数 x,-x,|x|所组成的集合,其元素最多有______个. 8.集合{3,x,x2-2x}中,x 应满足的条件是______. 9.对于集合 A={2,4,6},若 a∈A,则 6-a∈A,那么 a 的值是______. 10.用符号∈或 ? 填空: ①1______N,0______N.-3______Q,0.5______Z, 2 ______R. ②

)

1 ______R, 5 ______Q,|-3|______N+,|- 3 |______Z. 2

11.若方程 x2+mx+n=0(m,n∈R)的解集为{-2,-1},则 m=______,n=______. 12.若集合 A={x|x2+(a-1)x+b=0}中,仅有一个元素 a,则 a=______,b=______.

?x ? y ? 1 ? 13.方程组 ? y ? z ? 2 的解集为______. ?z ? x ? 3 ?
14. 已知集合 P={0, 1, 2, 3, 4}, Q={x|x=ab, a, b∈P, a≠b}, 用列举法表示集合 Q=______. 15.用描述法表示下列各集合: ①{2,4,6,8,10,12}________________________________________________. ②{2,3,4}___________________________________________________________. ③ { , , , , } ______________________________________________________. 16.已知集合 A={-2,-1,0,1},集合 B={x|x=|y|,y∈A},则 B=______. 三、解答题 17. 集合 A={有长度为 1 的边及 40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素?试画出这些元素来. 18.设 A 表示集合{2,3,a2+2a-3},B 表示集合{a+3,2},若已知 5∈A,且 5 ? B,求实数 a 的值. 19.实数集 A 满足条件:1 ? A,若 a∈A,则

1 2 3 4 5 3 4 5 6 7

1 ? A. 1? a

(1)若 2∈A,求 A; (2)集合 A 能否为单元素集?若能,求出 A;若不能,说明理由; (3)求证: 1 ?

1 ? A. a 9 ? N}; 9? x

20.用列举法把下列集合表示出来: ①A= {x ? N | ②B= {

9 ? N | x ? N}; 9? x

③C={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N}; ④D={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}; ⑤E= {x |

p ? x, p ? q ? 5, p ? N, q ? N*}? q

21.已知集合 A={p|x2+2(p-1)x+1=0,x∈R},求集合 B={y|y=2x-1,x∈A}.

1.A 2.B 3.C 4.D 5.A 6.C 解析:在选项 A 中,M= ? ,P={0},是不同的集合; 在选项 B 中,有 M={(x,y)|y=x2+1≥1,x∈R},P={(x,y)|x=y2+1≥1,y∈R},是不同的 集合,在选项 C 中,y=t2+1≥1,t=(y-1)2+1≥1,则 M={y|y≥1},P={t|t≥1},它们都是由不 小于 1 的全体实数组成的数集,只是用不同的字母代表元素,因此,M 和 P 是同一个集合,在选项 D 中,M 是由…,0,2,4,6,8,10,…组成的集合,P 是由…,2,6,10,14,…组成的集合,因此, M 和 P 是两个不同的集合.答案:C. 7.2 8.x≠3 且 x≠0 且 x≠-1

?x ? ? 3, ? 2 根据构成集合的元素的互异性,x 满足 ? x ? 2 x ? ? 3, ? x 2 ? 2 x ? x. ? ?
解之得 x≠3 且 x≠0 且 x≠-1. 9.2 或 4 10.①∈,∈,∈, ? ,∈.②∈, ? ,∈, ? . 11.m=3,n=2.

1 1 12. a ? , b ? .解析:由题意知,方程 x2+(a-1)x+b=0 只有等根 x=a,则 ? =(a-1)2- 3 9 1 1 4b=0①,将 x=a 代入原方程得 a2+(a-1)a+b=0②,由①、②解得 a ? , b ? . 3 9
13.{(1,0,2)} 14.Q={0,2,3,4,6,8,12} * 15.①{x|x=2n,n∈N 且 n≤6}, ②{x|2≤x≤4,x∈N},或{x|(x-2)(x-3)(x-4)=0} ③ {x | x ?

n , n ? N *且n ? 6} n?2

16.B={0,1,2}解析:∵y∈A,∴y=-2,-1,0,1,∵x=|y|,∴x=2,1,0,∴B={0, 1,2} 三、解答题 17.解:有 4 个元素,它们分别是: (1)底边为 1,顶角为 40°的等腰三角形;(2)底边为 1,底角为 40°的等腰三角形; (3)腰长为 1,顶角为 40°的等腰三角形;(4)腰长为 1,底角为 40°的等腰三角形.

18.解:∵5 ∈A,且 5 ? B. ∴?

?a 2 ? 2a ? 3 ? 5, ?a ? ?4或a ? 2, 即? ? 2. ? 5, ?a ? ?a ? 3 ?

∴a=-4

1 ? A ,即-1∈A. 1? 2 1 1 ∵-1∈A,-1≠1∴ ? A ,即 ? A . 2 1 ? (?1) 1 1 1 ∵ ? A, ? ? A ,即 2∈A. ? 1, ∴ 1 2 2 1? 2
19.证明:(1)若 2∈A,由于 2≠1,则

由以上可知,若 2∈A,则 A 中还有另外两个数-1 和 (2)不妨设 A 是单元素的实数集.则有 a ? ∵?=(-1)2-4×1×1=-3<0, ∴方程 a2-a+1=0 没有实数根. ∴A 不是单元素的实数集.

1 1 ∴ A ? {?1, ,2} . 2 2

1 , 即 a2-a+1=0. 1? a

1 ?A 1? a 1 1 ?A. ∴ ? A ,即 1 1? a 1? 1? a
(3)∵若 a∈A,则 20.解:①由 9-x>0 可知,取 x=0,1,2,3,4,5,6,7,8 验证,则 x=0,6,8 时 3,9 也是自然数,∴A={0,6,8} ②由①知,B={1,3,9}. ③∵y=-x2+6≤6,而 x∈N,y∈N, ∴x=0,1,2 时,y=6,5,2 符合题意. ∴C={2,5,6}. ④点(x,y)满足条件 y=-x2+6,x∈N,y∈N,则有

9 ? 1, 9? x

? x ? 0, ? ? y ? 6,

? x ? 1, ? ? y ? 5,

? x ? 2, ? ? y ? 2.
*

∴D={(0,6),(1,5),(2,2)}.

? p ? 0, ? p ? 1, ? p ? 2, ? p ? 3, ? p ? 4, ? ? ? ? ?q ? 5, ?q ? 4, ?q ? 3, ?q ? 2, ?q ? 1. 1 2 3 p 又∵ x ? ,∴ E ? {0, , , ,4} 4 3 2 q 21.解:由已知, ? =4(p-1)2-4≥0,得 P≥2,或 P≤0,
⑤由 p+q=5,p∈N,q∈N 得 ? ∴A={p|p≥2,或 p≤0},∵x∈A,∴x≥2,或 x≤0. ∴2x-1≥3,或 2x-1 ≤-1,∴B={y|y≤-1,或 y≥3}.

1.1.2 集合间的基本关系 课后练习题
参考答案: 一、 1.A 2. B 二、
? ?

3. D

1. M ? Q ? N ? P
?

2.-1≤k≤ 三、

1 2 1 1 ,? } 3 2

1. M={0, ?


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