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内蒙古包头一中2011年高考第一次模拟考试(数学理)

年高考第一次模拟考试 包头一中 2011 年高考第一次模拟考试 理科数学试题
小题, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 选择题:
? 2x + 1 ? 1.若集合 A = { x x 2 ? x ? 2 < 0} , B = ? x < 0 ? ,则 A I B 是 ? 3? x ?
A. ? x ? 1 < x < ? 或2 < x < 3?





? ? ? ?

1 2

? ?

B.

{ x 2 < x < 3}
? ? 1? 2? ( )

C. ? x ?

1 ? < x < 2? 2 ?

D. ? x ? 1 < x < ? ?

2.函数 f ( x) = x | x | +2 x ( x < 0) 的反函数为
A. 1 ? 1 ? x ( x < 0) C. 1 + 1 + x ( x < 0) 3.已知 0 < a < 1 , x = log a 已知 则 A. x > y > z . B.1 + 1 ? x ( x ≥ 0) . D.1 ? 1 + x ( x ≥ 0) .

2 + log a 3 , y =

B. z > y > x .

1 log a 5 , z = log a 21 ? log a 3 , 2 ( ) C. y > x > z D. z > x > y . .


? y + x ? 1 ≤ 0, ? 4.已知变量 x,y 满足约束条件 ? y ? 3 x ? 1 ≤ 0, z = 2 x + y 的最大值为 ( 已知变量 则 ? y ? x + 1≥ 0, ?
A. 4 . B. 2 . C.1 . D. ?4 .

5.设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 9 = 81 ,则 a 2 + a 5 + a8 = ( A.26
B.27 . C.28 . D.29 .



6.已知 a, b 是非零向量且满足 (3a ? b) ⊥ a, (4a ? b) ⊥ b ,则 a与b 的
夹角是 ( )

A.

π
6

B.

π
3

C.

2π 3
0

D.

5π 6

7.如图, A1 B1C1 ? ABC 是直三棱柱,∠ 如图, 是直三棱柱, BCA=90 ,点 D1 、F1 分别是 A1 B1 、 A1C1 的
中点, 中点,若 BC = CA = CC1 ,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是 ( )

A.

30 10

B.

1 2

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C.

3 2

D.

15 10

8.为得到函数 y = cos(2 x + 为得到函数 A. 向右平移

π
3

) 的图像, 的图像, 只需将函数 y = sin 2 x 的图像 w_ (



5π 个长度单位 6 5π C. 向右平移 个长度单位 12

B. 向左平移

5π 个长度单位 6 5π D. 向左平移 个长度单位 12

9.设地球是半径为 的球, 45°的纬线上, 9.设地球是半径为 R 的球,地球上 A、B 两地都在北纬 45°的纬线上,A 在 20° 110°的经线上, 东经 20°、B 在东经 110°的经线上,则 A、B 两地的球面距离是 ( ) A.
4 πR 3

B.

2 πR 3
π
3

1 C. π R 3

D.

5 πR 3

10 . y =

2 ? cos x 在点 ( sin x

, 3) 处的切线与直线

x + ay + 1 = 0 垂直 ,

则a为
A. 0 B.
?





3 3 8 C. D. ? 8 8 3 11.若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为 若三棱柱的一个侧面是边长为 的正方形,
600 的菱形,则该棱柱的体积等于 的菱形,





A.

2

B. 2 2

C.

3 2

D. 4 2

12.已知双曲线 已知双曲线

x2 y2 π ? 2 = 1 ( < θ < π ) 的右焦点为 F, 是右支上任意一点, P , 是右支上任意一点, 2 cos θ sin θ 2 为圆心, 以 P 为圆心,PF 长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于 PF ,则 θ 的值 ( ) A.



π
6

B.

3π 4

C.

5π 6

D.

2π 3

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 填空题:
13.设直线 a x-y+3=0 与圆 ( x ? 1 )2 + ( y ? 2 )2 = 4 相交于 A,B 两点,且弦 AB 的 设直线 两点, 长为 2 3 ,则 a = 14. 若x < 3,则 f ( x) = .

4 + x 的最大值是 x ?3
第2页

.
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15.设等比数列 {a n } 的前 n 项和是 S n ,若 设等比数列

S6 S = 3, 则 9 = S3 S6

.

16.过抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的焦点 F 作倾斜角为 30o 的直线,与抛物线分别交于 过抛物线 作倾斜 的直线,
A 、 B 两点( A 在 y 轴左侧) 则 两点( 轴左侧) ,则 ,
☆ ☆ ☆ ☆

AF FB

=



小题, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答题:
17.(本小题满分 10 分) 17.
4 4 的最小正周期和最小值; 求函数 y = sin x + 2 3 sin x cos x ? cos x 的最小正周期和最小值;并写出

该函数在 [0, π ] 上的单调递增区间

18.(本小题满分 12 分) 8.(
2 2 2 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , a + c ? b =

1 ac . 2

(1)求 sin 2
u. c.#o@ m u. c.#o@ m u. c.#o@ m u. c.#o@ m

A+C + cos 2 B 的值; 2)若 b = 2 ,求 ?ABC 面积的最大值 的值; (2 面积的最大值. ( 2

19. (本小题满分 12 分) 本小题满分 如图, 为矩形, 如图 , 在 四棱锥 A ? BCDE 中 , 底面 BCDE 为矩形 , 侧面 ABC ⊥ 底面 BCDE ,
BC = 2 , CD = 2 , AB = AC .

(1)证明: AD ⊥ CE ; 证明: 的大小. (2)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45o ,求二面角 C ? AD ? E 的大小.

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A

B

E

C

D

w_w w. k#s5_ u.c o* m

. w.^w.k.s.5*u.c 20. (本小题满分 12 分) 本小题满分 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n +1 = 4an + 2(n = 1, 2, 3,LL), a1 = 1. 求证: 是等比数列; (1)设 bn = an +1 ? 2an (n = 1, 2,LL), 求证:数列 {bn } 是等比数列; ) (2)设 cn = )
an (n = 1, 2,LL), 求证:数列 {cn } 是等差数列; 求证: 是等差数列; 2n

的通项公式及其 项和. (3)求数列 {an } 的通项公式及其前 n 项和 ) 21.( 21.(本小题满分 12 分) 已知方向向量为 v = 1, 3 的直线l过点 0,?2 3 和椭圆C :

(

)

(

)

x2 y2 + =1 a2 b2

(a > b > 0) 的右焦点,且椭圆的离心率为 的右焦点,
的方程; (1) 求椭圆 C 的方程;

6 . 3

,点 上不重合的两点, (2) 若已知点 D(3,0) 点 M,N 是椭圆 C 上不重合的两点,且 DM = λ DN , ( , ) , 的取值范围. 求实数 λ 的取值范围

22( 22(本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) =

1 + ln x x

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上存在极值, 的取值范围; (1) 若函数在区间 (a, a + ) 上存在极值,求正实数 a 的取值范围; (2) 当 x ≥ 1时,有不等式 f ( x) ≥ 求证: (3) 求证: (n + 1)! > (n + 1)e

1 2

k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x +1
*

[

]2

n?2

(n ∈ N )

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小题, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 选择题:
题 号 答 案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 填空题:

13

.

14

.

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15

.

16

_

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 解答题: 小题,
17. 17.(本小题满分 10 分)

18.(本小题满分 12 分) 8.(

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19、(本小题满分 12 分) 、 本小题满分
A

B

E

C

D

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20. (本小题满分 12 分) 本小题满分

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21.( 21.(本小题满分 12 分)

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22( 22(本小题满分 12 分)

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包头一中 2011 年高考第一次模拟考试 年高考第一次模拟考试 理科数学试题答题纸 理科数学试题答题纸
小题, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 选择题:
题 号 答 案

1
D

2
A

3
C

4
B

5
B

6
A

7
A

8
D

9
C

10 11 12
A B C

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 填空题: 13 15 0 7/3 . . 14 16 -1 1/3 . .

小题, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 解答题:
17. 本小题 10 分) . (本小题 (

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解 : y = sin 4 x + 2 3 sin x cos x ? cos 4 x = (sin 2 x + cos 2 x)(sin 2 x ? cos 2 x) + 3 sin 2 x = 3 sin 2 x ? cos 2 x = 2 sin(2 x ? ). 6
1 3

π

故该函数的最小正周期是 π ;最小值是-2; 最小值是- ; 单增区间是 [0, π ], [ π , π ] 18. 本小题 12 分)解: Ⅰ)由余弦定理: cos B = . (本小题 ( (Ⅰ 由余弦定理: (

5 6

1 4

sin 2

A+C π B + cos 2 B = sin 2 ( ? ) + 2 cos 2 B ? 1 2 2 2 B = cos 2 + 2 cos 2 B ? 1 2 1 + cos B = + 2 cos 2 B ? 1 2 1 =? 4

(Ⅱ)由 cos B =
2 2 ∴a +c =

1 15 , 得 sin B = . 4 4

w .w.^ w.k.s .5*u. c. w .w.^ w.k.s .5*u. c. w .w.^ w.k.s .5*u. c. w .w.^ w.k.s .5*u. c.

2 2 2 ∵b = 2, a + c ? b =

1 ac 2

8 1 1 ac + b 2 = ac + 4 ≥ 2ac ,从而 ac ≤ 2 2 3
w.w.^ w.k.s .5* w.w.^ w.k.s .5* w.w.^ w.k.s .5* w.w.^ w.k.s .5*

故 S ?ABC =

1 15 ac sin B ≤ 时取等号) (当且仅当 a = c 时取等号) 2 3

19. 本小题 12 分)解: )取 BC 中点 F ,连接 DF 交 CE 于点 O , . ( (1) ( Q AB = AC ,∴ AF ⊥ BC , 又面 ABC ⊥ 面 BCDE ,∴ AF ⊥ 面 BCDE , ∴ AF ⊥ CE .

tan ∠CED = tan ∠FDC =

2 , 2

∴ ∠OED + ∠ODE = 90o ,∴∠DOE = 90o ,即 CE ⊥ DF ,

∴ CE ⊥ 面 ADF ,∴ CE ⊥ AD . 垂线, (2)在面 ACD 内过 C 点作 AD 的垂线,垂足为 G . ) Q CG ⊥ AD , CE ⊥ AD ,∴ AD ⊥ 面 CEG ,∴ EG ⊥ AD , 即为所求二面角的平面角. 则 ∠CGE 即为所求二面角的平面角. CG = AC CD 2 3 6 30 2 2 = , DG = , EG = DE ? DG = , AD 3 3 3

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CG 2 + GE 2 ? CE 2 10 =? CE = 6 ,则 cos ∠CGE = , 2CG GE 10

? 10 ? ? 10 ? ∴∠CGE = π ? arccos ? ? 10 ? ,即二面角 C ? AD ? E 的大小 π ? arccos ? 10 ? ? ? ? ? ? ? ?
法二:向量法

A

B F C
20. 本小题 12 分) . (

G O

E D

19 题图

an = (3n ?1) ? 2n?2
21. 本小题 12 分) . (

sn = (3n ? 4) ? 2n?1 + 2

x2 y2 + =1 6 2

λ ∈ 5 ? 2 6,1 U 1,5 + 2 6

(

) (

)

22. 本小题 12 分) . (

?1 ? a ∈ ? ,1? ?2 ?

k≤2

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