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内蒙古包头一中2011届高三第四次模拟考试(数学理)

包头一中2011年第四次高考模拟考试(理科数学)
一、选择题(每题5分,共60分)

1.设 p, q 是简单命题,则 p 且 q 为真是 p 或 q 为真的(



(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2.函数 f ( x) = 2
?x

( x > 0) 的反函数 f

?1

( x) = (



(A) ? log 2 x( x > 0) (C) ? log 2 x

(B) log 2 ( ? x)

( x < 0)

(0 < x < 1)

(D) log 2 ( ? x)( ?1 < x < 0)

2 + bi 3.若复数 1 + 2i 为实数,则实数 b = (
(A) ? 2 (B) ? 4

) (C)2 (D)4

f ( x ) ? f (? x ) <0 x 4.设奇函数 f (x ) 在 (0,+∞) 上是增函数且 f (1) = 0 , 则不等式 的解集为
( ) (B) ( ?∞,?1) U (0,1) (C) ( ?∞,?1) U (1. + ∞) (D) ( ?1,0) U (0,1) (A) ( ?1,0) U (1,+∞)

?y ≥ 2 x ?1 , ? y ≤ x +1 5.若 ? 则 z = 2 y ? 3 x 的最大值为(
(A) ? 2 (B) ? 1



(C)0

8 (D) 3

2 2 6.已知圆的方程为 x + y ? 6 x ? 8 y = 0 ,设该圆过点 (3,5) 的最长弦和最短弦分别为

AC, BD ,则四边形 ABCD 的面积为(
(A) 10 6 (B) 20 6

) (C) 30 6 (D) 40 6

7.设函数

f ( x ) = sin(ω x +

π
6

) ? 1(ω > 0)

的导函数的最大值是3,则函数 f ( x ) 的图象的对 ( )

称轴方程为

A.

x = kπ +

π
3

(k ∈ Z )

B.

x = kπ ?

π
3

(k ∈ Z )

C.

x=

kπ π + (k ∈ Z ) 3 9

D.

x=

kπ π ? (k ∈ Z ) 3 9

8.已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直,长度分别为3cm,2cm和 3 cm,则此球的体 积为
12 3 πcm 3 (A) 3 16 3 πcm3 (B) 3

16 πcm3 (C) 3

32 πcm3 (D) 3

9、登山运动员共10人,要平均分为两组,其中熟悉道路的4人,每组都需要分配2人,那么 不同的分组方法种数为 (A)240 30 10、在等比数列{an}中,若a1+a2+a3+a4=,a2a3=-,则+++= ( ) A. B. C.- D.- (B)120 (C)60 (D)

x2 y2 ? 2 =1 2 PF ⊥ F1 F2 b 11.已知双曲线 a 的左、右焦点分别为F1、F2,P是双曲线上的一点, 2
1 | OF1 | 原点到直线PF1的距离为 3 ,则双曲线的离心率为
A.3 B. 3 C.2





D. 2

12、函数

f ( x) = cos 2 x ? cos 2
?π π ? ? , ? B、 ? 6 2 ?

x 2 的一个单调增区间是( )
? π? ? 0, ? C、 ? 3 ? ? π π? ?? , ? D、 ? 6 6 ?

? π 2π ? ? , ? A、 ? 3 3 ?

二、填空题(每题5分,共20分)

a 9 ( ? x )2 3 13、已知 x 的展开式中 x 的系数为 4 ,则常数a的值为

.

x2 y 2 + =1 F ,F2 F 14、 已知 1 为椭圆 25 9 的两个焦点,过 1 的直线交椭圆于 A,B 两点,若

F2 A + F2 B = 12

,则

AB =



x > 0,
15、若对任意

x ≤a x + 3x + 1 恒成立,则 a 的取值范围是
2



.16、下列四个正方体图形中, A、B 为正方体的两个顶点, M 、N、P 分别为其所在棱的 中点,能得出 AB // 平面 MNP 的图形的序号是____________(填出所有正确序号)

三、解答题(17题10分,18-22各12分,共70分) 17、已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,其中 c = 2 ,又向量m = ( 1 , cos C ) , n = ( cos C , 1 ) ,m·n=1. (1)若 A = 45° ,求 a 的值; (2)若 a + b = 4 ,求△ ABC 的面积.

18、如图,正三棱柱

ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为2,D为 CC1 中点。

(Ⅰ)求证:AB1⊥面A1BD; (Ⅱ)求二面角

A ? A1 D ? B 的大小;

19、等差数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列,S5=a5 ; (1)求数列{an}的通项公式;

2

n2 + n +1 a ? a n +1 ,求数列{b }的前99项的和. (2)若数列{b }满足b = n
n n n

20、 某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课,每个学生必须选修,有只能从中选 一门。该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同。 (Ⅰ)求3个学生选择了3门不同的选修课的概率; (Ⅱ)求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率;

(Ⅲ)设随机变量为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数,求的分布列与数 学期望。 21、已知椭圆+=1(a>)的离心率为,双曲线C与该椭圆有相同的焦点,其两条渐近线 与以点(0,)为圆心,1为半径的圆相切. (1)求双曲线C的方程; (2)设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点,另一直线l经过点M(-2,0)及AB的 中点,求直线l在y轴上的截距b的取值范围.

f ( x) =
22、已知函数

1 2 x + (a ? 3) x + ln x. 2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数,求实数 a 的最小值;

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,线段 AB 的中点的 (Ⅱ)在函数 f ( x ) 的图象上是否存在不同两点
横坐标为

x0

,直线 AB 的斜率为 k ,有

k = f / ( x0 )

成立?若存在,请求出

x0

的值;若不

存在,请说明理由.


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