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2013高考数学函数奇偶性经典练习题(含答案)


函 数 奇 偶 性 专 练

一、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|;
1? x2 ; | x ? 2 | ?2

(2)f(x)=(x-1) ·
( x ? 0), ( x ? 0).

1? x ; 1? x

(3)f(x)

=

(4)f(x)= ?

? x(1 ? x) ? x(1 ? x)

( 5 ) f ( x) ? x 2 ? 1 1 ? x 2 ( 6 )

f ( x) ? x ? 1 ? 1 ? x

(8) f ( x) ?

1 ? x2 ? x ? 1 1? x ? x ?1
2

(9) y ? log a ( x 2 ? 1 ? x)

(10) y ? a x ? a ? x

(11) y ? a x ? a ? x (12) y ?

a x ? a? x a x ?1 1 1 (13) y ? x (17)f(x)=x( x + ) x ?x 2 a ?a a ?1 2 ?1

(14) y ? log a 二、选择题

x?2 ?2 1? x (15) y ? log a ( x 2 ? 1 ? x) (16) f ( x) ? 1? x 1? x2

(1) .已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax3+bx2+cx ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 )

(2) 已知函数 f x) ax2+bx+3a+b 是偶函数, . ( = 且其定义域为 a-1, a] 则 [ 2 ,( A. a ?
1 ,b=0 3

B.a=-1,b=0

C.a=1,b=0

D.a=3,b=0

(3) .已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则 f(x)在 R 上的表达式是( )

A.y=x(x-2) B.y =x(|x|-1) C.y =|x|(x-2) D.y=x(|x| -2) (4) .已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于( A.-26 B.-18 C.-10 D.10 )

(5) .设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时, f ( x) ? ? x ? x ,则 f (?) ? ( A. ?? D.3 B. ??

?



C.1

( 6 ) 函 数 f (x) 的 定 义 域 为 ?? ?,1? ? ?1,??? , 且 f ( x ? 1) 为 奇 函 数 , 当 x ? 1 时 , .
f ( x) ? 2 x 2 ? 12 x ? 16 ,则直线 y ? 2 与函数 f (x) 图象的所有交点的横坐标之和是



)A.1

B.2

C . 4

D.5 (7).下面四个结论中,正确命题的个数是 ①偶函数的图象一定与 y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图 象关于 y 轴对称 ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R) A.1 B.2 C.3 D.4 (8).若偶函数 f(x)在区间[-1,0]上是减函数,α 、β 是锐角三角形的两个内角, 且α ≠β ,则下列不等式中正确的是 A.f(cosα )>f(cosβ ) B.f(sinα )>f(cosβ ) C.f(sinα )>f(sinβ ) D.f(cosα )>f(sinβ ) (9) 已知函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,则 A.f(0)<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f(0)<f(2) C.f(-1)<f(2)<f(0) D.f(2)<f(-1)<f(0) 2 (10)已知二次函数 f(x)=x -ax+4,若 f(x+1)是偶函数,则实数 a 的值为( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 ( )

a (11)若函数 f(x)=x2+ x(a∈R),则下列结论正确的是

A.?a∈R,f(x) 在(0,+∞)上是增函数 B.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.?a∈R,f(x)是偶函数 D.?a∈R,f(x)是奇函数 (12).已知函数 f (x)= ax4+bcosx-x,且 f (-3)=7,则 f (3)的值为( A.1 B.-7 C.4 D.-10 )

(13).已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)= f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7)=( ) A.-2 B.2 C.-98 D.98 )

1 (14).设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=2,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)= ( A.0 B.1 5 C.2 D.5

(15).若 ? (x) ,g(x)都是奇函数, f ( x) ? a? ? bg( x) ? 2 在(0,+∞)上有最大值

5, 则 f(x)在(-∞,0)上有( A.最小值-5 ) C.最小值-1 D.最大值-3 )

B.最大值-5

(16)定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)·(x+2)=13,f(1)=2,则 f(99)=( f A.13 B.2 C. 13 2 D. 2 13

(17)定义在 R 上的函数 f(x)满足:对于任意 α,β∈R,总有 f(α+β)-[f(α)+f(β)] =2010,则下列说法正确的是( A.f(x)-1 是奇函数 C.f(x)-2010 是奇函数 ) B.f(x)+1 是奇函数 D.f(x)+2010 是奇函数

(18)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x∈(0,1)时,f(x)=log1(1-
2

x),则函数 f(x)在(1,2)上(
A.是增函数,且 f(x)<0 C.是减函数,且 f(x)<0

) B.是增函数,且 f(x)>0 D.是减函数,且 f(x)>0

(19).已知定义域为 R 的函数 y ? f (x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) , 当 x ? 2 时,
f (x) 单调递增,若 x1 ? x2 ? 4 且 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值





A.恒大于 0

B.恒小于 0

C.可能等于 0

D.可正可负

(20)已知函数 y ? f (x) , x ? R ,有下列 4 个命题: ①若 f (1 ? 2 x) ? f (1 ? 2 x) ,则 f (x) 的图象关于直线 x ? 1对称; ② f ( x ? 2) 与 f (2 ? x) 的图象关于直线 x ? 2 对称; ③若 f (x) 为偶函数,且 f (2 ? x) ? ? f ( x) ,则 f (x) 的图象关于直线 x ? 2 对称; ④若 f (x) 为奇函数,且 f ( x) ? f (? x ? 2) ,则 f (x) 的图象关于直线 x ? 1对称. 其中正确命题的个数为 ( A. 1 个 B. 2 个 ). C. 3 个 D. 4 个

(21)设 f (x) 是 (??,??) 上的奇函数, f (2 ? x) ? ? f ( x), 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则

f (7.5) 等于( )

(A)0.5; )

(B)-0.5;

(C)1.5;

(D)-1.5.

2-x (24)函数 y=log2 的图象( 2+x

A.关于原点对称 B.关于直线 y=-x 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 三、填空题 (1).已知 f(x)是奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=lg 时,f(x)的表达式是__________. (3).若 y=(m-1)x2+2mx+3 是偶函数,则 m=_________. (4).已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若 f ( x) ? g ( x) ? 析式为_______. (5)已知函数 f(x)定义域为 R,则下列命题:①y=f(x)为偶函数,则 y=f(x+2)的图像 关于 y 轴对称; ②y=f(x+2)为偶函数, y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称; 则 ③若函数 f(2x+1) 是偶函数,则 f(2x)的图像关于直线 x=1/2 对称;④若 f(x-2)=f(2-x),则 y=f(x)的图像关于 直线 x=2 对称;⑤y=f(x-2)和 y=f(2-x)的图像关于 x=2 对称。其中正确的命题序号为 _______. (6).定义在 ?? ?,??? 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ?x ?1? ? ? f ?x ? ,且在 ?? 1,0? 上是增函数, 下面是关于 f(x)的判断: 1 ① f ? x ? 关于点 P( ,0 )对称 2 ③ f ? x ? 在[0,1]上是增函数; ② f ? x ? 的图像关于直线 x ? 1对称; ④ f ?2? ? f ?0? .
x ?1 1
1 ,那么当 x∈(-1,0) 1? x

,则 f(x)的解

其中正确的判断是_____________________(把你认为正确的判断都填上) (7).已知 f(x+1)是偶函数,则函数 y=f(2x)的图像对称轴是_______. (8)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f(x+3/2)= -f(x),且函数 y=f(x-3/4)为奇函 数,给出以下四个命题: ①函数 f(x)是周期函数;②函数 f(x)的图像关于点(-3/4,0)对称;③函数 f(x)为 R 上的 偶函数;④函数 f(x)为 R 上的单调函数。 其中真命题的序号是_______. (9)关于 y=f(x),给出下列五个命题: ①若 f(-1+x)=f(1+x),则 y=f(x)是周期函数;②若 f(1-x)= -f(1+x),则 y=f(x)为奇函数; ③若函数 y=f(x-1)的图像关于 x=1 对称,则 y=f(x)为偶函数;④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1-x) 的图像关于直线 x=1 对称;⑤若 f(1-x)=f(1+x),则 y=f(x)的图像关于点(1,0)对称; 其中真命题的序号是_______. (10)设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________.

(11). 已知函数 f(x+1)是奇函数, (x-1)是偶函数, f(0)=2, f(4)=________. f 且 则 (13) 设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,它的图象关于直线 x ? 2 对称,已知
x ? [ ? 2 , 2 ] 时,函数 f ( x ) ? ? x 2 ? 1 ,则 x ? [ ? 6 , ? 2 ] 时, f (x) ?

.

?x<0? ?sinπx (15) )已知 f(x)=? ,则 ?f?x-1?-1 ?x>0?

f ( ? 11 ) + f ( 11 ) 的值为________. 6 6

四.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x3+2x2—1,求 f(x)在 R 上 的表达式 五..已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求 a、b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. -2x+b 是奇函数. 2x+1+a

答案 若 f ( x ? a) ? ? f ( x ? b) ,则 f ( x) 具有周期性;若 f (a ? x) ? ? f (b ? x) ,则 f ( x) 具 有对称性: “内同表示周期性,内反表示对称性” 。 1、解: (1)函数的定义域 x∈(-∞,+∞) ,对称于原点. ∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) , ∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数. (2)先确定函数的定义域.由
1? x ≥0,得-1≤x<1,其定义域不对称于原点, 1? x

所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)去掉绝对值符号,根据定义判断. 由?
?1 ? x 2 ? 0, ?| x ? 2 | ?2 ? 0,

得?

?? 1 ? x ? 1, ? x ? 0且x ? ?4.

故 f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1] ,关于原点对称,且有 x+2>0.从而有 f(x) =
1 ? (? x) 2 1? x2 1? x2 1? x2 = ,这时有 f(-x)= =- =-f(x) ,故 f(x)为奇 ?x x x x?2?2

函数. (4)∵函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞) ,并且当 x>0 时,-x<0, ∴f(-x)=(-x) [1-(-x) ]=-x(1+x)=-f(x) (x>0). 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x) (x<0). 故函数 f(x)为奇函数.(5) (6)既奇且偶 (17)偶 评述: (1)分段函数的奇偶性应分段证明. (2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 2、选择题 (1) A(2) . .解析:由 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数,得 b=0. 又定义域为[a-1,2a] ,∴a-1=2a,∴ a ?
1 .故选 A. 3

(3) .解析:由 x≥0 时,f(x)=x2-2x,f(x)为奇函数, ∴当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x=x(-x-2) .
? x( x ? 2) ∴ f ( x) ? ? ? x(? x ? 2) ( x ? 0), ( x ? 0),

即 f(x)=x(|x|-2)答案:D

(4)解析:f(x)+8=x5+ax3+bx 为奇函数, -18,∴f(2)=-26.

f(-2)+8=18,∴f(2)+8=

答案:A(5)A (6)D (7)A (8)B 解析:∵偶函数

f(x)在区间[-1,0]上是减函数,∴f(x)在区间[0,1]上为增函数.由α 、β 是

锐角三角形的两个内角,∴α +β >90°,α >90°-β .1>sinα >cosβ >0.∴f(sin α )>f(cosβ ). (9)剖析:由 f(x-2)在[0,2]上单调递减,∴f(x)在[-2,0]上单调递减. ∵y=f(x)是偶函数,∴f(x)在[0,2]上单调递增.又 f(-1)=f(1) ,故应选 A. (10)D (11)C (12)A 解析:设 g(x)=ax4+bcosx,则 g(x)=g(-x).由 f (-3)=g(- 3)+3, 得 g(-3)=f(-3)-3=4,所以 g(3)=g(-3)=4,所以 f (3)=g(3)-3=4-3= 1. (13)A 解析:由 f(x+4)=f(x),得 f(7)=f(3)=f(-1),又 f(x)为奇函数,∴

f(-1)=-f(1),f(1)=2×12=2,∴f(7)=-2.故选 A. (14) C 解析:由 f(1)= ,
对 f(x+2)=f(x)+f(2),令 x=-1,得 f(1)=f(-1)+f(2).又∵f(x) 为奇函数, 3 ∴f(-1)=-f(1).于是 f(2)=2f(1)=1; x=1, f(3)=f(1)+f(2)= , 令 得 于是 f(5) 2 5 =f(3)+f(2)= . (15) C 6. 解析:? (x) 、g x)为奇函数,∴ f ( x) ? 2 ? a? ( x) ? bg( x) ( 2 为奇函数.又 f(x)在(0,+∞)上有最大值 5, ∴f(x)-2 有最大值 3. ∴f 答

1 2

(x) -2 在 (-∞, 上有最小值-3, ∴f x) (-∞, 上有最小值-1. 0) ( 在 0)

案:C (16)C 解析:由 f(x)·(x+2)=13,知 f(x+2)·(x+4)=13,所以 f(x+4) f f =f(x),即 f(x)是周期函数,周期为 4.所以 f(99)=f(3+4×24)=f(3)= 13 13 = . f(1) 2

(17) D 解析:依题意,取 α=β=0,得 f(0)=-2010;取 α=x,β=-x,得 f(0) -f(x)-f(-x)=2010, (-x)+2010=-[f(x)-f(0)]=-[f(x)+2010], f 因此函数

f(x)+2010 是奇函数,选 D. (18)解析:由题意得当 x∈(1,2)时,0<2-x<1,0<x-
1<1,f(x)=f(-x)=f(2-x)=log1[1-(2-x)]=log1(x-1)>0,则可知当 x∈(1,2)
2 2

时,f(x)是减函数,选 D. (19) B (20)C (21) B(22)C (23) C[解析]

由条件知,f(2)

1 1 =-3,f(3)=-2,f(4)=3,f(5)=f(1)=2,故 f(x+4)=f(x) (x∈N*).∴f(x)的周期为 4, 1 故 f(2011)=f(3)=-2.[点评] 严格推证如下:f(x+2)= 1+f?x+1? 1 =- ,∴f(x+4)= f?x? 1-f?x+1?

f[(x+2)+2]=f(x).即 f(x)周期为 4. (24)A 3、填空题 (1)解析:当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1) ,∴f(x)=-f(-x)=-lg
1 =lg 1? x

(1-x).答案:lg(1-x)(2) 3 (3) 0 解析:因为函数 y=(m-1)x2+2mx+3 为偶 函数, ∴f(-x)=f(x) ,即(m-1) (-x)2+2m(-x)+3=(m—1)x2+2mx+3, 整理, m=0. 得 (4)解析: (x) 由f 是偶函数,(x) g 是奇函数, 可得 f ( x) ? g ( x) ? 联立 f ( x) ? g ( x) ?
x ?1 1
1 , ? x ?1 1 (5) 2 x ?1

, f ( x) ? ∴

1 1 1 1 . 答案:f ( x) ? ( ? )? 2 2 x ?1 ? x ?1 x ?1

②③⑤ (6) (1)(2)(4) (7)x=1/2 (8)①②③ (9)①③ (10) 设 g(x)=x,h(x)=ex+ae-x,因为函数 g(x)=x 是奇函数, 则由题意知, 函数 h(x)=ex+ae-x 为奇函数, 又函数 f(x)的定义域为 R, h(0) ∴ =0,解得 a=-1. (11)-2 [解析] (12) :①③ (13) f ( x ) ? ? ( x ? 4 ) 2 ? 1 (14) ①②④ f?x1?-f?x2? >0, ∴f(x)在[0,3]上递增. ∵f(x+6)=f(x)+f(3), x1-x2

∵x1≠x2 时, 都有

令 x=-3 得 f(3)=f(-3)+f(3),∴f(-3)=0,∵f(x)为偶函数,∴f(3)=0.①对. ∴f(x+6)=f(x).∴f(x)周期为 6,画出示意图如下:

由图象知:②④正确,③不正确,故填①②④. (15)-2 (16) 1.5 [解析] ?f?x+1?+f?x?=3 由条件知, f(-x+1)+f(-x)=3, ∴f(x-1)+f(x)=3, ? ∵ , ?f?x-1?+f?x?=3

∴f(x-1)=f(x+1),即 f(x)=f(x+2),∴函数 f(x)的周期为 2.又∵f(x)是偶函数, ∴f(-2005.5)=f(-2006+0.5)=f(0.5)=2-0.5=1.5. 4、f(x)=x3+2x2-1.因 f(x)为奇函数,∴f(0)=0. 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x3+2x2-1, ∴f(x)=x3-2x2+1.

?x 3 ? 因此, f ( x) ? ?0 ? 3 ?x

? 2x 2 ?1 ? 2x 2 ? 1

( x ? 0), ( x ? 0), ( x ? 0).

点评:本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力. 5 解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0, 即 -1+b -2x+1 =0,解得 b=1,从而有 f(x)= x+1 . 2+a 2 +a

1 -2+1 -2+1 又由 f(1)=-f(-1),知 =- ,解得 a=2. 4+a 1+a 故 a=2,b=1. (2)由(1)知 f(x)= -2x+1 1 1 =-2+ x . x+1 2 +2 2 +1

由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等 价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因 f(x)是减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k, 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0. 1 从而判别式 Δ=4+12k<0,解得 k<-3. 6(1)解:令 x1=x2=1,有 f(1×1)=f(1)+f(1) ,解得 f(1)=0. (2)证明:令 x1=x2=-1,有 f[ (-1)×(-1) ]=f(-1)+f(-1).解得 f(- 1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x) ,∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函 数. (3)解:f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3. ∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3 即 f[ (3x+1) (2x-6) ]≤f(64).(*) ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴(*)等价于不等式组
?(3 x ? 1)(2 x ? 6) ? 0, ? ?(3 x ? 1)(2 x ? 6) ? 64

或?

?(3x ? 1)(2 x ? 6) ? 0, ?? (3x ? 1)(2 x ? 6) ? 64,

1 ? ? x ? 3或x ? ? 3 , ?? 1 ? x ? 3, ? ? 或? 或? 3 ?x ? R . ?? 7 ? x ? 5 ? ? 3 ?

1 3 7 1 1 ∴x 的取值范围为{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}. 3 3 3

∴3<x≤5 或- ≤x<- 或- <x<3.

7 3

1 3

评述:解答本题易出现如下思维障碍: (1)无从下手,不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性. (2)无法得到另一个不等式.解决办法:关于原点对称的两个区间上,奇函数的单 调性相同,偶函数的单调性相反. 7. [解析] (1)当 a=4 时,f(x)=x|x-4|+2x-3. 若 2≤x<4,则 f(x)=-x2+6x-3=-(x-3)2+6, ∴当 x=3 时,f(x)有最大值是 f(3)=6. 若 4≤x≤5,则 f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴当 x=5 时,f(x)有最大值 f(5)=12. 故当 x∈[2,5)时,f(x)的最大值是 12.
2 ?x -?a-2?x-3 (2)由于 f(x)=? 2 ?-x +?a+2?x-3

x≥a x<a

?a-2≤a ? 2 依题意,f(x)是 R 上的增函数?? a+2 ? 2 ≥a ?
-2≤a≤2.

?-2≤a≤2,∴实数 a 的取值范围是


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2013高考数学冲刺“零”失误考点精练精析:函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)1 - 考点 05 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性) 【考点剖析】 二.命题方向 1...

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