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北京交通大学2013-2014学年第二学期《概率论与数理统计》期末考试试卷(A卷)及参考答案详解



一. (本题满分 8 分)

京 交



大 学

2013~2014 学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A 卷)

某中学学生期末考试中数学不及格的为 11 % ,语文不及格的为 7 % ,两门课程都不及格的为 2 % .⑴ 已知一学生数学考试不及格,求他语文考试也不及格的概率(4 分) ;⑵ 已知一学生语文考试不及格,求 他数学考试及格的概率(4 分) . 解:

设 A ? “某学生数学考试不及格” , B ? “某学生语文考试不及格” . 由题设, P? A? ? 0.11, P?B ? ? 0.07 , P? AB? ? 0.02 . ⑴ 所求概率为 P?B A? ?
P? AB? 0.02 2 ? ? . P? A? 0.11 11

⑵ 所求概率为 P A B ?
二. (本题满分 8 分)

P? AB? 0.07 ? 0.02 5 ? ? PP??ABB?? ? P?B?P??B ? ? . ? 0.07 7

两台车床加工同样的零件, 第一台车床加工出现不合格品的概率为 0.03, 第二台车床加工出现不合格 品的概率为 0.05; 把两台车床加工的零件放在一起, 已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零 件多一倍.现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件,发现是不合格品,求这个零件是第二台车床加 工的概率. 解:

设 A ? “任取一个零件是不合格品” , B ? “任取一个零件是第一台车床加工的” . 所求概率为 P?B A? .由 Bayes 公式得

P?B A? ?

P?B ?P?A B ? ? P?B ?P?A B ?

P?B ?P?A B ?

1 ? 0.05 5 3 ? ? . 1 2 ? 0.05 ? ? 0.03 11 3 3
三. (本题满分 8 分)

第 1 页 共 8 页

设随机变量 X 的密度函数为

x ? ?C cos 0? x ?? f ?x ? ? ? . 2 ? 0 其它 ?
⑴ 求常数 C (3 分) ; ⑵ 现对 X 独立重复地观察 4 次, 用 Y 表示观察值大于 解:
??

? 的次数, 求 E?Y 2 ?(5 分) . 3

⑴ 由密度函数的性质,
??

??

? f ?x ?dx ? 1,得
?

x x 1 ? ? f ? x ?dx ? ? C cos dx ? 2C sin ? 2C , 2 20 ?? 0

?

因此, C ?

1 . 2
?

? ? ? ?? 1 x x 1 1 ? ?1? ? . ⑵ 由于 P? X ? ? ? ? f ?x ?dx ? ? cos dx ? sin 3? ? 2 2? 2 2 ? ? 2
3 3 3

所以,随机变量 Y 的分布列为
k ?1? P?Y ? k ? ? C4 ?? ? , ? 2? k

?k ? 0,

1, 2, 3, 4? .

所以

E Y 2 ? ? k 2 ? P?Y ? k ?
k ?0

? ?

4

? 02 ?

1 4 6 4 1 ? 12 ? ? 22 ? ? 32 ? ? 42 ? ? 5 . 16 16 16 16 16

四. (本题满分 8 分) 在正方形 D ? ? p, 实根的概率. 解:

?

q?: p ? 1,

q ? 1 ?中任取一点 ? p, q ? ,求使得方程 x2 ? px ? q ? 0 有两个

设 A ? “方程 x2 ? px ? q ? 0 有两个实根” ,所求概率为 P? A? . 设所取的两个数分别为 p 与 q ,则有 ? 1 ? p ? 1 , ? 1 ? q ? 1 . 因此该试验的样本空间与二维平面点集

D ? ?? p, q?: ? 1 ? p ? 1, ? 1 ? q ? 1?
第 2 页 共 8 页

中的点一一对应. 随机事件 A 与二维平面点集 DA ? ? p, q?: p2 ? 4q ? 0 ,即与点集

?

?

? ? p2 DA ? ?? p, q ?: ? q? 4 ? ?
中的点一一对应.
? p2 ? ? ? 1? ? ? ?dp 1 ? p 3 DA的面积 ?1? 4 ? ? ? ? P ? A? ? ? D的面积 2? 2 4? ? 12
1

所以,

? 13 p? ? ? 24 . ? ?1

1

五. (本题满分 8 分) 一个工厂生产某种产品的寿命 X (单位:年)的密度函数为
x ?1 ?4 ? e f ?x ? ? ? 4 ? ? 0

x?0 . x?0

该工厂规定:该产品在售出的一年内可予以调换.若工厂售出一个该产品,赢利 100 元,而调换一个该产 品,需花费 300 元.试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望. 解:

设 Y 为工厂售出一个产品的净赢利,则

? 100 X ? 1 Y ?? ?? 300 X ? 1
所以, EY ? 100? P?Y ? 100?? 300? P?Y ? ?300?

?1 0 ? 0P? X ? 1 ?? 3 0 ? 0P? X ? 1 ?

? 100?

1 ?4 1 ? e dx ? 300? ? e 4 dx ? 4 1 40
? 1 4 1 ? ? ? ? ? 300? ?1 ? e 4 ? ? ? 11.5203 ? ?

??

x

1

x

? 100? e

六. (本题满分 9 分) 设 G 是由 X 轴、 Y 轴及直线 2 x ? y ? 2 ? 0 所围成的三角形区域,二维随机变量 ? X , Y ? 在 G 内服 从均匀分布.求 X 与 Y 的相关系数 ? X , 解: 第 3 页 共 8 页
Y



由于区域 G 的面积为 1,因此 ? X , Y ? 的联合密度函数为

f ?x,
当 0 ? x ? 1 时, f X ?x ? ?
??

?1 y? ? ? ?0
2?2 x

?x, ?x,

y ?? G . y ?? G

??

? f ?x,

y ?dy ?

? dy ? 2?1 ? x ? ,
0

?2?1 ? x ? 0 ? x ? 1 所以, f X ?x ? ? ? . 其它 ?0
当 0 ? y ? 2 时, fY ? y ? ?
? y ?1 ? 所以, fY ? y ? ? ? 2 ? ?0
?? 1?

??

? f ? x,


y ?dx ?

? dy ? 1 ? 2 ,
0

y 2

y

0? y?2 其它
1

E?X ? ? E ?Y ? ?

?1 1? 1 xf X ?x ?dx ? ? x ? 2?1 ? x ?dx ? 2? ? ? ? , ? ? 2 3? 3 ?? 0
?? 2

??

2 ? y? yfY ? y ?dy ? ? y ? ?1 ? ?dy ? , ? 3 ? 2? ?? 0
?? 1 2 2 X

EX

1 1? 1 ? ? ? ? x f ?x?dx ? ? x ? 2?1 ? x?dx ? 2? ? ? ?? , ?3 4? 6
2 ?? 0

E Y2 ?

? ? ? y f ? y ?dy ? ? y
2 Y ?? 0

??

2

2

2 ? y? ? ?1 ? ?dy ? , 3 ? 2?
2

所以, var? X ? ? E X 2 ? ?E? X ?? ?

? ?

1 ?1? 1 ?? ? ? , 6 ? 3 ? 18
2

2

v a?r Y ? ? E Y ? ?E?Y ??
2

? ?

2

2 ? 2? 2 ? ?? ? ? , 3 ? 3? 9
1 2?2 x 1 2?2 x

E ? XY ? ?
1

?? ??

?? ??

? ?

xyf ?x,
1

y2 y ?dxdy ? ? dx ? xydy ? ? x ? 2 0 0 0

dx ,
0

?1 2 1? 1 2 ? 2? x?1 ? x ? dx ? 2? x3 ? 2 x 2 ? x dx ? 2? ? ? ? ? , ?4 3 2? 6 0 0
所以, cov ? X , Y ? ? E ? XY ? ? E ? X ?E ?Y ? ?
1 1 2 1 ? ? ?? . 6 3 3 18

?

?

第 4 页 共 8 页

?X ,

Y

1 cov? X , Y ? 18 ? ? 1 . ? ? 2 var? X ? var?Y ? 1 2 18 9 ?

七. (本题满分 9 分) 某餐厅每天接待 4 0 0位顾客, 假设每位顾客的消费额 (单位: 元) 服从区间 ?20, 1 0 0 ?上的均匀分布, 并且每位顾客的消费额是相互独立的.试求:⑴ 该餐厅每天的平均营业额(3 分) ;⑵ 用中心极限定理 计算,该餐厅每天的营业额在其平均营业额的 ? 760 元之间的概率(6 分) . (附:标准正态分布的分布函 数 ?? x ? 的某些取值:

x
?? x ?
解:

1.55 0.9394

1.60 0.9452

1.65 0.9505

1.70 0.9554

⑴ 设 X i 表示第 i 位顾客的消费额, ?i ? 1, 2, ?, 400? .则有 相互独立, X i ~ U ?20, 100? , ?i ? 1, 2, ?, 400? . X1, X 2 , ?, X 4 0 0 所以, E? X i ? ? 60 , var? X i ? ?
802 1600 ? . 12 3
400

再设 X 表示餐厅每天的营业额,则 X ? ? X i .
i ?1

? 400 ? 400 所以, E ? X ? ? E? ? X i ? ? ? E ? X i ? ? 400? 60 ? 24000 (元) . ? i ?1 ? i ?1
⑵ 由独立同分布场合下的中心极限定理,有

? ? 760 X ?2 4 0 0 0 760 ? P?? 7 6 0 ? X ?2 4 0 0 ?0 7 6? 0? P ?? ? ? 1600 1600 16 ? 40? 0 40? 0 40? 0 ? 3 3 3 ?

? ? ? ? 0? 0 ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? 760 760 ? ? ? ? ? 2??1.645? ? 1 ? 2 ? 0.9505? 1 ? 0.901. ?? ?? ? ? ? ? 1600 1600 ? 400? ? 400? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ?
八. (本题满分 8 分) 第 5 页 共 8 页

设总体 X 服从参数为 p 的几何分布,其分布律为

P?X ? k? ? pqk ?1
其中 0 ? p ? 1是未知参数,q ? 1 ? p .? X1, 极大似然估计量. 解:

?k ? 1,

2, 3, ??.

试求参数 p 的 X 2 , ?, X n ? 是取自该总体中的一个样本.

似然函数为 L? p? ? P?X1 ? x1, X 2 ? x2 , ?, X n ? xn ? ? P?X1 ? x1?P?X 2 ? x2 ??P?X n ? xn ?
x ?1 x ?1 x ?1 xk ? n ? p?1 ? p ? 1 ? p?1 ? p ? 2 ? p?1 ? p ? n ? p n ?1 ? p ?? k ?1
n

? n ? 所以, ln L? p ? ? n ln p ? ? ? xk ? n ? ln?1 ? p ? . ? k ?1 ?
xk ? n 1 1 d n ? k ?1 ?? . 所以, ln L? p ? ? ? ? 0 ,解方程,得 p ? .因此 p 的极大似然估计量为 p x ? dp p 1? p
九. (本题满分 8 分) 设总体 X 存在二阶矩,记 E ? X ? ? ? , v a ? rX ? ? ? , ? X1,
2
n

X 2 , ?, X n ? 是从该总体中抽取的一

个样本, X 是其样本均值.求 E X (4 分)及 D X (4 分) . 解:

? ?

? ?

1 n 1 ?1 n ? 1 n E ?X ? ? E? ? X i ? ? ? E ? X i ? ? ? ? ? ? n? ? ? , n i ?1 n ? n i ?1 ? n i ?1 1 n 1 ?2 ?1 n ? 1 n . v a ?rX ? ? v a? r ? X i ? ? 2 ? v a ?rX i ? ? 2 ?? 2 ? 2 ? n? 2 ? n i ?1 n n ? n i ?1 ? n i ?1
十. (本题满分 9 分) 两台相同型号的自动记录仪,每台无故障工作的时间分别为 X 和 Y ,假设 X 与 Y 相互独立,都服从 参数为 ? ? 5 的指数分布,其密度函数为

?5e ?5 x f X ?x ? ? ? ? 0

x?0 . x?0

现首先开动其中一台,当其损坏停用时另一台自动开动,直至第二台记录仪损坏为止.令: T :从开始到 第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间,试求随机变量 T 的概率密度函数. 解: 第 6 页 共 8 页

X 的密度函数为 f X ?x ? ? ?

?5e ?5 x ? 0

x?0 x?0 y?0 y?0



?5e ?5 y Y 的密度函数为 fY ? y ? ? ? ? 0
由题意,知

T ? X ? Y ,设 T 的密度函数为 fT ?t ? ,则
??

fT ?t ? ?

??

?

f X ?x ? fY ?t ? x ?dx ? ? 5e ?5 x fY ?t ? x ?dx
0

??

作变换 u ? t ? x ,则 du ? ?dx , 当 x ? 0 时, u ? t ;当 x ? ?? 时, u ? ?? .代入上式,得

fT ?t ? ? ? ? 5e
t

??

?5?t ?u ?

fY ?u ?du ? 5e

?5t

??

?e

t

5u

fY ?u ?du

当 t ? 0 时,由 fY ? y ? ? 0 ,知 fT ?t ? ? 0 ; 当 t ? 0 时,

fT ?t ? ? 5e?5t ? e5u ? 5e?5u du ? 25te?5t
??

t

综上所述,可知随机变量 T 的密度函数为
十一. (本题满分 9 分)

?25te ?5t fT ?t ? ? ? ? 0

t?0 t?0



x ? 1 ?? ? e 设总体 X 服从指数分布,其概率密度函数为 f ? x ? ? ?? ? ?0

x ? 0 , ? X , X , ?, X ? 是取自 1 2 n x?0

该总体中的一个样本. ⑴ 求出统计量 X ?1? ? min X i 的密度函数 f?1? ?x? , 并指出该分布是什么分布?⑵ 求
1? i ? n

常数 a ,使得 T ? a min X i 为 ? 的无偏估计.
1? i ? n

解:
x ? 1 ?? ? e ① 由于总体 X 的密度函数为 f ? x ? ? ?? ? ?0

x ? 0 ,因此其分布函数为 x?0

F ?x ? ?

? ?0 x ? ? f t dt ? ? ? ? ? ? ?? ?1 ? e
x

x?0 x?0



第 7 页 共 8 页

所以 X ?1? ? min X i 的密度函数为
1?i ? n

x x nx ? ?? ? 1 ? n ? ? ? e ? ? e ? , ? x ? 0? . f?1? ?x ? ? n?1 ? F ?x ?? f ?x ? ? n? e ? ? ? ? ? ? ? 即随机变量 X ?1? ? min X i 服从参数为 的指数分布. 1?i ? n n ? ? ② 由于随机变量 X ?1? ? min X i 服从参数为 的指数分布,所以 E ?X ?1? ? ? E min X i ? . 1? i ? n 1 ? i ? n n n ? 所以,若使 E ?X ?1? ? ? aE min X i ? a ? ? ? ,只需取 a ? n 即可. 1? i ? n n n ?1

n ?1

?

?

?

?

即若取 a ? n ,即 T ? n min X i ,则 T 是未知参数 ? 的无偏估计量.
1? i ? n

十二. (本题满分 8 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,而且都服从正态分布 N

??,

? 2 ?.令 U ? X ? aY ,V ? X ? bY ( a

与 b 都是常数) ,试给出随机变量 U 与 V 相互独立的充分必要条件. 解:

由于随机变量 X 与 Y 相互独立,而且都服从正态分布,又 U ? X ? aY , V ? X ? bY ,所 以 U 与 V 也都是服从正态分布的随机变量. 所以, U 与 V 相互独立的充分必要条件是 cov?U , V ? ? 0 . 而

cov?U , V ? ? cov? X ? aY , X ? bY ?

? cov? X , X ? ? b cov? X , Y ? ? a cov?Y , X ? ? abcov?Y , Y ?

? D? X ? ? abD?Y ? ? ?1 ? ab?? 2 .
因此,随机变量 U 与 V 相互独立的充分必要条件是 1 ? ab ? 0 .

第 8 页 共 8 页


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