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江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)解析版

高考数学二模试卷(文科)

题号 得分







总分

一、选择题(本大题共 12 小题,共 36.0 分)

1. 已知集合 A={x|x2-x-2>0},B={x|0<x<3},则 A∩B 等于(  )

A. (-1,3)

B. (0,3)

C. (1,3)

D. (2,3)

2. 已知 a,b∈R,复数 z=a-bi,则|z|2=(  )

A. a2+b2-2abi

B. a2-b2-2abi

C. a2-b2

D. a2+b2

3. 已知函数

,命题

,若 p 为假命题,则实数 a

的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

4. 己知角 的顶点在坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,终边过点 P(2,-1),则 cos2 等 于( )

A. -

B. -

C.

D.

5. 已知抛物线 y2=8x 的焦点为 F,点 P 在该抛物线上,且 P 在 y 轴上的投影为点 E, 则|PF|-|PE|的值为(  )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6. 已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面,设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,有 以下结论:①l:r=4:3;②圆锥的侧面积与底面面积之比为 4:3;③圆锥的轴截

面是锐角三角形.其中所有正确结论的序号是(  )

A. ①②

B. ②③

C. ①③

D. ①②③

7. 某市教育局卫生健康所对全市高三年级的学生身高进行抽样调查,随机抽取了 100 名学生,他们身高都处于 A,B,C,D,E 五个层次,根据抽样结果得到如下统计

图表,则从图表中不能得出的信息是(  )

A. 样本中男生人数少于女生人数

B. 样本中 B 层次身高人数最多

C. 样本中 D 层次身高的男生多于女生 D. 样本中 E 层次身高的女生有 3 人

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8. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部
分图象如图所示,若将 f(x)图象上的所有点向左平移 个 单位得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)的单调递增区间 是(  )
A. [kπ- ,kπ- ](k∈Z)
B. [kπ- ,kπ ](k∈Z)
C. [kπ- ,kπ ](k∈Z)
D. [kπ- ,kπ ](k∈Z)

9. 已知正实数 a,b,c 满足 loga2=2,log3b= ,c6= ,则 a,b,c 的大小关系是(  )

A. a<b<c

B. a<c<b

C. c<b<a

D. b<a<c

10. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河 .”诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后

从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平

面直角坐标系中,设军营所在区域为 x2+y2≤1,若将军从点 A(2,0)处出发,河

岸线所在直线方程为 x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“

将军饮马”的最短总路程为(  )

A. -1

B. 2

C. 2

D.

11. 已知一个四棱锥的三视图如图(网络中的小正方形边长为 1),则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为(  )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

12. 已知双曲线 E: - =1(a>0,b>0)的焦距为 2c,圆 C1:(x-c)2+y2=r2(r>0)
与圆 C2:x2+(y-m)2=4r2(m∈R)外切,且 E 的两条渐近线恰为两圆的公切线, 则 E 的离心率为(  )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,共 12.0 分)

13. 已知平面向量 与 的夹角为 ,| |=2,| |=1,则 ?( )=______.

14. 已知实 x,y 满足

,则 2x+y 的最小值是______.

15. 已知函数 f(x)对于任意实数 x 都有 f(-x)=f(x),且当 x≥0 时,f(x)=ex-sinx, 若实数 a 满足 f(log2a)<f(1),则 a 的取值范围是______.

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16. 已知平行四边形 ABCD 中,AB=AC,BD=6,则此平行四边形面积的最大值为______ .
三、解答题(本大题共 7 小题,共 84.0 分) 17. 已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且存在实数 λ 满足 2an+1=λan+4,n∈N+
. (1)求 λ 的值及通项 an; (2)求数列{a }的前 n 项和 Sn.
18. 如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=1,E、F 是边 DC 的三等分点.现将△DAE、△CBF 分别沿 AE、BF 折起,使得平面 DAE、平面 CBF 均与平面 ABFE 垂直.
(1)若 G 为线段 AB 上一点,且 AG=1,求证:DG∥平面 CBF; (2)求多面体 CDABFE 的体积.

19. 已知椭圆 C:

=1(a>b>0),点 M 是 C 长轴上的一个动点,过点 M 的直线

l 与 C 交于 P,Q 两点,与 y 轴交于点 N,弦 PQ 的中点为 R.当 M 为 C 的右焦点

且 l 的倾斜角为 时,N,P 重合,|PM|=2.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)当 M,N 均与原点 O 不重合时,过点 N 且垂直于 OR 的直线 l′与 x 轴交于

点 H.求证: 为定值.

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20. 某品牌餐饮公司准备在 10 个规模相当的地区开设加盟店,为合理安排各地区加盟 店的个数,先在其中 5 个地区试点,得到试点地区加盟店个数分别为 1,2,3,4,5 时,单店日平均营业额 y(万元)的数据如下:

加盟店个数 x(个) 1

2

3

4

5

单店日平均营业额 元)

y(万

10.9

10.2

9

7.8

7.1

(1)求单店日平均营业额 y(万元)与所在地区加盟店个数 x(个)的线性回归方 程; (2)根据试点调研结果,为保证规模和效益,在其他 5 个地区,该公司要求同一 地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于 35 万元,求一个地区开设加盟 店个数 m 的所有可能取值; (3)小赵与小王都准备加入该公司的加盟店,根据公司规定,他们只能分别从其 他五个地区(加盟店都不少于 2 个)中随机选一个地区加入,求他们选取的地区相 同的概率.

(参考数据及公式: xiyi=125,

=55,线性回归方程 =bx+a,其中 b=

,a= -b .)

21. 已知函数 f(x)=lnx+ax,a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调区间; (2)当 时,证明:x3>f(x).

22. 已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数),以坐标

原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为
ρ2-2ρcosθ-2=0,点 P 的极坐标是( , ).
(1)求直线 l 的极坐标方程及点 P 到直线 l 的距离; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 M,N 两点,求△PMN 的面积.

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23. 已知 为正实数,函数
(1)求函数 的最大值; (2)若函数 的最大值为 1,求

. 的最小值.

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1.【答案】D

答案和解析

【解析】解:A={x|x<-1,或 x>2}; ∴A∩B=(2,3). 故选:D. 可求出集合 A,然后进行交集的运算即可. 考查描述法、区间的定义,一元二次不等式的解法,以及交集的运算.
2.【答案】D

【解析】解:因为复数 z=a-bi,

所以|z|=



故|z|2=a2+b2, 故选:D. 根据复数 z=a-bi,先求出|z|,然后再求出|z|2. 本题考查了复数模的问题,解决问题的关键对|z|2 的正确理解.本题属于基础题.
3.【答案】C

【解析】解:因为 p 为假命题, 所以¬p 为真命题, 即不存在 x0∈R,使 f(x0)=0, 故△=1-4a2<0,

解得:



故选:C. 直接利用命题 p 为假命题,即不存在 x0∈R,使 f(x0)=0,根据这个条件得出实数 a 的 取值范围. 本题考查的知识要点:命题的否定,解题的关键是要将假命题转化为真命题,从而来解 决问题.
4.【答案】C

【解析】解:由题得点 P 到原点的距离为

=,

所以 cosα= = ,

所以 cos2α=2cos2α-1=2× = .
故选:C. 先求出点 P 到原点的距离为 ,再利用三角函数的坐标定义求出 cosα,再利用二倍角 的余弦求 cos2α 的值. 本题主要考查三角函数的定义和二倍角公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 和分析推理计算能力.

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5.【答案】B
【解析】解:因为抛物线 y2=8x, 所以抛物线的准线方程为 x=-2, 因为 P 在 y 轴上的投影为点 E, 所以|PE|即为点 P 到 x=-2 的距离减去 2, 因为点 P 在该抛物线上, 故点 P 到 x=-2 的距离等于|PF|, 所以,|PE|=|PF|-2, 故|PF|-|PE|=2, 故选:B. P 在 y 轴上的投影为点 E,由抛物线的定义可得,|PE|=|PF|-2,故可得结果. 本题考查了抛物线的定义,解决问题的关键是要利用抛物线的定义将|PE|进行转化.
6.【答案】A

【解析】解:①,由题意得 = ,可得 l:r=4:3,所以该结论正确;
②,由题意得 = = = , 所以圆锥的侧面积与底面面积之比为 4:3,所以该结论正确; ③,由题得轴截面的三角形的三边长分别为 , ,2r,顶角最大,

其余弦为

=- <0,所以顶角为钝角,

所以轴截面三角形是钝角三角形,所以该结论错误. 故选:A. 利用圆锥的侧面展开图和圆锥的关系可判断①;由圆锥的侧面积和底面积计算可判断 ②;由余弦定理计算可判断③. 本题主要考查圆锥的计算,考查余弦定理,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和 分析推理能力.
7.【答案】C

【解析】解:A.样本中男生人数为 4+12+10+8+6=40,女生人数为 100-40=60, 所以样本中男生人数少于女生人数,所以该选项是正确的; B.因为男生中 B 层次的比例最大,女生中 B 层次的比例最大, 所以样本中 B 层次身高人数最多,所以该选项是正确的; C.样本中 D 层次身高的男生有 8 人,女生 D 层次的有 60×15%=9, 所以样本中 D 层次身高的男生少于女生,所以该选项是错误的; D.样本中 E 层次身高的女生有 60×5%=3 人,所以该选项是正确的. 故选:C. 结合已知和两个统计图表,对每一个选项逐一分析判断得解. 本题主要考查统计图表,考查比例和样本频数的计算,意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理能力.
8.【答案】A

【解析】【分析】 本题考查了求三角函数解析式问题、三角函数图象平移问题、三角函数单调性问题,解
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决问题的关键是要能由函数图象得出函数解析式,属于中档题. 根据三角函数的图象得出函数 f(x)解析式,然后根据平移规则得出函数 g(x)的图象 ,从而得出函数 g(x)的单调区间. 【解答】
解:由图可得





解得 ω=2,

将点

代入函数 f(x)=Asin(2x+φ),





因为|φ|< ,

所以 φ= ,故函数 f(x)=Asin(2x+ ),

因为将 f(x)图象上的所有点向左平移 个单位得到函数 g(x)的图象.

所以





(k∈Z)时,

解得:

(k∈Z),

故当 x∈[
故选:A.
9.【答案】B

](k∈Z)时,g(x)单调递增,

【解析】解:由题得 a2=2,



∴a6=8,b6=9,且





,a,b,c 都是正数;

∴a<c<b. 故选:B. 先求出 a6=8,b6=9,从而得出 a6<c6<b6,根据 a,b,c 为正数即可得出 a,b,c 的大 小关系. 考查对数的定义,对数式与指数式的互化,以及指数幂的运算,幂函数的单调性.
10.【答案】A

【解析】解:设点 A 关于直线 x+y=3 的对称点 A'(a,b), AA'的中点为( , ),

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解得



要使从点 A 到军营总路程最短, 即为点 A'到军营最短的距离,

“将军饮马”的最短总路程为



故选:A. 先求出点 A 关于直线 x+y=3 的对称点 A',点 A'到圆心的距离减去半径即为最短. 本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等,解决问题 的关键是将实际问题转化为数学问题,建立出数学模型,从而解决问题.
11.【答案】C

【解析】解:由题得几何体原图是如图所示的四棱锥 P-ABCD,

在四个侧面中,有∠PBA=∠PCD=∠CPB=90°,△PAD 是等边三角形. 所以该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为:3. 故选:C. 先找到几何体原图,再确定侧面直角三角形的个数得解. 本题主要考查三视图还原几何体,考查空间几何元素位置关系的判断,意在考查学生对 这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12.【答案】C

【解析】解:双曲线的一条渐近线方程为 bx-ay=0,

故 C1(c,0)到渐近线的距离为

=r,即 b=r

, 设圆 C1 与圆 C2 的切点为 M,则 OM⊥C1C2,故 Rt△OMC1∽Rt△C2OC1,
于是 = ,即 ,故 c= r,

∴a= r,

∴双曲线的离心率 e= = = .

故选:C. 根据三角形相似和距离公式得出 a,b,c 与 r 的关系即可得出离心率. 本题考查了双曲线的性质,考查直线与圆的位置关系,属于中档题.

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13.【答案】3

【解析】解:由题平面向量 与 的夹角为 ,| |=2,| |=1,得 ?( )=

=4-2×

=3.
故答案为:3. 直接利用数量积的运算法则求解. 本题主要考查数量积的运算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14.【答案】-4

【解析】解:先作出不等式组对应的可行域,如图所示,

设 z=2x+y,所以 y=-2x+z, 当直线经过点 A 时,直线的纵截距最小,z 最小,

联立

得 A(-2,0),

所以 z 最小=2×(-2)+0=-4. 故答案为:-4. 先作出不等式组对应的可行域,再利用数形结合分析得到 2x+y 的最小值. 本题主要考查线性规划求最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能 力.

15.【答案】( ,2)

【解析】解:∵任意实数 x 都有 f(-x)=f(x), ∴f(x)是偶函数, 当 x≥0 时,f(x)=ex-sinx,即 f′(x)=ex-cosx>0,即 f(x)为增函数, 则 f(log2a)<f(1),等价为 f(|log2a|)<f(1), 即|log2a|<1,即-1<log2a<1, 得 <a<2,
即实数 a 的取值范围是( ,2),
故答案为:( ,2)
根据条件判断函数的奇偶性和单调性,结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转 化进行求解即可. 本题主要考查不等式的求解,根据条件判断函数的奇偶性和单调性,利用奇偶性和单调 性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键.
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16.【答案】3

【解析】解:平行四边形 ABCD 中,AB=AC,BD=6,如 图所示; 则 OB=3,设 AB=2x,∠BAC=θ,θ∈(0,π),则 AO=x; △AOB 中,由余弦定理得 32=4x2+x2-2?2x?x?cosθ,

∴x2=



∴平行四边形的面积为: S=2S△ABC
=2? ?2x?2xsinθ

=4x2sinθ

=4?

?sinθ

=

=

=

=



=3 ,

当且仅当 tanθ= 时取“=”,

∴平面四边形 ABCD 面积的最大值为 3 . 故答案为:3 . 根据题意设 AB=2x,∠BAC=θ,利用余弦定理求得 x2,再计算平行四边形的面积与它的 最大值.
本题考查了解三角形的应用问题,也考查了三角恒等变换应用问题,是中档题.
17.【答案】解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,
由存在实数 λ 满足 2an+1=λan+4①, 得 2an=λan-1+4②, ①-②得, 2d=λd, 又因为 d≠0, 解得 λ=2; 将 λ=2 代入① 可得:an+1-an=2, 即 d=2, 又因为 a1=1, 所以 an=2n-1.

(2)由(1)可得:

=2n+1-(2n+1),

所以:



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=



=2n+2-n2-2n-4

【解析】(1)设出等差数列的公差 d,然后退位相减便可得结果; (2)求出数列{a }的通项公式,然后利用分组求和法解出数列的前 n 项和 Sn. 本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,分组法求出数列的和,主要考察
学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.
18.【答案】证明:(1)分别取 AE,BF 的中点 M,N,
连接 DM,CN,MG,MN,

因为 AD=DE=1,∠ADE=90°,所以 DM⊥AE,且 DM=



因为 BC=CF=1,∠BCF=90°,所以 CN⊥BF,且 CN= .

因为面 DAE、面 CBF 均与面 ABFE 垂直, 所以 DM⊥面 ABFE,CN⊥面 ABFE, 所以 DM∥CN,且 DM=CN. 因为 AM=AGcos45°,所以∠AMG=90°, 所以△AMG 是以 AG 为斜边的等腰直角三角形,故∠MGA=45°, 而∠FBA=45°,则 MG∥FB, 故面 DMG∥面 CBF,则 DG∥面 CBF. 解:(2)如图,连接 BE,DF,由(1)可知,DM∥CN,且 DM=CN,

则四边形 DMNC 为平行四边形,故 DC=MN=

=2.

因为 V=VD-ABE+VB-EFCD=VD-ABE+3VB-DEF.

所以 V=

+3× (

)×1= .

【解析】(1)分别取 AE,BF 的中点 M,N,连接 DM,CN,MG,MN,先证明 DM∥CN ,再证明面 DMG∥面 CBF,即证 DG∥面 CBF. (2)连接 BE,DF,利用割补法和体积变换 V=VD-ABE+VB-EFCD=VD-ABE+3VB-DEF.求多面 体 CDABFE 的体积. 本题主要考查空间位置关系的证明,考查空间几何体的体积的计算,意在考查学生对这 些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19.【答案】(1)解:∵当 M 为 C 的右焦点,且 l 的倾斜角为 时,N,P 重合,|PM|=2




,又 a2=b2+c2,解得 b=1,c= ,

∴椭圆 C 的方程为



(2)证明:设直线 l:y=kx+m(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),

将 y=kx+m 代入

得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,







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∴R(

),则



∴直线 l′的方程为 y=4kx+m,点 H 的坐标为(- ,0),

又∵点 M( ,0),∴

为定值.

【解析】(1)根据题意得到关于 a,b,c 的方程组,解方程组即得椭圆的标准方程; (2)设直线 l:y=kx+m(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),联立直线和椭圆的方程得

到 R(

),点 H 的坐标为(

),再求 为定值.

本题主要考查椭圆的标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中的定值 问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,是中档题.

20.【答案】解(1)由题可得, =3, =9,设所求线性回归方程为 = x+a,

则=

=-1,

将 =3, =9 代入,得 a=9-(-3)=12,

故所求线性回归方程为 =-x+12.
(2)根据题意,m(12-m)≥35,解得:5≤m≤7,又 m∈Z+,所以 m 的所有可能取值为 5 ,6,7. (3)设其他 5 个地区分别为 A,B,C,D,E,他们选择结果共有 25 种,具体如下:AA ,AB,AC,AD,AE,BA,BB,BC,BD,BE,CA,CB,CC,CD,CE,DA,DB,DC ,DD,DE,EA,EB.EC.ED,EE,
其中他们在同一个地区的有 5 种,所以他们选取的地区相同的概率 P= = .

【解析】(1)利用最小二乘法求线性回归方程; (2)解不等式 m(12-m)≥35 得一个地区开设加盟店个数 m 的所有可能取值; (3)利用古典概型的概率求选取的地区相同的概率. 本题主要考查线性回归方程的求法,考查古典概型的概率的计算,意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平和分析推理能力.属中档题.
21.【答案】解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
由已知,f′(x)= = ,
①当 a≥0 时,f′(x)≥0 恒成立,此时 f(x)在(0,+∞).上单调递增;
②当 a<0 时,令 f′(x)>0 恒,得 x ,

所以 f(x)在(0,- )上单调递增,在(-

)上单调递减.

综上所述,当 a≥0 时,f(x)的单调增区间为(0,+∞),无单调递减区间;

当 a<0 时,f(x)的单调递增区间为(0,- ),单调递减区间为(-

).

(2)考虑到 x>0 时 x-1≥lnx,

欲证 x3>lnx+ ,只要证明

-1,

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令 g(x)=

,x>0,

则 g′(x)=

,令则 g′(x)=0,可得 x0= ,

且当 x∈(0,x0)时 g′(x)<0,当 x∈(x0,+∞)时 g′(x)>0, 所以 g(x)在∈(0,x0)上单调递减,在 x∈(x0,+∞)上单调递增,

所以 g(x)≥g(x0)=

=1- ,

因为 所以

, ,所以 g(x)≥g(x0)>0,

即 x3>(x-1)+ 只恒成立,所以 x3>lnx+ 恒成立,即 x3>f(x).

【解析】(1)对 a 分 a≥0 和 a<0 讨论,利用导数求函数的单调区间;

(2)x>0 时,x-1≥lnx,欲证:x3>lnx+ 只需证明

-1,再构造函数 g(x)=

,x>0,利用导数求函数的最小值 g(x0),即得证. 本题主要考查利用导数求函数的单调区间,考查利用导数证明不等式和求函数的最值, 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

22.【答案】解(1)由

消去 t,

得到 y= , 则 ρsinθ= ρcosθ,
∴θ= ,

所以直线 l 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R).

点 P( , )到直线 l 的距离为 d= ×sin( - )= × = .

(2)由,

得,ρ2-ρ-2=0 所以 ρ1+ρ2=1,ρ1ρ2=-2

所以,|MN|=|ρ1-ρ2|=

=3

则△PMN 的面积为.S△PMN= |MN|×d= ×

=.

【解析】(1)现将直线方程转化为普通方程,再利用公式

求出直线的极坐

标方程,进而可得点到直线的距离; (2)在极坐标下,利用韦达定理求出 MN 的长度,从而得出面积. 本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦 长问题,利用韦达定理是解题的关键.属中档题.
23.【答案】解:(1)因为 f(x)=|x-a|-|x+2b|≤|(x-a)-(x+2b)|=a+2b.,
所以函数 f(x)的最大值为 a+2b.

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(2)由(1)可知,a+2b=1, 因为 a2+4b2≥4ab, 所以 2(a2+4b2)≥a2+4b2+4ab=(a+2b)2=1, 即 a2+4b2≥ ,且当 a=2b= 时取“=”, 所以 a2+4b2 的最小值为 . 【解析】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识,运用基本不等式时,要注意题 意是否满足“一正、二定、三相等”的条件,熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关 键. (1)利用绝对值不等式公式进行求解; (2)由(1)得 a+2b=1,再根据基本不等式可得 a2+4b2 的最小值.
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