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2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义:第四章圆与方程4.1.2


数学 4.1.2 学习目标 圆的一般方程 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练 地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程. 知识点 圆的一般方程 思考 1 方程 x2+y2-2x+4y+1=0,x2+y2-2x+4y+6=0 分别表示什么图形? 答案 对方程 x2+y2-2x+4y+1=0 配方,得(x-1)2+(y+2)2=4,表示以(1,-2)为圆心,2 为半径的圆, 对方程 x2+y2-2x+4y+6=0 配方,得(x-1)2+(y+2)2=-1,不表示任何图形. 思考 2 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示圆? 答案 对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方并移项,得 D2+E2-4F D E (x+ )2+(y+ )2= , 2 2 4 D E 1 ①当 D2+E2-4F>0 时,方程表示以(- ,- )为圆心, D2+E2-4F为半径长的圆; 2 2 2 D E D E ②当 D2+E2-4F=0 时,方程只有实数解 x=- ,y=- ,它表示一个点(- ,- ); 2 2 2 2 ③当 D2+E2-4F<0 时,方程无实数解,它不表示任何图形. 梳理 方程 x +y + Dx+Ey+ F=0 D2+E2-4F=0 D2+E2-4F>0 2 2 条件 D2+E2-4F<0 图形 不表示任何图形 D E 表示一个点(- ,- ) 2 2 D E 1 表示以(- ,- )为圆心,以 D2+E2-4F为半径的圆 2 2 2 类型一 圆的一般方程的概念 例 1 若方程 x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0 表示圆, 求实数 m 的取值范围, 并写出圆心坐标 和半径. 解 由表示圆的条件, 得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0, 1 解得 m< , 5 数学 1 即实数 m 的取值范围为(-∞, ). 5 圆心坐标为(-m,1),半径为 1-5m. 反思与感悟 形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的二元二次方程, 判定其是否表示圆时可有如下两 种方法 (1)由圆的一般方程的定义,令 D2+E2-4F>0 成立,则表示圆,否则不表示圆. (2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时,要注意所给方程是不是 x2+y2+Dx+Ey+F=0 这种标准形式,若不是, 则要化为这种形式再求解. 跟踪训练 1 (1)已知 a∈R,方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐标为 ________,半径为________. (2)点 M、N 在圆 x2+y2+kx+2y-4=0 上,且点 M、N 关于直线 x-y+1=0 对称,则该圆的 面积为________. 答案 (1)(-2,-4) 5 (2)9π 解析 (1)由圆的一般方程的形式知, a+2=a2,得 a=2 或-1. 5 当 a=2 时,该方程可化为 x2+y2+x+2y+ =0, 2 5 ∵D2+E2-4F=12+22-4× <0, 2 ∴a=2 不符合题意. 当 a=-1 时,方程可化为 x2+y2+4x+8y-5=0, 即(x+2)2+(y+4)2=25, ∴圆心坐标为(-2,-4),半径为 5. k (2)圆 x2+y2+kx+2y-4=0 的圆心坐标为(- ,-1), 2 由圆的性质知,直线 x-y+1=0 经过圆心, k ∴- +1+1=0,得 k=4, 2 1 ∴圆 x2+y2+4x+2y-4=0 的半

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