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第一章《空间几何体》单元测试题 时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.某几何体的三视图,如图所示,则这个几何体是( ) A.三棱锥 C.四棱锥 [答案] B B.三棱柱 D.四棱柱 2. 用一个平行于水平面的平面去截球, 得到如图所示的几何体, 则它的俯视图是( ) [答案] B [解析] D 选项为主视图或侧视图,俯视图中显然应有一个被遮挡的圆,所以内圆是虚 线,故选 B. 3.斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有( A.0 个 C.2 个 [答案] C [解析] 本题考查四棱柱的结构特征,画出示意图即可. 4.已知△ABC 是边长为 2a 的正三角形,那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面 积为( A. ) 3 2 a 2 B. 3 2 a 4 ) B .1 个 D.3 个 C. 6 2 a 4 D. 6a2 [答案] C [解析] 直观图面积 S′与原图面积 S 具有关系:S′= ∴S△A′B′C′= 2 6 × 3a2= a2. 4 4 2 3 S.∵S△ABC= (2a)2= 3a2, 4 4 5.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84π, 则圆台较小底面的半径为( A.7 C.5 [答案] A [解析] 设圆台较小底面圆的半径为 r,由题意,另一底面圆的半径 R=3r. ∴S 侧=π(r+R)l=π(r+3r)×3=84π,解得 r=7. 6.正方体内切球与外接球体积之比为( A. C. [答案] C a 3 [解析] 设正方体棱长为 a,内切球半径 R1,外接球半径 R2.R1= ,R2= a, 2 2 a V 内 V 外=( )3 2 故选 C. 7.已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为 5,菱形的对角线的长分别是 9 和 15,则 这个棱柱的侧面积是( A.30 34 C.30 34+135 [答案] A [解析] 由菱形的对角线长分别是 9 和 15, 得菱形的边长为 3 个菱柱的侧面积为 4× 34×5=30 34. 2 8.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( A. C. 3 3 πR 24 5 3 πR 25 B. D. 3 3 πR 8 5 3 πR 8 ) 9 15 3 ? ?2+? ?2= 34, 则这 2 2 2 ) B.60 34 D.135 3 3 a) = 2 3. 3 3 ) B. D. ) B .6 D.3 [答案] A R 3 [解析] 依题意,得圆锥的底面周长为 πR,母线长为 R,则底面半径为 ,高为 R, 2 2 1 R 3 3 所以圆锥的体积为 ×π×( )2× R= πR3. 3 2 2 24 9.正三棱柱有一个半径为 3 cm 的内切球,则此棱柱的体积是( A.9 3 cm3 C.27 cm3 [答案] B [解析] 由题意知棱柱的高为 2 3 cm,底面正三角形的内切圆的半径为 3 cm,∴底 面正三角形的边长为 6 cm,正三棱柱的底面面积为 9 3 cm2,∴此三棱柱的体积 V=9 3 ×2 3=54(cm3). 10. 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形, 则该正方体的正视图的 面积不可能等于( A.1 C. 2-1 2 ) B. 2 D. 2+1 2 B.54 cm3 D.18 3 cm3 ) [答案] C [解析] 水平放置的正方体,当正视图为正方形时,其面积最小为 1;当正视图为对角 面时,其面积最大为 2.因此满足棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则 该正方体的正视图的面积的范围为[1, 2].由此可知,A,B,D 均有可能,而 故 C 不可能. 11.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,该四棱锥侧 面积和体积分别是( A.4 5,8 8 B.4 5, 3 8 C.4( 5+1), 3 D.8,8 [答案] B [解析] 因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,所以该四棱锥为正四棱锥,其主 视图为原图形中的△PEF,如图.由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面长 AB=2,高 PO 1 =2,则四棱锥的斜高 PE= 22+12= 5.所以该四棱锥侧面积 S=4× ×2× 5=4 5,体 2 ) 2-1 <1, 2 1 8 积= ×2×2×2= . 3 3 12.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容 器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度, 则球的体积为( ) 500π A. cm3 3 1372π C. cm3 3 [答案] A 866π B. cm3 3 2048π D. cm3 3 [解析] 设球的半径为 R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4,球心到截面圆 4π×53 500 的距离为 R-2,则 R2=(R-2)2+42,解得 R=5.∴球的体积为 = cm3. 3 3 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.在几何体①圆锥;②正方体;③圆柱;④球;⑤正四面体中,三视图完全一样的是 ________. [答案] ②④ 14. 用斜二测画法画边长为 2 的正三角形的直观图时, 如果在已知图形中取的 x 轴和正 三角形的一边平行,则这个正三角形的直观图的面积是________. [答案] 6 4 15.棱锥的高为 16,底面积为 512,平行于底面的截面面积为 50,则截得的棱台的高 为________. [答案] 11 16-x 2 50 [解析] 设棱台的高为 x,则有( ) = ,解之,得 x=11. 16 512 16.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示,其中主视图是直角三角形,侧视图是半

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