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2015·-全国卷1精校完整解析版

2015?全国卷Ⅰ(文科数学)
1.A1[2015?全国卷Ⅰ] 已知集合 A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合 A ∩B 中元素的个数为( A.5 B.4 ) C.3 D.2 )

2.F1、F2[2015?全国卷Ⅰ] 已知点 A(0,1),B(3,2),向量→ AC=(-4,-3),则向量→ BC=( A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) )

3.L4[2015?全国卷Ⅰ] 已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z=( A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i

4.K2[2015?全国卷Ⅰ] 如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为 一组勾股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( A. 3 10 1 B. 5 C. 1 10 D. 1 20 )

1 5.H5、H7[2015?全国卷Ⅰ] 已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C: 2

y2=8x 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=(
A.3 B.6 C.9 D.12

)

6.G12[2015?全国卷Ⅰ] 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有委米依垣内角, 下周八尺, 高五尺. 问: 积及为米几何?” 其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如 图 1?1,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和 堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3, 估算出堆放的米约有( )

图 1?1 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛

7.D2[2015?全国卷Ⅰ] 已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和.若 S8=4S4,则

a10=(
A. 17 2

) 19 B. 2 C.10 D.12

8.C4[2015?全国卷Ⅰ] 函数 f(x)=cos(ω x+φ )的部分图像如图 1?2 所示,则 f(x)的单调递
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减区间为(

)

图 1?2 1 3? ? A.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 4 4? ? 1 3? ? C.?k- ,k+ ?,k∈Z 4 4? ? 1 3? ? B.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 4 4? ? 1 3? ? D.?2k- ,2k+ ?,k∈Z 4 4? ? )

9.L1[2015? 全国卷Ⅰ] 执行图 1?3 所示的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=(

图 1?3 A.5 B.6 C.7 D.8

x-1 ?2 -2,x≤1, 10.B6、B7[2015?全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=? 且 f(a)=-3,则 f(6 ?-log2(x+1),x>1,

-a)=( A.-

) 7 5 B.- 4 4 C.- 3 4 D.- 1 4

11.G2[2015?全国卷Ⅰ] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该 几何体三视图中的正视图和俯视图如图 1?4 所示.若该几何体的表面积为 16+20π ,则 r=( )

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图 1?4 A.1 B.2 C.4 D.8
x+a

12.B6、B7[2015?全国卷Ⅰ] 设函数 y=f(x)的图像与 y=2

的图像关于直线 y=-x 对称,且

f(-2)+f(-4)=1,则 a=(
A.-1 B.1 C.2

) D.4

13.[2015?全国卷Ⅰ] 在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sn=126,则 n =________. 14.B12[2015?全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2, 7),则 a=________.

15. E5[2015? 全国卷Ⅰ]

?x+y-2≤0, 若 x, y 满足约束条件?x-2y+1≤0,则 z=3x+y 的最大值为________. ?2x-y+2≥0,
2

16.H6[2015?全国卷Ⅰ] 已知 F 是双曲线 C:x - =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0, 8 6 6) ,当△APF 周长最小时,该三角形的面积为________. 17.C5、C8[2015?全国卷Ⅰ] 已知 a,b,c 分别是△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sin Asin

y2

C.
(1)若 a=b,求 cos B; (2)若 B=90°,且 a= 2, 求△ABC 的面积.

18.G5[2015?全国卷Ⅰ] 如图 1?5,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD.
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(1)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (2)若∠ABC=120°,AE⊥EC, 三棱锥 E ? ACD 的体积为 6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

图 1?5 19.I4[2015?全国卷Ⅰ] 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单 位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响.对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售 量 yi(i=1,2,?,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

图 1?6

x
(yi-y ) 46.6 18 ?wi. 8i =1

y

w

错误!(wi-

w )?

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

其中 wi= xi,w=

(1)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归 方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程. (3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: (i)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?
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附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),?,(un,vn),其回归直线 v=α +β u 的斜率和截距的最 小二乘估计分别为 ^ =错误!,错误!=v-错误!u. β 20.H1、H3、H4[2015?全国卷Ⅰ] 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y -3)2=1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)→ OM?→ ON=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|.

21.B9,B11,B12[2015?全国卷Ⅰ] 设函数 f(x)=e2x-aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数; 2 (2)证明:当 a>0 时,f(x)≥2a+aln .

a

22.N1[2015?全国卷Ⅰ] 选修 4?1:几何证明选讲 如图 1?7,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于点 E. (1)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (2)若 OA= 3CE,求∠ACB 的大小.

23.N3[2015?全国卷Ⅰ] 选修 4?4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴
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的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; (2)若直线 C3 的极坐标方程为θ = π (ρ ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积. 4

24.N4[2015?全国卷Ⅰ] 选修 4?5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

答案 1.D [解析] 集合 A={2,5,8,11,14,17,?},所以 A∩B={8,14},所以 A∩B 中有 2 个元素.

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2.A 3.C

[解析] → AB=(3,1),→ BC=→ AC-→ AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). [解析] 设复数 z=a+bi(a,b∈R),代入(z-1)i=1+i 得(a-1+bi)i=1+i,即-b+(a

?-b=1, -1)i=1+i.根据复数相等可得? 得 a=2,b=-1,所以复数 z=2-i. ?a-1=1, 4.C [解析] 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,

3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共 10 种取法,其 中只有(3,4,5)是一组勾股数,所以构成勾股数的概率为 5.B 1 . 10

[解析] 抛物线 C:y2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线方程为 x=-2,即椭圆的半焦距 c

c 2 1 x2 y2 =2.又离心率 e= = = ,所以 a=4,于是 b2=12,则椭圆的方程为 + =1.A,B 是 C 的准线 x a a 2 16 12
=-2 与 E 的两个交点,把 x=-2 代入椭圆方程得 y=±3,所以|AB|=6. 6.B 1 [解析] 米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积,设圆锥底面半径为 r,则 ?2π r=8, 4

得 r=

16 1 1 320 320 ,所以米堆的体积为 ? π r2?5≈ (立方尺), ÷1.62≈22(斛). π 3 4 9 9 [解析] 由 S8=4S4,得 8a1+ 4?3 ? 8?7 1 1 ? ?1?,解得 a1= ,所以 a10= +(10- ?1=4?4a1+ 2 2 2 2 ? ?

7.B 19 . 2

1)?1=

8.D

T 5 1 2π [解析] 由图知 = - =1,所以 T=2,即 =2,所以ω =±π . 2 4 4 |ω |

?1 ? 因为函数 f(x)的图像过点? ,0?, ?4 ? 所以当ω =π 时, ω π +φ = +2kπ ,k∈Z, 4 2

π 解得φ = +2kπ ,k∈Z; 4 当ω =-π 时, ω π +φ =- +2kπ ,k∈Z, 4 2

π 解得φ =- +2kπ ,k∈Z. 4
第 7 页 共 7 页

π? π 1 3 ? 所以 f(x)=cos?π x+ ?,由 2kπ <π x+ <π +2kπ 解得 2k- <x<2k+ ,k∈Z,故选 D. 4 4 4 4 ? ? 9.C [解析] 经推理分析可知,若程序能满足循环,则每循环一次,S 的值减少一半,循环 6

1 1 1 1 次后 S 的值变为 6= >0.01,循环 7 次后 S 的值变为 7= <0.01,此时不再满足循环的条件,所以 2 64 2 128 结束循环,于是输出的 n=7. 10.A [解析] 因为 2x-1-2>-2 恒成立,所以可知 a>1,于是由 f(a)=-log2(a+1)=-3 得 a

7 =7,所以 f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=- . 4 11.B [解析] 由三视图可知,此组合体的前半部分是一个底面半径为 r,高为 2r 的半圆柱(水

平放置),后半部分是一个半径为 r 的半球,其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合,所以此 1 1 几何体的表面积为 2r?2r+ π r2+ π r2+π r?2r+2π r2=4r2+5π r2=16+20π ,解得 r=2. 2 2

12.C

[解析] 在函数 y=f(x)的图像上任设一点 P(x,y),其关于直线 y=-x 的对称点为 P′

y′-y ? ?x′-x=1, ?x′=-y, (x′,y′),则有? 解得? 由于点 P′(x′,y′)在函数 y=2 x+x′ y+y′ ?y′=-x. ? ? 2 + 2 =0,

x+a

的图

像上,于是有-x=2-y+a,得-y+a=log2(-x),即 y=f(x)=a-log2(-x),所以 f(-2)+f(-4) =a-log22+a-log24=2a-3=1,所以 a=2. 2(1-2n) 13. D36 [解析] 由 a1=2, an+1=2an 可知数列{an}为等比数列, 公比为 2, 所以 Sn= = 1-2 126,得 n=6. 14.1 [解析] 因为 f′(x)=3ax2+1,所以函数在点(1,f(1)),即点(1,2+a)处的切线的斜 2+a-7 , 1-2

率 k=f′(1)=3a+1.又切线过点(2,7),则经过点(1,2+a),(2,7)的直线的斜率 k= 2+a-7 所以 3a+1= ,解得 a=1. 1-2 15.4

[解析] 作出约束条件表示的可行域如图所示,当目标函数线平移至经过可行域的顶点

A(1,1)时,目标函数 z 取得最大值,故 zmax=3?1+1=4.

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16.12 6

[解析] 由已知得 a=1,c=3,则 F(3,0),|AF|=15.设 F1 是双曲线的左焦点,根

据双曲线的定义有|PF|-|PF1|=2,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|+2≥|AF1|+2=17,即点 P 是线 段 AF1 与双曲线的交点时,|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|+2 最小,即△APF 周长最小,此时,sin∠OAF 1 23 4 6 = , cos ∠ PAF = 1 - 2sin2 ∠ OAF = ,即有 sin ∠ PAF = . 由余弦定理得 |PF|2 = |PA|2 + |AF|2 - 5 25 25 2|PA||AF|cos ∠ PAF ,即 (17 - |PA|)2 = |PA|2 + 152 - 2|PA| ? 15 ? 1 4 6 |PA|?|AF|?sin∠PAF= ?10?15? =12 6. 2 25 17.解:(1)由题设及正弦定理可得 b2=2ac. 又 a=b,所以可得 b=2c,a=2c. 由余弦定理可得 cos B= (2)由(1)知 b2=2ac. 因为 B=90°,所以由勾股定理得 a2+c2=b2. 故 a2+c2=2ac,得 c=a= 2, 所以△ABC 的面积为 1. 18.解:(1)证明:因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE,故 AC⊥平面 BED. 又 AC? 平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED. (2)设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120°,可得 AG=GC= 3 x. 2 2 x. 2 3 x x,GB=GD= . 2 2 23 1 ,解得 |PA| = 10 ,于是 S △ APF = 25 2

a2+c2-b2 1 = . 2ac 4

因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可得 EG=

由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得 BE=

1 1 6 6 由已知得,三棱锥 E ? ACD 的体积 VE ? ACD= ? AC?GD?BE= x3= , 3 2 24 3
第 9 页 共 9 页

故 x=2.从而可得 AE=EC=ED= 6, 所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥 E ? ACD 的侧面积为 3+2 5. 19.解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类 型. (2)令 w= x,先建立 y 关于 w 的线性回归方程.由于 d^=错误!=错误!=68, ^ c=y-d^w=563-68?6.8=100.6, 所以 y 关于 w 的线性回归方程为^ y=100.6+68w,因此 y 关于 x 的回归方程为^ y=100.6+68 x. (3)(i)由(2)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值 ^ y=100.6+68 49=576.6, 年利润 z 的预报值 ^ z=576.6?0.2-49=66.32. (ii)根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值 ^ z=0.2(100.6+68 x)-x=-x+13.6 x+20.12, 所以当 x= 13.6 =6.8,即 x=46.24 时,^ z取得最大值. 2

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. 20.解:(1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1. 因为 l 与 C 交于两点,所以 4- 7 4+ 7 <k< , 3 3 |2k-3+1| <1, 1+k2

解得

?4- 7 4+ 7? ?. 所以 k 的取值范围为? , 3 ? ? 3 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2). 将 y=kx+1 代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0, 所以 x1+x2= 4(1+k) 7 ,x1x2= , 2 1+k 1+k2
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→ OM?→ ON=x x +y y
1 2 1

2

=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = 4k(1+k) +8. 1+k2

4k(1+k) 由题设可得 +8=12,解得 k=1,所以直线 l 的方程为 y=x+1. 1+k2 故圆心 C 在直线 l 上,所以|MN|=2. 21.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2e2x- (x>0). 当 a≤0 时,f′(x)>0,f′(x)没有零点. 当 a>0 时,因为 e2x 单调递增,- 单调递增,所以 f′(x)在(0,+∞)上单调递增.又 f′(a)>0,

a x

a x

a 1 当 b 满足 0<b< 且 b< 时,f′(b)<0,故当 a>0 时,f′(x)存在唯一零点. 4 4
(2)证明:由(1)可设 f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为 x0.当 x∈(0,x0)时,f′(x)<0;当 x ∈(x0,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当 x=x0 时,f(x)取得最小值,最 小值为 f(x0). 由于 2e2x0- =0,所以 f(x0)= 2 故当 a>0 时,f(x)≥2a+aln .

a x0

a 2 2 +2ax0+aln ≥2a+aln . 2x0 a a

a

22.解:(1)证明:连接 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB. 在 Rt△AEC 中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连接 OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,即 DE 是⊙O 的切线.

(2)设 CE=1,AE=x,由已知得 AB=2 3,BE= 12-x2.
第 11 页 共 11 页

由射影定理可得,AE2=CE?BE,所以 x2= 12-x2,即 x4+x2-12=0, 可得 x= 3,所以∠ACB=60°. 23.解:(1)因为 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ ,所以 C1 的极坐标方程为ρ cos θ =-2,C2 的极 坐标方程为ρ 2-2ρ cos θ -4ρ sin θ +4=0. π (2)将θ = 代入ρ 2-2ρ cos θ -4ρ sin θ +4=0,得ρ 2-3 2ρ +4=0,解得ρ 1=2 2,ρ 4
2

= 2,故ρ 1-ρ 2= 2,即|MN|= 2. 1 由于圆 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为 . 2 24.解:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 2 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得 <x<1; 3 当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2.
? 2 ? ? ? 所以 f(x)>1 的解集为?x <x<2?. ? ? ? 3 ?

?x-1-2a,x<-1, (2)由题设可得,f(x)=?3x+1-2a,-1≤x≤a, ?-x+1+2a,x>a,
?2a-1 ? ,0?,B(2a+1,0),C(a, 所以函数 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A? ? 3 ?

a+1),△ABC 的面积为 (a+1)2.
2 由题设得 (a+1)2>6,故 a>2, 3 所以 a 的取值范围为(2,+∞).

2 3

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