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2014高考数学一轮汇总训练《对数与对数函数》理 新人教A版

第七节

对数与对数函数

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考 1.以对数运算法则为依据,考查对数运算、 求函数值、对数式与指数式的互化等.

1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换 底公式能将一般对数转化成自然对数或常用 对数;了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单 调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 y=a 与对数函数 y=logax 互为反函数(a>0,且 a≠1).
x

2.以考查对数函数的单调性为目的,考查函 数值的大小比较、解简单的对数不等式等, 如 2012 上海 T20 等. 3.以对数函数为载体,以对数函数的性质为 核心,结合其他知识命题,如利用数形结合 思想判断解的个数、与不等式相结合考查代 数式的最值或参数的取值范围等,如 2012 年 陕西 T14 等.

[归纳·知识整合] 1.对数的定义 如果 a =N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中 a 叫 做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质与运算 (1)对数的性质(a>0 且 a≠1): ①loga1=0;②logaa=1;③a (2)对数的换底公式: logcb logab= (a,c 均大于零且不等于 1). logca (3)对数的运算法则: 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么
1
log N

x

a

=N.

①loga(M·N)=logaM+logaN, ②loga =logaM-logaN, ③logaM =nlogaM(n∈R). [探究] 1.试结合换底公式探究 logab 与 logba, loga b 与 logab 之间的关系? 1 n m n 提示:logab= ;loga b = logab. logba m 3.对数函数的图象与性质
m n n

M N

a>1

0<a<1

图象

定义域 值域 定点 单调性 函数值 正负

(0,+∞) R 过点(1,0) 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

当 x>1 时,y>0;当 0<x<1, 当 x>1 时,y<0;当 0<x<1

y<0

时,y>0

[探究] 提示:当?
? ?a>1,

2.对数 logab 为正数、负数的条件分别 是什么?
?a>1, ? ? ?b>1, ?0<a<1, ? 或? ? ?0<b<1

时,logab 为正数;

当?

?0<b<1, ?

? ?0<a<1, 或? ?b>1 ?

时,logab 为负数.

3.如何确定图中各函数的底数 a,b,c,d 与 1 的大小关系?你能得到什么规律?

提 示 : 图 中 直 线 y = 1 与 四 个 函 数 图 象 交 点 的横 坐 标 即 为 它 们 相 应 的底 数 , ∴ 0<c<d<1<a<b,在 x 轴上方由左到右底数逐渐增大,在 x 轴下方由左到右底数逐渐减小. 4.反函数 指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数,它们的图 象关于直线 y=x 对称.
2
x

[自测·牛刀小试] 1.(2012·安徽高考)(log29)·(log34)=( A. 1 4 B. 1 2 )

C.2

D.4

解析:选 D ∵log29=2log23,log34=2log32, ∴原式=4log23×log32=4. 2.(教材习题改编)函数 y= log0.5? 4x-3?
? 3? A.?x|x> ? 4? ? ? 3 ? C.?x| <x≤1? 4 ? ?

的定义域为(

)

? 3 ? B.?x| <x<1? 4 ? ? ? 3 ? D.?x| ≤x≤1? 4 ? ?

解析:选 C 要使函数 y= log0.5? 4x-3? -3≤1 3 ∴ <x≤1. 4

有意义,则需 log0.5(4x-3)≥0,即 0<4x

3.(教材习题改编)不等式 log0.3(2x-1)<log0.3(-x+5)的解集为________. 解析:∵函数 y=log0.3x 为减函数,

?0<2x-1, ? ∴ ?0<-x+5, ?2x-1>-x+5, ?

?x>1, ? 2 即? x<5, ?x>2. ?

∴2<x<5.

∴不等式的解集为{x|2<x<5}. 答案:{x|2<x<5} 4.设函数 f(x)=log2x 的反函数为 y=g(x),若 g? 解析:函数 f(x)=log2x 的反函数为 y=2 ,即
x

? 1 ?=1,则 a 等于________. ? ?a-1? 4

g(x)=2x,
又∵g?

? 1 ?=1,∴2 a?1 =1,即 1 =-2. ? 4 a-1 ?a-1? 4

1

1 1 ∴a-1=- ,即 a= . 2 2 1 答案: 2 1 1 a b 5.设 2 =5 =m,且 + =2,则 m=________.

a b

3

解析:由 2 =5 =m,得 a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 又 + =2,即 + =2, a b log2m log5m ∴ 1 =2,即 m= 10. lg m

a

b

答案: 10

对数式的化简与求值

[例 1] (1)计算: 27 ①log3 log5[4 2 3
2

4

1

log 10 2

-(3 3) -7

2 3

log 2 7

];
2

②2(lg 2) +lg 2·lg 5+ ? lg (2)已知 loga2=m,loga3=n,求 a
2m+n

2? .

-2lg 2+1.

3

[自主解答]

34 log 10 (1) ① 原 式 = log3 ·log5[2 2 - (3 3

3 2

)

2 3

-7

log 2 7

]=

?3log33-log33?·log (10-3-2) ?4 ? 5 ? ?
1 ?3 ? =? -1?·log55=- . 4 ? 4 ? ②原式=lg 2(2lg 2+lg 5)+ ? =lg =lg 2(lg 2+lg 5)+|lg 2·lg(2×5)+1-lg lg 2?
2

-2lg 2+1

2-1| 2=1.

(2)∵loga2=m,loga3=n, ∴a =2,a =3. ∴a
2m+n

m

n

=a ·a =4×3=12.

2m

n

保持本例(2)条件不变,求 loga24 的值. 解:loga24=loga3+loga8=loga3+3loga2=n+3m. ————— —————————————— 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最

4

简,然后正用对数运算性质化简合并. ? 2? 将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化

为同底对数真数的积、商、幂的运算.

1.求解下列各题: 1 32 4 (1) lg - lg 2 49 3
a

8+lg

245=________;

(2)若 3 =2,则 2log36-log316=________; (3)已知 x,y,z 都是大于 1 的正数,m>0,且 logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则 logzm 的值为________. 1 32 4 解析:(1) lg - lg 8+lg 245 2 49 3 1 4 3 1 = ×(5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (lg 5+2lg 7) 2 3 2 2 5 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+ lg 5+lg 7 2 2 1 1 1 1 = lg 2+ lg 5= lg(2×5)= . 2 2 2 2 (2)因为 3 =2,所以 a=log32. 故 2log36-log316 =2(log33+log32)-log32
4

a

=2(1+a)-4log32=2+2a-4a=2-2a. 1 (3)由已知可得 logmx= , 24 1 1 logmy= ,logm(xyz)= , 40 12 于是 logmz=logm(xyz)-logmx-logmy = 1 1 1 1 - - = , 12 24 40 60

故 logzm=60. 1 答案:(1) 2 (2)2-2a (3)60

对数函数的图象及应用

5

[例 2] 已知函数 f(x)=loga(2 +b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a,b 满足的 关系是( )
-1

x

A.0<a <b<1 B.0<b<a <1 C.0<b <a<1 D.0<a <b <1 [自主解答] 令 g(x)=2 +b-1, 这是一个增函数, 而由图象可知函数 f(x)=logag(x) 是单调递增的,所以必有 a>1. 又由图象知函数图象与 y 轴交点的纵坐标介于-1 和 0 之间,即-1<f(0)<0,所以- 1<logab<0,故 a <b<1,因此 0<a <b<1. [答案] A ————— —————————————— 由对数函数的图象确定参数的方法 已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题, 通常是观察 图象,获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等,由此确定函数解析式以及其 中所含参数的取值范围.
-1 -1 -1 -1 -1 -1

x

?1?x 2.已知函数 f(x)=? ? -log3x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,则 f(x1) ?5?
的值( ) B.恒为正数 D.不大于 0 A.不小于 0 C.恒为负数

?1?x 解析:选 B 由题意知,x0 是函数 y=? ? 和 y=log3x 的图象交点的 ?5? ?1? 横坐标,因为 0<x1<x0,由图知,? ?x1>log3x1,所以 f(x1)的值恒为正数. ?5? ?1?b ?1?c a 3.设 a,b,c 均为正数,且 2 =log 1 a,? ? =log 1 b,? ? =log2c,则( ?2? ?2?
2 2

)

A.a<b<c C.c<a<b

B.c<b<a D.b<a<c

?1?x x 解析:选 A 如图,在同一坐标系中,作出函数 y=? ? ,y=2 ,y=log2x 和 log 1 x 的 ?2?
2

图象. 由图象可知 a<b<c.
6

对数函数的性质及应用

[ 例 3] 已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1? 如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. [自主解答] (1)∵a>0 且 a≠1,设 t=3-ax,则 t=3-ax 为减函数,x∈[0,2]时,t 最小值为 3-2a.当 x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即 x∈[0,2]时,3-ax>0 恒成立. 3 ∴3-2a>0,即 a< .又 a>0 且 a≠1, 2

? 3? ∴a∈(0,1)∪?1, ?. ? 2?
(2)t=3-ax,∵a>0,∴函数 t(x)在 R 上为减函数. ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴y=logat 为增函数.∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小 值为 3-2a,f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a),

? ?3-2a>0, ∴? ?loga? 3-a? =1, ?

?a<3, ? 2 即? 3 ?a=2, ?
x

故不存在.

若将本例中“3-ax”改为“a -1”,试讨论 f(x)的单调性. 解:要使函数 f(x)=loga(a -1)有意义, 则 a -1>0. 当 a>1 时,由 a -1>0,得 x>0; 当 0<a<1 时,由 a -1>0,得 x<0. ∴当 a>1 时,函数的定义域为{x|x>0}; 当 0<a<1 时,函数的定义域为{x|x<0}. 任取 x1<x2∈(-∞,0)∪(0,+∞),则
x x x x

f(x1)-f(x2)=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)
7

=loga

a x1-1 . a x2-1

a x1-1 当 a>1 时,0<ax1-1<ax2-1,∴0< <1. a x2-1
∴loga

a x1-1 <0,即 f(x1)<f(x2); a x2-1 a x1-1 >1. a x2-1

当 0<a<1 时,ax1-1>ax2-1>0,∴

∴loga

a x1-1 <0,即 f(x1)<f(x2). a x2-1
x

∴函数 f(x)=loga(a -1)(a>0,a≠1)为单调增函数.

—————

—————————————— 利用对数函数的性质研究对数型函数

利用对数函数的性质, 求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题, 必须弄清三 方面的问题,一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与 1 的大小关系;三 是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.

4.(2012·上海高考改编)已知函数 f(x)=lg(x+1) (1)若 0<f(1-2x)-f(x)<1,求 x 的取值范围; (2)若 g(x)是以 2 为周期的偶函数, 且当 0≤x≤1 时, g(x)=f(x), 有 求函数 y=g(x)(x ∈[1,2])的解析式. 解:(1)由?
? ?2-2x>0, ?x+1>0, ?

得-1<x<1.

2-2x 由 0<lg(2-2x)-lg(x+1)=lg <1 x+1 2-2x 得 1< <10. x+1 因为 x+1>0,所以 x+1<2-2x<10x+10,解得 2 1 - <x< . 3 3

8

?-1<x<1, ? 由? 2 1 ?-3<x<3, ?

2 1 得- <x< . 3 3

(2)当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],因此 y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=f(2-x)=lg(3 -x). 即函数 y=g(x)(x∈[1,2])的解析式为

g(x)=lg(3-x),x∈[1,2].

? 4 种方法——解决对数运算问题的方法 (1)将真数化为底数(或已知对数的数)的幂的积,再展开; (2)将同底对数的和、差、倍合并; (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆 用及变形应用; (4)利用常用对数中的 lg 2+lg 5=1. ? 3 个基本点——对数函数图象的三个基本点 (1)当 a>1 时,对数函数的图象“上升”; 当 0<a<1 时,对数函数的图象“下降”.

?1 ? (2)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),? ,-1?, ?a ?
函数图象只在第一、四象限. (3)底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系. ? 2 个应用——对数函数单调性的应用 (1)比较对数式的大小: ①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,需 对底数进行分类讨论. ②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. ③若底数与真数都不同,则常借助 1,0 等中间量进行比较. (2)解对数不等式: 形如 logax>logab 的不等式,借助 y=logax 的单调性求解,如果 a 的取值不确定,需分

a>1 与 0<a<1 两种情况讨论.形如 logax>b 的不等式,需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形
式.

数学思想——利用数形结合思想,求解对数不等式问题
9

中学数学研究的对象可分为两大部分, 一部分是数, 一部分是形, 但数与形是有联系的, 这个联系称之为数形结合.“数”与“形”反映了事物两个方面的属性.我们认为,数形结 合,主要指的是数与形之间的一一对应关系,数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与 直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数辅形”,即通过抽象思维 与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目 的. 1 x [典例] (2012·新课标全国卷)当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是( 2 A.?0, )

? ?

2? ? 2?

B.?

? 2 ? ,1? ?2 ?

C.(1, 2) 1 x [解析] ∵0<x≤ ,∴4 >1 2 又 4 <logax,∴a∈(0,1)
x

D.( 2,2)

则函数 y=4 与 y=logax 的大致图象如图所示.

x

1 ∴只需满足 loga >2 即可, 2 解之得 a> [答案] B [题后悟道] 1.解决本题的关键是在同一个坐标系内正确画出函数 y=4 及 y=logax 的图象. 2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循以下三个原则: (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转化必须是等价的,否则解题 将会出现漏解. (2)双向性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,避免代数问 题进行几何分析时出错. (3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行 和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系,做好转化;三要挖掘隐含条
x

2 2 ,∴ <a<1. 2 2

10

件,准确界定参变量的取值范围. [变式训练] 1.不等式 logax>(x-1) 恰有三个整数解,则 a 的取值范围为( A.[ 16 9 5, 4 ] 16 5 ]
2 2

)

B.[

16

9 5, 4 ]

C.(1,

9 D.(1, 4 ]

解析:选 B 不等式 logax>(x-1) 恰有三个整数解,画出示意图可知 a>1,其整数解集 为{2,3,4},

? ?loga4>? 4-1? , 则应满足? 2 ?loga5≤? 5-1? , ?

2



16

9 5≤a< 4.

2.不等式 ln x+x<1 的解集为________. 解析:ln x+x<1?ln x<1-x,于是作出函数 y=ln x,y=1-x 的图 象,如图所示,于是可得不等式 ln x+x<1 的解集为{x|0<x<1}. 答案:{x|0<x<1}

1.已知函数 f(x)=lg A. 1

1-x ,若 f(a)=b,则 f(-a)等于( 1+x 1 B.-

)

b

b

C.-b

D.b 1+x 1-x =-lg =-f(x), 1-x 1+x

解析: C 易知 f(x )的定义域为(-1,1 ), f(-x)=lg 选 则 ∴f(x)是奇函数. ∴f(-a)=-f(a)=-b. 2.(2013·福州模拟)函数 y=lg|x-1|的图象是( )

?lg? ? 解析:选 A ∵y=lg|x-1|=? ? ?lg?

x-1? ,

x>1,

1-x? , x<1,
11

∴A 项符合题意. 3.已知函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则( A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 解析:选 B 因为 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,所以 a>1,f(1)<f(2)<f(3). 又函数 f(x)=loga|x|为偶函数, 所以 f(2)=f(-2),所以 f(1)<f(-2)<f(3). 4.设 a>1,且 m=loga(a +1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则 m,n,p 的大小关系 为( ) A.n>m>p C.m>n>p 解析:选 B
2 2

)

B.m>p>n D.p>m>n 当 a>1 时, a + 1>2×a×1 =2a = a + a>a - 1>0 ,因 此 有 loga(a +
2

1)>loga(2a)>loga(a-1),即有 m>p>n. 5.(2013·丹东模拟)函数 y=log2(x +1)-log2x 的值域是( A.[0,+∞) C.[1,+∞)
2 2

)

B.(-∞,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

解析:选 C y=log2(x +1)-log2x=log2

x2+1 = x

? 1? log2?x+ ?≥log22=1(x>0). ?
x?
6.(2013·黄冈模拟)已知函数 f(x)=|log2x|,正实数 m,n 满足 m<n,且 f(m)=f(n), 若 f(x)在区间[m ,n]上的最大值为 2,则 m,n 的值分别为( 1 A. ,2 2 C. 2 , 2 2 1 B. ,4 2 1 D. ,4 4
2

)

?log2x,x>1, ? 解析:选 A f(x)=| log2x|=? ? ?-log2x,0<x<1,

根据 f(m)=f(n)(m<n)及 f(x)的单调性,知 mn=1 且 0<m<1,n>1. 又 f(x)在[m ,n]上的最大值为 2, 由图象知:f(m )>f(m)=f(n), ∴f(x)max=f(m ),x∈[m ,n].
2 2 2 2

12

1 2 故 f(m )=2,易得 n=2,m= . 2 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.(2012·北京高考)已知函数 f(x)=lg x.若 f(ab)=1,则 f(a )+f(b )=________. 解析:∵f(x)=lg x,f(a b)=1.∴lg(ab)=1.∴f(a )+f(b )=lg a +lg b =2lg a +2lg b=2lg(ab)=2. 答案:2 8.函数 y=logax(a>0,且 a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是 1,则 a 的值为 ________. 4 解析: (1)当 a>1 时, 函数 y=logax 在[2,4]上是增函数, 所以 loga4-loga2=1, loga 即 2 =1,所以 a=2 . 2 (2)当 0<a<1 时,函数 y=logax 在[2,4]上是减函数,所以 loga2-loga4=1,即 loga = 4 1 1,所以 a= . 2 1 由(1)(2)知 a=2 或 a= . 2 1 答案: 2 或 2
2 2 2 2 2 2

? 1? 2 9.若不等式 x -logax<0 在?0, ?内恒成立,则 a 的取值范围是________. ? 2? ? 1? 2 解析:∵不等式 x -logax<0 在?0, ?内恒成立, ? 2?
1 1 ∴0<a<1,且 <loga . 4 2

?0<a<1, ? ∴? 1 1 4 ?a >2, ?
答案:?

1 解得 <a<1. 16

? 1 ,1? ? ?16 ?

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分)

?1 ? 10.已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对于任意的 x∈? ,2?都有|f(x)|≤1 成立, ?3 ?
试求 a 的取值范围. 解:∵f(x)=lo gax,

13

1 2 ? ?1?? 当 0<a<1 时,?f? ??-|f(2)|=loga +loga2=loga >0, 3 3 ? ?3?? 1 2 ? ?1?? 当 a>1 时,?f? ??-|f(2)|=-loga -loga2=-loga >0, 3?? 3 3 ? ?

? ?1?? ∴?f? ??>|f(2)|总成立. ? ?3??
则 y=|f(x)|的图象如图.

?1 ? 要使 x∈? ,2?时恒有|f(x)|≤1, ?3 ?
1 ? ?1?? 只需?f? ??≤1,即-1≤loga ≤1, 3 ? ?3?? 1 -1 即 logaa ≤loga ≤logaa, 3 1 -1 当 a>1 时,得 a ≤ ≤a,即 a≥3; 3 1 1 -1 当 0<a<1 时,得 a ≥ ≥a,得 0<a≤ . 3 3

? 1? 综上所述,a 的取值范围是?0, ?∪[3,+∞). ? 3?
11.设函数 y=f(x)且 lg(lg y)=lg(3x)+lg(3-x). (1)求 f(x)的解析式及定义域; (2)求 f(x)的值域; (3)讨论 f(x)的单调性. 解:(1)lg(lg y)=lg[3x·(3-x)], ∴lg y=3x·(3-x). ∴f(x)=10
3x(3-x)

? ?3x>0, 且? ? ?3-x>0,

? 0<x<3.

(2)∵f(x)=10

3x(3-x)



3 ? 3?2 27 2 u 设 u=3x(3-x)=-3x +9x=-3?x- ? + ,则 f(x)=10 ,当 x= ∈(0,3)时,umax 2? 4 2 ? 27 = , 4

? 27? ∴u∈?0, ?.∴f(x)∈(1,10 4? ?

27 4

].

3 ? 3?2 27 (3)当 0<x≤ 时,u=-3?x- ? + 是增函数, 2 ? 2? 4

? 3? ?3 ? u 而 y=10 为增函数,∴在?0, ?上,f(x)是增函数,在? ,3?上,f(x)是减函数. ? 2? ?2 ?
14

12.已知函数 f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数 y=g(x)图象上任意一点 P 关于原点对 称点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范围. 解:(1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点,则 Q(-x,-y),∵Q(-x,-y)在 f(x) 的图象上, ∴-y=loga(-x+1),即 y=g(x)=-loga(1-x). (2)f(x)+g(x)≥m,即 loga 设 F(x)=loga

x+1 ≥ m. 1-x

1+x ,x∈[0,1),由题意知,只要 1-x 1+x = 1-x

F(x)min≥m 即可.∵ F(x)=loga
loga?-?1+

? ? ? ?

2 ?? 在[0,1)上是增函数, x-1?? ??

∴F(x)min=F(0)=0,故 m≤0 即为所求.

1.化简下列各式: 1 2lg 2+lg 3 (1)lg 70-lg 56-3lg ;(2) . 2 1 1 1+ lg 0.36+ lg 16 2 4 1 解:(1)原式=lg(7×10)-lg(7×8)-lg =lg 7+1-lg 7-lg 8+lg 8=1. 8 2lg 2+lg 3 2lg 2+lg 3 (2)原式= = 1 1 2×3 2 4 1+ lg 0.6 + lg 2 1+lg +lg 2 2 4 10 = 2lg 2+lg 3 2lg 2+lg 3 = =1. 1+lg 2+lg 3-lg 10+lg 2 2lg 2+lg 3 1 2 4 ,b=log 1 ,c=log3 ,则 a,b,c 的大小关系是( 2 3 3
3

2.设 a=log 1
3

)

A.a<b<c C.b<a<c

B.c<b<a D.b<c<a

4 3 3 解析: B 由对数函数的性质知 c=log3 =log 1 , 选 由对数函数的单调性知 log 1 3 4 4
3 3

<log 1
3

2 1 <log 1 ,即 c<b<a. 3 2
3

15

3.对于函数 f(x)=log 1 (x -2ax+3),解答下列问题:
2

2

(1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)在(-∞,1]内为增函数,求实数 a 的取值范围. 解:设 u=g(x)=x -2ax+3=(x-a) +3-a . (1)∵u>0 对 x∈R 恒成立. ∴umin=3-a >0, ∴- 3<a< 3(或由 x -2ax+3>0 的解为 R,得 Δ =4a -12<0,求出- 3<a< 3). (2)命题等价于
? ?g? ? ?g? ?
2 2 2 2 2 2

x? 在? -∞,1]上为减函数, x? >0对x∈? -∞,1]恒成立
?a≥1, ? ? ? g?

??

1? >0

??

?a≥1, ? ? ?a<2.

即所求 a 的取值范围是[1,2). 4.已知函数 f(x)=log4(4 +1)+2kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)=m 有解,求 m 的取值范围. 解:(1)由函数 f(x)是偶函数,可知 f(x)=f(-x), ∴log4(4 +1)+2kx=log4(4 +1)-2kx, 即 log4 4 +1 =-4kx. -x 4 +1
x x x
-x

x

∴log4 4 =-4kx, 即 x=-4kx,即(1+4k)x=0,

1 对一切 x∈R 恒成立.∴k=- . 4 1 x (2)由 m=f(x)=log4(4 +1)- x 2 =log4
x 4 +1 ? x 1? x =log4?2 + x?, 2? 2 ?

1 1 x ∵2 + x≥2,∴m≥log42= . 2 2

?1 ? 故要使方程 f(x)=m 有解,m 的取值范围为? ,+∞?. ?2 ?

16


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