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2020高考数学艺考生冲刺第三章不等式第6讲简单不等式的解法课件_图文

知识梳理 典例变式 基础训练 能力提升
第6讲 简单不等式的解法

知知识识梳梳理理 典 例 变 式 基 础 训 练 能 力 提 升

1.一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集

(1)当 a>0 时,解集为

|

>



.

(2)当

a<0

时,解集为

|

<



2.(x-a)(x-b)>0 或(x-a)(x-b)<0 型不等式的解集

不等式
(x-a)· (x-b)>0 (x-a)· (x-b)<0

解集 a<b {x|x<a 或 x>b}
{x|a<x<b}

a=b {x|x≠a} ?

口诀:大于取两边,小于取中间.

a>b {x|x<b 或 x>a}
{x|b<x<a}

知知识识梳梳理理 典 例 变 式 基 础 训 练
3.辨明三个易误点 (1)对于不等式 ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论 a=0 时的情形; (2)当 Δ<0 时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是 R 还是?,要注意区别; (3)不同参数范围的解集切莫取并集,应分类表述. 4.分式不等式的四种形式求解思路 (1)(())>0?f(x)g(x)>0; (2)(())<0?f(x)g(x)<0; (3)(())≥0?f(x)g(x)≥0 且 g(x)≠0?f(x)g(x)>0 或 f(x)=0; (4)(())≤0?f(x)g(x)≤0 且 g(x)≠0?f(x)g(x)<0 或 f(x)=0. 5.绝对值不等式的解法 (1)|f(x)|>|g(x)|?|f(x)|2>|g(x)|2; (2)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或 f(x)<-g(x); (3)|f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x).

能力提升

知识梳理 典例变式 基础训练 能力提升

题型一 一元二次不等式的解法(高频考点) 一元二次不等式的解法是高考的常考内容,题型多为选择题或填空题,难度为中档题.
高考对一元二次不等式解法的考查主要从以下两个角度命题:①解一元二次不等式;②
已知一元二次不等式的解集求参数. 考法一 不含参数的一元二次不等式

【例 1-1】 (1)不等式 2x2-x-3>0 的解集为

.

(2)不等式-x2-3x+4>0 的解集为

.(用区间表示)

【解】(1)方程 2x2-x-3=0 的两根为 x1=-1,x2=32,则不等式 2x2-x-3>0 的解集为





>

3 2

或 < -1 .

(2)由-x2-3x+4>0 得 x2+3x-4<0,解得-4<x<1,所以不等式-x2-3x+4>0 的解集为(-4,1).

【答案】(1)





>

3 2



<

-1

(2)(-4,1)

知识梳理 典例变式

考法二 含参数的一元二次不等式 【例 1-2】 (1)解关于 x 的不等式:x2-(a+1)x+a<0. (2)解关于 x 的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.

【解】(1)原不等式可化为(x-a)(x-1)<0,

当 a>1 时,原不等式的解集为(1,a);

当 a=1 时,原不等式的解集为?;

当 a<1 时,原不等式的解集为(a,1).

(2)若 a=0,原不等式等价于-x+1<0,

解得 x>1.

若 a<0,原不等式等价于

-

1

(x-1)>0,

解得 x<1或 x>1.

基础训练

能力提升

知识梳理 典例变式 基础训练 能力提升

若 a>0,原不等式等价于

-

1

(x-1)<0.

①当 a=1 时,1=1,

-

1

(x-1)<0 无解;

②当 a>1 时,1<1,解

-

1

(x-1)<0,得1<x<1;

③当 0<a<1 时,1>1,解

-

1

(x-1)<0,得 1<x<1.

综上所述,当 a<0 时,解集为





<

1



>

1

;

当 a=0 时,解集为{x|x>1};

当 0<a<1 时,解集为



1

<



<

1

;

当 a=1 时,解集为?;

当 a>1 时,解集为



1

<



<

1

.

知识梳理 典例变式 基础训练 能力提升
【规律方法】
【注意】对于含参数的不等式要注意分类讨论

知识梳理 典例变式 基础训练 能力提升

变式训练一 1.解下列不等式(组): (1)-3x2-2x+8≥0;
-2≤x≤43

【解析】 (1)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0,即(3x-4)(x+2)≤0.解得-2≤x≤43,所

以原不等式的解集为

|-2







4 3

.

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(2)0<x2-x-2≤4.

{x|-2≤x<-1 或 2<x≤3}

【解析】

原不等式等价于

2--2 2--2

> ≤

0, 4,

?

2 2

--2 --6

> ≤

0, 0,

?

(-2)( (-3)(

+ +

1) 2)

> ≤

0, 0

?

> 2 或 < -1,借助于数轴,如图所示, -2 ≤ ≤ 3.

∴原不等式组的解集为{x|-2≤x<-1 或 2<x≤3}.

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2.已知关于 x 的不等式 ax2+2x+c>0 的解集为(-13 , 12),则不等式-cx2+2x-a>0 的解集
为 (-2,3) .

【解析】

依题意知,

-

1 3

+

1 2

=

-

2

-

1 3

×

1 2

=



,

所以解得 a=-12,c=2,所以不等式-cx2+2x-a>0,

即为-2x2+2x+12>0,即 x2-x-6<0,解得-2<x<3.所以不等式的解集为(-2,3).

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题型二 简单的分式不等式的解法 【例 2】 解下列不等式: (1)31-+5≥0; (2)+-12>1.

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【解】 (1)原不等式可化为3-+15≤0,

所以

(-1)(3 + 5) 3 + 5 ≠ 0,



0,

所以

-

5 3









-

5 3

≤ ,

1,即-53<x≤1.

故原不等式的解集为

|-

5 3

<





1

.

(2)原不等式可化为+-12-1>0,

所以-1-+(2+2)>0,

所以-+32>0,则 x<-2.

故原不等式的解集为{x|x<-2}.

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【规律方法】

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变式训练二 解下列不等式: (1)+-31≥0;
{x|x>3 或 x≤-1} 【解析】 (1)不等式+-31≥0 可以转化为(x+1)(x-3)≥0 且 x≠3,所以解集为{x|x>3 或 x≤-1}.

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(2)5++11<3. {x|-1<x<1} 【解析】 不等式5++11<3 可以化为5++11-3<0,即2(+-11)<0,故原不等式的解集为 {x|-1<x<1}.

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【例 3】 设函数 f(x)=|2x-3|-1. (1)解不等式 f(x)<0; (2)若方程 f(x)=a 无实数根,求 a 的范围.
【解析】 (1)f(x)<0 即为|2x-3|<1.即-1<2x-3<1.所以 1<x<2. 所以不等式 f(x)<0 的解集为{x|1<x<2}. (2)法一:方程 f(x)=a 无实数根,即|2x-3|=a+1 无实数根,因为|2x-3|≥0, 所以 a+1<0,即 a<-1.所以当 a<-1 时,方程 f(x)=a 无实数根. 法二:方程 f(x)=a 无实数根,即函数 f(x)=|2x-3|-1 与 y=a 的图象无交点(如图). 所以 a 的范围为 a<-1.

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【规律方法】含绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法:a为正实数,|x|<a?-a<x<a,|x|>a?x<-a或x>a. (2)平方法:两边平方去掉绝对值符号,适用于|x-a|<|x-b|或|x-a|>|x-b|型的不等式的求解. (3)零点分区间法:含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝 对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.

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变式训练三

1.不等式|2x-1|>3的解集为 ( C )

A.{x|x<-2或x>1}

B.{x|-2<x<1}

C.{x|x<-1或x>2} D.{x|-1<x<2}

【解析】 由|2x-1|>3 得 2x-1<-3 或 2x-1>3,即 x<-1 或 x>2,故选 C.

2.不等式|2x-3|<3x+1的解集为 {x|x>25} .

【解析】

由|2x-3|<3x+1 得

3 + 1 > 0, -(3 + 1) < 2-3 < 3 + 1,

解得



> >

-
2

1
3.

5

即 x>25.故不等式|2x-3|<3x+1 的解集为

|

>

2 5

.

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1.不等式-2x2+x<-3 的解集为

A.

|-

3 2

<



<

1

C.

|

<

-

3 2



>

1

B.

|-1

<



<

3 2

D.

|

<

-1



>

3 2

( D)

【解析】-2x2+x<-3,即为 2x2-x-3>0,Δ=25>0,方程 2x2-x-3=0 的两实根为 x1=-1,x2=32,

所以

2x2-x-3>0

的解集为

|

<

-1



>

3 2

,故选

D.

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2.不等式3--24<0 的解集是

A.{x|x<4}

B.{x|3<x<4}

C.

|

<

3 2



>

4

D.

|

3 3

<



<

4

( C)

【解析】

不等式3--24<0 等价于(x-32)(x-4)>0,所以不等式的解集是

|

<

3 2



>

4

.

知识梳理 典例变式 基础训练 能力提升

3.关于 x 的不等式-12x2+mx+n>0 的解集为{x|-1<x<2},则 m+n 的值为( D )

A.-12

B.-32

C.12

D.32

【解析】 -12x2+mx+n>0,即为 x2-2mx-2n<0.

由题意知,x2-2mx-2n<0 的解集为{x|-1<x<2}.

所以

-1 -1

+2 ×2

= =

-22,.所以

m=12,n=1.所以

m+n=32,故选

D.

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4.若集合

A={x|-1≤2x+1≤3},B=

|

-2



0

,则

A∩B=

A.{x|-1≤x<0} B.{x|0<x≤1}

C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1}

【解析】 因为 A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2},所以 A∩B={x|0<x≤1}.

( B)

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5.(2018·福建晋江高二检测)若不等式 f(x)=ax2-x-c>0 的解集为(-2,1),则函数 y=f(x)的图
象为( B )
【解析】 因为不等式的解集为(-2,1),所以a<0,排除C、D;又与坐标轴交点的横坐标为2,1,故选B.

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6.已知关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是(1,+∞),则关于 x 的不等式--2>0 的解集是
(A )

A.{x|x<-1 或 x>2}

B.{x|-1<x<2}

C.{x|1<x<2} D.{x|x>2}

【解析】 依题意,a>0 且-=1.--2>0?(ax-b)·(x-2)>0?(x-)(x-2)>0, 即(x+1)(x-2)>0?x>2 或 x<-1.

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7.已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A,不等式 x2+x-6<0 的解集为 B,不等式 x2+ax+b<0 的

解集为 A∩B,则 a+b 等于( A )

A.-3

B.1

C.-1

D.3

【解析】 由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以 A∩B={x|-1<x<2},由根与系 数的关系可知,a=-1,b=-2,则 a+b=-3,故选 A.

8.若不等式-x2+2x+m>0 的解集是?,则实数 m 的取值范围为

A.m≤-1

B.m≥-1

C.m≤1 D.m≥1

【解析】 -x2+2x+m>0,即为 x2-2x-m<0. 由题意得 Δ=(-2)2-4×1×(-m)≤0,即 4+4m≤0,所以 m≤-1.故选 A.

( A)

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9.不等式-1≥2 的解集为 [-1,0) .

【解析】 不等式-1≥2,即-1-2≥0,即--1≥0,所以+1≤0,等价于 x(x+1)≤0 且 x≠0,

所以-1≤x<0.

10.不等式|2x-1|+|2x+1|≤6

的解集为

|-

3 2







3 2

.

【解析】

原不等式可化为



<

-

1 2

,

1-2-2-1 ≤ 6,



-

1 2







1 2

,



1-2 + 2 + 1 ≤ 6



>

1 2

,

2-1 +

2

+

1



6,解得-32≤x≤32,即原不等式的解集为

|-

3 2







3 2

.

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|3-4|, ≤ 2,

1.(2018·广东省联合体联考)已知函数 f(x)=

2 -1

,

>

2,

则使 f(x)≥1 的 x 的取值范围为

(D )

A.

1,

5 3

B.

5 3

,3

C.(-∞,1)∪

5 3

,

+



D.(-∞,1]∪

5 3

,3

【解析】不等式 f(x)≥1 等价于

> 2,

2 -1



1



≤ 2, |3-4| ≥

1,解之得

x≤1

或53≤x≤3,所以

不等式的解集为(-∞,1]∪

5 3

,3

,故选

D.

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2.不等式(-+15)2≥2 的解集是

A.

-3,-

1 2

B.

-

1 2

,3

C.

1 2

,1

∪(1,3]

D.

-

1 2

,1

∪(1,3]

(D )

【解析】 由(-+15)2≥2,得+5(-2-1()2-1)2≥0,

即-2(2+-15)2+3≥0.所以原不等式等价于

-22 + 5 -1 ≠ 0,

+

3



0,



22-5-3 ≠ 1.



0,解得

-

1 2





≠ 1,

≤ 3,所以原不等式的解集是

-

1 2

,1

∪(1,3],故选 D.

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3.已知集合 A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若 A∪B=R,A∩B=(3,4],则有 a= -3 ,b= -4 .
【解析】 由题意得集合 A={x|x<-1 或 x>3},又 A∪B=R,A∩B=(3,4],所以集合 B 为 {x|-1≤x≤4},由 根与系数的关系,可得 a=-3,b=-4.

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4.若不等式 ax2+5x-2>0

的解集是

|

1 2

<



<

2

.

(1)求实数 a 的值;

(2)求不等式 ax2-5x+a2-1>0 的解集.

(1)a=-2

(2)-3<x<12 或

-3,

1 2

【解析】 (1)由题意知 a<0,且方程 ax2+5x-2=0 的两个根为12,2,代入解得 a=-2.

(2)由(1)知不等式为-2x2-5x+3>0,

即 2x2+5x-3<0,解得-3<x<12,

即不等式 ax2-5x+a2-1>0 的解集为

-3,

1 2

.


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