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2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义:1.2空间几何体的三视图和直视图 1.2.3

数学 1.2.3 学习目标 空间几何体的直观图 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图. 知识点 斜二测画法 思考 1 边长 2 cm 的正方形 ABCD 水平放置的直观图如下,在直观图中,A′B′与 C′D′ 有何关系?A′D′与 B′C′呢?在原图与直观图中,AB 与 A′B′相等吗?AD 与 A′D′ 呢? 1 答案 A′B′∥C′D′,A′D′∥B′C′,A′B′=AB,A′D′= AD. 2 思考 2 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的直观图如图所示, 在此图形中各个面都画成正方形了吗? 答案 没有都画成正方形. 梳理 (1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则 (2)立体图形直观图的画法规则 画立体图形的直观图,在画轴时,要多画一条与平面 x′O′y′垂直的轴 O′z′,且平行于 O′z′的线段长度不变,其他同平面图形的画法. 数学 类型一 平面图形的直观图 例 1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图. 解 (1)在已知的直角梯形 OBCD 中,以底边 OB 所在直线为 x 轴,垂直于 OB 的腰 OD 所在 直线为 y 轴建立平面直角坐标系. 画出相应的 x′轴和 y′轴, 使∠x′O′y′=45° , 如图(1)(2) 所示. 1 (2)在 x′轴上截取 O′B′=OB,在 y′轴上截取 O′D′= OD,过点 D′作 x′轴的平行 2 线 l,在 l 上沿 x′轴正方向取点 C′使得 D′C′=DC.连接 B′C′,如图(2). (3)所得四边形 O′B′C′D′就是直角梯形 OBCD 的直观图,如图(3). 引申探究 例 1 中的直角梯形改为等腰梯形,其直观图如何? 解 画法:(1)如图所示,取 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点 O 为原点,建立直角坐标系,画 对应的坐标系 x′O′y′,使∠x′O′y′=45° . 1 (2)以 O′为中点在 x′轴上取 A′B′=AB,在 y 轴上取 O′E′= OE,以 E′为中点画出 2 C′D′∥x′轴,并使 C′D′=CD. (3)连接 B′C′,D′A′,所得的四边形 A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的 直观图. 反思与感悟 (1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系,使画直观图非常简便. (2)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键之一,一般要使平面 数学 多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上,以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过 作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置,借助于平面 直角坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连接即可. 跟踪训练 1 用斜二测画法画边长为 4 cm 的水平放置的正三角形(如图)的直观图. 解 (1)如图①所示, 以 BC 边所在的直线为 x 轴, 以 BC 边上的高线 AO 所在的直线为 y 轴建 立平面直角坐标系. (2)画出对应的 x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45° . 1 在 x′轴上截取 O′B′=O′C′=2 cm,在 y′轴上截取 O′A′= OA,连接 A′B′, 2 A′C′,则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图,如图②所示. 类型二 直观图的还原与计算 命题角度1 由直观图还原平面图形 例 2 如图所示,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其还原成平面图 形. 解 ①画出直角坐标系 xOy,在 x 轴的正方向上取 OA=O′A′,即 CA=C′A′; ②过 B′作 B′D′∥y′轴,交 x′轴于点 D′,在 OA 上取 OD=O′D′,过 D 作 DB∥y 轴,且使 DB=2D′B′; ③连接 AB,BC,得△ABC. 则△ABC 即为△A′B′C′对应的平面图形,如图所示. 数学 反思与感悟 由直观图还原平面图形的关键:(1)平行 x′轴的线段长度不变,平行 y′轴的 线段扩大为原来的 2 倍;(2)对于相邻两边不与 x′、y′轴平行的顶点可通过作 x′轴,y′轴 平行线变换确定其在 xOy 中的位置. 跟踪训练 2 如图所示,矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 O′A′=6 cm,C′D′=2 cm,则原图形是________. 答案 菱形 解析 如图所示, 在原图形 OABC 中, 应有 OD=2O′D′=2×2 2=4 2(cm), CD=C′D′ =2(cm),∴OC= OD2+CD2= ?4 2?2+22=6(cm),∴OA=OC,故四边形 OABC 是菱形. 命题角度2 原图形与直观图的面积的计算 例 3 如图所示, 梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的直观图. 若 A1D1∥O′y′, A1B1∥C1D1, 2 A1B1= C1D1=2,A1D1=O′D1=1.试画出原四边形的形状,并求出原图形的面积. 3 解 如图,建立直角坐标系 xOy,在 x 轴上截取 OD= O′D1=1,OC=O′C1=2. 在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA=2D1A1=2. 在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 AB=A1B1=2. 连接 BC,即得到了原图形. 由作法可知,原四边形 ABCD 是直角梯形,上、下底长度分别为 AB=2,CD=3,直角腰的 长度 AD=2, 数学 2+3 所以面积为 S= ×2=5. 2 反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积,关键是掌握斜二测画法,明确原来实际图形中的 高,在直观图中变为与水平直线成 45° 角且长度为原来一半的线段,这样可得出所求图形相 应的高. (2)若一个平面多边形的面积为 S,它的直观图面积为 S′,则 S′= 2 S. 4 跟踪训练 3 如图所示,一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形 A′B′O′,若 O′B′=1,那么原三角形 ABO 的面积是

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